第三单元第6讲 长方体和正方体的体积公式推导与应用 （讲义）-五年级数学下册同步知识点讲练（人教版）

五年级数学下册同步知识点讲练
第三单元第6讲：长方体和正方体的体积公式推导与应用
知识点① 长方体和正方体体积公式的推导
填一填。
(1)在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体，
沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个纸盒内一
共可以放( )个小正方体。
(2)上图长方体的体积= × × =( )(cm )。
(3)把下图所示的棱长为2cm的正方体锯成棱
长为1cm的小正方体，可以锯成( )个，正方体
的体积= × × =( )(cm )。
【答案】：
(1)96
(2)8 4 3 96
【点拨】第(1)(2)小题，盒子内沿着长、宽、高分别放了8个、4个、3个小正方体，它们的积就是一共可以放小正方体的个数。每个小正方体的体积是1cm ,所以长方体的体积就是小正方体的总体积。
(3)8 2 2 2 8
1.填空题
(1)长方体的体积计算公式是______。
(2)用棱长1分米的小正方体摆成长6分米、宽5分米、高4分米的长方体，需要______个小正方体。
(3)一个正方体的棱长是3厘米，它的体积是______立方厘米。
2.选择题
(1)长方体的长、宽、高分别为a米、b米、c米，它的体积是（ ）立方米。
A.a+b+c B.abc C.2(ab+bc+ac) D.3abc
(2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A.3 B.6 C.9 D.27
(3)计算一个长方体的体积，必须知道（ ）。
A.长和宽 B.长、宽、高 C.底面积和高 D.无法确定
3.判断题
(1)长方体的体积可以用底面积乘以高来计算。（ ）
(2)两个长方体底面积相等，高也相等，体积不一定相等。（ ）
(3)正方体的体积公式是棱长×棱长×6。（ ）
知识点② 运用长方体和正方体体积公式计算
1. 填一填。
(1)用一根长36cm的铁丝做一个长4cm,宽3cm的长方体框架，并在表面糊上彩纸，这个长方体的体积是( )cm 。
(2)一个正方体的棱长是6cm,它的体积是( )cm 。
(3)一个长方体的体积是72m ,长是6m,高是3m,宽是( )m。
2.秦始皇陵兵马俑的一号俑坑是长方体形状，东西长230m,南北宽62m,深5m。一号俑坑占用的空间是多少立方米
【答案】：
1. (1)24
【点拨】铁丝的长度就是棱长总和，根据高=棱长总和÷4-长-宽，代入数据求出高后，再根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算。
(2)216
(3)4
【点拨】逆用长方体的体积公式，宽=体积÷长÷高。
2. 230×62×5=71300(m )
答：一号俑坑占用的空间是71300m 。
【点拨】求一号俑坑占用的空间就是求长230m、宽62m、高5m的长方体的体积，代入长方体体积公式求解。
1.填空题
(1)一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米，它的体积是________立方厘米。
(2)棱长为4分米的正方体，体积是________立方分米。
(3)一个长方体的体积是240立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，高是________厘米。
2.选择题
(1)计算一个长6米、宽4米、高2米的长方体体积，正确列式是（ ）。
A.6+4+2 B.6×4×2 C.6×4+2 D.2×(6×4+4×2+6×2)
(2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积会扩大到原来的（ ）倍。
A.3 B.6 C.9 D.27
(3)两个长方体，甲的长、宽、高分别是5cm、3cm、4cm，乙的长、宽、高分别是6cm、2cm、5cm，它们的体积（ ）。
A.甲大 B.乙大 C.一样大 D.无法比较
3.判断题
(1)体积单位比面积单位大。（ ）
(2)正方体棱长扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的6倍。（ ）
(3)体积相等的长方体和正方体，它们的表面积也一定相等。（ ）
知识点③ 根据正方体表面积推算棱长求体积
同同用小刀从一个长方体的右边截去一个宽是2cm的长方体，剩下的部分正好是一个表面积为384cm 的正方体。原来长方体的体积是多少
【答案】：
384÷6=64(cm )；64=8×8,
原来长方体的宽和高都是8cm。
8+2=10(cm)；8×8×10=640(cm )
答：原来长方体的体积是640cm 。
