2025年九年级中考数学三轮冲刺训练隐圆训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练隐圆训练
一、选择题
1．如图，在边长为2的等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上两个动点，且满足
AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段CP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．21
2．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（　　）
A．22 B． C． D．
4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
5．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（　　）
A．22 B．3﹣2 C． D．1
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．24 D．44
7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
8．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　 ．
9．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为　 　 ．
10．如图，点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC内切圆半径r的最大值为　 　 ．
11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　 ．
12．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　 ．
13．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，连接OA、OB、OC，且∠AOB＝135°，若AB＝2，则OC的最小值为　 　 ．
14．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝　 　 ，CF的最小值是 　 　 ．
15．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　 　 ．
16．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sinA，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是 　 　 ．
17．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 　 　 ．
三、解答题
18．如图，已知抛物线y＝ax2x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以BC为边作正方形CBDE，求对角线BE所在直线的解析式；
（3）点P是抛物线上一点，若∠APB＝45°，求出点P的坐标．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，AD＝7，点P在边AD上运动（不与点A，D重合），E是边AB上一点，连接PC，PE，EC．
（1）当点B，P关于直线EC对称时，求BE的长；
（2）设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，求a，AP的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵CD＝AE，BC＝AC，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cos30°＝4，OAOC＝2，
∴OP＝2，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥2，
∴PC的最小值为2．
故选：B．
2．【解答】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，作△ABC的外接圆D，
当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2，
∴△ABC的最大面积为．
故选：D．
3．【解答】解：连接AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为1，
连接OE，OC，
∴OEAB＝1
在Rt△AOC中，
∵OA＝1，AC＝2，
∴OC，
由于OC，OE＝1是定值，
点E在线段OC上时，CE最小，如图2，
∴CE＝OC﹣OE1，
即线段CE长度的最小值为1．
故选：C．
4．【解答】解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH，
∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO＝90°，
∴∠PIO＝180°（∠HOP+∠OPH）＝180°（180°﹣90°）＝135°，
又∵OP＝OA，OI公共，
而∠IOP＝∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO＝∠PIO＝135°，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO取点P′，连P′A，P′O，
∵∠AIO＝135°，
∴∠AP′O＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AO′O＝90°，而OA＝2cm，
∴O′OOA2，
∴弧OA的长π（cm），
所以内心I所经过的路径长为 πcm．
故选：B．
5．【解答】解：在△MOC和△NOA中，
，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO＝∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO＝90°，∠MCO＝∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP＝90°，
∴∠MPN＝90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO＝∠ANO，可得∠MPN＝90°，MP⊥NP，
∴P在以MN为直径的圆上，
∵M（﹣4，0），N（0，4），
∴圆心G为（﹣2，2），半径为2，
∵PG﹣GC≤PC，
∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小，
∵GN＝GM，CN＝CO＝2，
∴GCOM＝2，
这个最小值为GP﹣GC＝22．
故选：A．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC2，
∴PC的最小值为24，
故选：C．
7．【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
二、填空题
8．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AOAB＝1，
在Rt△AOD中，OD，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：1．
9．【解答】解：连接AG．
∵CF⊥AE于F，
∴AO，
在直角△AOC中，AC2，
则以AC为直径的圆的周长是2π．
故答案为：2π．
10．【解答】解：当点C为弧AB的中点时，△ABC内切圆半径r的最大，如图，连接OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，
∵点C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BDAB＝6，AC＝BC，
∴点M在CD上，
∴ME和MD都为⊙M的半径，
设ME＝MD＝r，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝30°，∠ACD＝60°，
在Rt△ACD中，CDAD，
在Rt△CEM中，∠ECM＝60°，∠CME＝30°，
∴CEEMr，
∴CM＝2CEr，
∵CM+DM＝CD，
∴r+r，
∴r＝6﹣3，