【点拨】根据剩下部分正好是一个表面积为384cm 的正方体，可以求出这个正方体一个面的面积，从而推出这个正方体的棱长。观察题图可知，正方体的棱长也就是原长方体的宽和高，原长方体的长=正方体棱长+截去的2cm。
1.填空题
(1)一个正方体的表面积是54平方厘米，它的体积是______立方厘米。
(2)正方体的表面积为96平方米，它的棱长是______米，体积是______立方米。
(3)若一个正方体的表面积是37.5平方分米，它的体积是______立方分米。
2.选择题
(1)一个正方体的表面积是150平方厘米，它的体积是（ ）。
A.25cm B.125cm C.150cm D.75cm
(2)正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大 倍，体积扩大 倍。正确的答案是（ ）。
A.3，9 B.6，9 C.9，27 D.12，54
(3)一个正方体的表面积是13.5平方厘米，它的体积是（ ）。
A.1.5cm B.3.375cm C.2.25cm D.5cm
3.解决实际问题
(1)小明的生日礼物是一个正方体礼盒，包装纸的总面积是600平方厘米。这个礼盒的体积是多少立方厘米？
(2)工人叔叔用木板制作一个正方体木箱，已知木箱的表面积是294平方分米。这个木箱最多能装多少立方分米的物品？
(3)学校花园里有一个正方体花坛，表面积是73.5平方分米。花坛内填满泥土后，泥土的体积是多少？
知识点 ④ 根据长方体三个面面积推算长、宽、高，并求体积
一个长方体，不同的三个面的面积分别是10cm 、15cm 、6cm ,如果长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米
【答案】：
10=2×5；15=3×5；6=2×3；5×3×2=30(cm )
答：这个长方体的体积是30cm 。
【点拨】把10,15,6分别分解成两个质因数的乘积的形式，从而求出这个长方体的长、宽、高的值，再利用长方体的体积公式代人求解。
1.填空题
(1)一个长方体的前面面积是12平方厘米，右面面积是8平方厘米，上面面积是6平方厘米。这个长方体的长是______厘米，宽是______厘米，高是______厘米，体积是______立方厘米。
(2)一个长方体的三个相邻面的面积分别是10、15和6平方分米，它的体积是______立方分米。
(3)一个长方体的前面面积是18平方厘米，侧面面积是12平方厘米，上面面积是24平方厘米。它的长、宽、高分别是______、______、______厘米，体积是______立方厘米。
2.选择题
(1)已知一个长方体的三个面的面积分别是6、8、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。
A.26 B.24 C.48 D.576
(2)一个长方体的前面面积是15平方分米，右面面积是10平方分米，上面面积是6平方分米，体积是（ ）立方分米。
A.30 B.31 C.60 D.900
(3)已知长方体的三个面面积分别为3、4、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。
A.12 B.19 C.24 D.36
3.判断题
(1)一个长方体的三个相邻面的面积分别是2、3、6平方厘米，它的体积是6立方厘米。（ ）
(2)长方体的体积等于三个不同面面积之和。（ ）
(3)已知一个长方体的三个面的面积分别是8、10、20平方分米，它的体积是40立方分米。（ ）
如图，一个长方体沿高截去2cm后，表面积减少了48cm ,剩下部分成为一个正方体，求原来长方体的体积。
体积和表面积不是同类量，两者之间不能比较大小。
参考答案
1.填空题
(1)长×宽×高 (2)120 (3)27
2.选择题
(1)B (2)D (3)B
3.判断题
(1)√ (2)× (3)×
1.填空题
(1)120 (2)64 (3)4
2.选择题
(1)B (2)D (3)C
3.判断题
(1)× (2)× (3)×
1.填空题
(1)27 (2)4 64 (3)15.625
2.选择题
(1)B (2)C (3)B
3.解决实际问题
(1)1000立方厘米 (2)343立方分米 (3)42.875立方分米
1.填空题
(1)3 2 4 24
(2)30
(3)6 4 3 72
2.选择题
(1)B (2)A (3)A
3.判断题
(1)√ (2)× (3)√
48÷4÷2=6(cm)；6×6×(6+2)=288(cm )
答：原来长方体的体积是288cm 。
【点拨】高截去2cm,表面积减少了48cm ,减少的是4个侧面的面积，减少的每个侧面的面积是48÷4=12(cm ),长是12÷2=6(cm),也就是原长方体的长和宽是6cm,原长方体的高=6+2=8(cm)。
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