故答案为：6﹣3．
11．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FDMD，
∴FM＝DM×cos30°，
∴MC，
∴A′C＝MC﹣MA′1．
故答案为：1．
12．【解答】解：如图，取AC的中点为O'，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4cm，AB＝5cm，
∴BC3cm，
在Rt△BCO′中，BO′cm，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E2（cm），
故答案为：（）cm．
13．【解答】解：如图，作△ABO的外接圆⊙G．连接AG，BG，OG，CG，CG交AB于J．
∵∠AOB＝135°，
∴∠AGB＝90°，
∵AB＝2，
∴AG＝GB＝OG，
∵GA＝GB，CA＝CB，
∴CG垂直平分线段AB，
∴AJ＝JB＝1，
∴CJ，GJ＝AJ＝BJ＝1，
∴CG＝1，
∴OC≥CG﹣OG，
∴OC≥1，
∴OC的最小值为1．
故答案为：1．
14．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422．
故答案为：120°，2．
15．【解答】解：∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，
∵点G为OD的中点，
∴OGODOA＝2，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝60°，AG＝2，
∵OA＝OC，
∴∠ACG＝30°，
∴AC＝2AG＝4，
∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，
∴的长为，
故答案为：．
16．【解答】解：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，
∵BC＝8，sinA，
∴点A在优弧BC上运动，
当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，
∴BH＝4，
∵∠BOH＝∠BAC，
∴BO＝5，OH＝3，
∴AH＝8，cos∠BOH，
∴S△ABC最大为32，
∵CM⊥AB，
∴cos∠MAC，
∵AB＝AC，AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴S△AMN，
故答案为：．
17．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠C＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，
∵tan∠AFB，
作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AEAB＝2，∠AOE＝∠AFB，
∴tan∠AOE，
∴OE＝4，OA，
∴BC（ACBC）（AC+CF）（OA+OF），
∴BC的最大值为4．
故答案为：．
三、解答题
18．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3
∴3，解得：a
∴抛物线的解析式为yx2x+4
（2）当yx2x+4＝0时，解得：x1＝﹣2，x2＝8
∴A（﹣2，0），B（8，0）
∴AB＝10，OB＝8
当x＝0时，yx2x+4＝4
∴C（0，4），OC＝4
①如图1，若点E在第一象限，过点E作EF⊥y轴于点F
∴∠CFE＝∠BOC＝90°
∵四边形CBDE是正方形
∴∠BCE＝90°，BC＝CE
∴∠BCO+∠OBC＝∠BCO+∠FCE＝90°
∴∠OBC＝∠FCE
在△FCE与△OBC中
∴△FCE≌△OBC（AAS）
∴FC＝OB＝8，EF＝OC＝4
∴OF＝OC+FC＝12
∴E（4，12）
设直线BE解析式为：y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线BE解析式为y＝﹣3x+24
②如图2，若点E在第三象限，过点E作EF⊥y轴于点F
同理可证：△FCE≌△OBC（AAS）
∴FC＝OB＝8，EF＝OC＝4
∴OF＝FC﹣OC＝8﹣4＝4
∴E（﹣4，﹣4）
设直线BE解析式为：y＝k'x+b'
∴ 解得：
∴直线BE解析式为yx
综上所述，直线BE解析式为y＝﹣3x+24 或yx
（3）以AB为斜边作等腰Rt△AGB，则AG＝BG，∠AGB＝90°
以点G为圆心、AG长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有∠APB＝45°．
如图3，若点G在第一象限，⊙G与抛物线交点只有A、B，即没有满足条件的点P使∠APB＝45°
如图4，若点G在第四象限，过点G作GM⊥x轴于点M
∴AM＝BM＝GMAB＝5，
∴G（3，﹣5）
设P（p，p2p+4）
∵PG＝AGAB＝5，
∴PG2＝50 可得方程：（p﹣3）2+（p2p+4+5）2＝50，
∴（p﹣3）2[（p﹣3）2﹣45]2＝50，
令p﹣3＝t，
∴t2（t2﹣45）2＝50，
解得t2＝49或t2＝25，
∴p1＝﹣4，p2＝10，p3＝﹣2（即点A，舍去），p4＝8（即点B，舍去）
∴p2p+4＝﹣6
∴点P坐标为（﹣4，﹣6）或（10，﹣6）
19．【解答】解：（1）如图1中，
在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，
∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．
（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2．
理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．
∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，
∴∠ABD＝∠CBQ，
∵AB＝BC，DB＝BQ，
∴△ABD≌△CBQ（SAS），
∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，
∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，
∴∠DCQ＝90°，
∴DQ2＝DC2+CQ2，
∵CQ＝DA，DQ＝DB，
∴DB2＝DA2+DC2．
（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．
则△AER是等边三角形，∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，
∴RE2＝RB2+EB2，
∴∠EBR＝90°，
∴∠RAE+∠RBE＝150°，
∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，
∴∠BEC＝150°，
∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，
∵∠K+∠BEC＝180°，
∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴点E的运动路径．
20．【解答】解：（1）如图1中，作CM⊥AD于M．设BE＝x．
∵△CEP是由△CEB翻折得到，
∴CP＝CB＝10，PE＝EB＝x，
∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝∠M＝90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM＝AB＝6，AM＝BC＝10，
在Rt△PCM中，PM8，
∴AP＝AM﹣PM＝2，
在Rt△PAE中，∵PE2＝AP2+AE2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
∴x，
∴BE．
（2）如图2中，以CE为直径作⊙，当⊙O与直线AD相切于点P时，存在唯一点P，使∠EPC＝90°．连接OP，延长PO交BC于H．
∵AD是⊙O的切线，
∴OP⊥AD，
∴∠HPA＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形PABH是矩形，
∴PH＝AB＝6，AP＝BH，OH∥EB，
∵CO＝OE，∴CH＝HB＝5，
∴OHEBa，AP＝BH＝5，
∵POEC，
∴6a ，
解得a，
∴AP＝5，a．
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