2025年九年级数学中考三轮冲刺训练几何变换训练（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练几何变换训练
1．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 　 　 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
2．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
（1）如图1，当∠ACD＝15°时，求∠BDE的度数；
（2）如图2，连接BE，当0°＜∠ACD＜90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变，求∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC＝4，求线段EN的取值范围．
3．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：　 　 ；
②求证：CD＝2BF．
4．如图1，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α得到△DBE，此时点D落在AC的延长线上．
（1）求α的大小；
（2）设AB＝x，BC＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，连接AE，F为AE的中点，连接BF，证明：直线BF⊥AD．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；
（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CNBD；
（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
（1）问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　 　 ，AD与BE的位置关系是 　 　 ；
（2）类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
8．【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BDBC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．
10．在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．
（1）如图1，求∠ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．
（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；
（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．
11．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；
（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；
（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．
12．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．
（1）若∠BDC＝90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 　 　 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的长；
（3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
13．如图，在Rt△ABC中，，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）求证：△CAD≌△CBE；
（2）若AD＝2时，求CE的长；
（3）点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
14．如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 　 　 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
15．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 　 　 ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CEAE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BCAB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．
17．如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．
（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图，，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴；
（3）如图，当点D在CB延长线上时，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，
∴，
∴；
当点D在BC延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，
同理可得：△ACD≌△DME，
∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝2，
∴CM＝2﹣1＝1，
∴CE，
∴sin∠ECD，
综上，sin∠ECD或．
2．【解答】解：（1）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+15°＝45°，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝120°﹣45°＝75°；
（2）方法一，
如图1，
∠ABE的度数不变，理由如下：
连接CE，
∵线段DC顺时针旋转120°得到线DE，
∴∠CDE＝120°，CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴点B、C、D、E共圆，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°，
方法二，
如图1，
连接CE，
由上知：∠DEC＝∠ABC，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵∠COD＝∠BOE，
∴△COD∽△BOE，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°；
（3）如图2，
连接CE，
由（2）知，
∠DCE＝30°，
∵线段CM时针转120°得到线段CN，
∴∠DCN＝120°，CN＝CM，
∴∠ECN＝∠DCN﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°，
设CN＝CM＝3a，DM＝2a，DE＝CD＝5a，
∴CECD＝5，
∴EN2a，
∵点D在AB上，
∴AC≤CD＜AC，
∴2≤5a＜4，
∴a，
∴EN．
3．【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，
∴AE＝2BF，
∴CD＝2BF，
∵，
∴∠FAB＝∠FBA．
∴∠FBA＝∠BCD，
∵∠FBA+∠FBC＝90°，
∴∠FBC+∠BCD＝90°．
∴BF⊥CD；
（2）①BF⊥CD；
理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长EB到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N．
证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．
∴∠ABG＝∠BCD，
∵F是AE中点，B是EM中点，
∴BF是△ABM中位线，
∴BF∥AN，
∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ANC＝90°，
∴AN⊥CD，
∵BF∥AN，
∴BF⊥CD．
故答案为：BF⊥CD；
②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．
∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，
∴△AGF≌△EBF（SAS），
∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE．
∴AG∥BE．
∴∠GAB+∠ABE＝180°，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝180°，
∴∠GAB＝∠DBC．
∵BE＝BD，
∴AG＝BD．
在△AGB和△BDC中，
∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，
∴△AGB≌△BDC（SAS），
∴CD＝BG．
∵BG＝2BF，
∴CD＝2BF，
4．【解答】解：（1）由旋转可得BA＝BD，
又∵点D落在AC的延长线上，∠BAC＝45°，
∴∠BDA＝∠BAC＝45°，
∴α＝∠ABD＝90°，
（2）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠BAC＝45°，则△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∵∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝y，
∴，，
∵，
∴，
（3）证明：如图2，连接DF，
∵∠BDA＝∠A＝45°，由旋转可得∠BDE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴DE⊥AD，
∵F是AE的中点，
∴DF＝AF，
在△ABF和△DBF中，
，
∴△ABF≌△DBF（SSS），
∴，
∴∠FBD＝∠BDE＝45°，
∴BF∥DE，
∴BF⊥AD．
5．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PFPD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BFDEb，
∴S△CEF，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEF，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF，
∴△CEF的面积是30．
6．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD（ASA），
∴BD＝CE，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2BD，
∴AC＝2BD；
证明：（2）过点G作GH⊥AB于H，连接HF，
∵BD∥AC，
∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AGF≌△DBF（AAS），
∴AG＝BD，BF＝GF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵GH⊥AH，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF，
∴，
∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC，
∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°，
∵FM⊥BG，
∴∠BFM＝90°，
∴∠HFM＝∠CFN，
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，
∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x，
∵CN平分∠ACB，
∴，
∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x，
∴∠HMF＝∠CNF，
∴△HFM≌△CFN（AAS），
∴HM＝CN，
∵AM＝AH+HM，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH，
∵BD∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝∠CBD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴BC＝DH＝AC，
∵点F是AD的中点，且AF＝AC，
∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠DFH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDA＝∠DAH＝30°，
∴∠FHA＝∠FAH＝30°，
由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH，
∴∠DFQ＝∠HFP，
∴△DFQ≌△HFP（SAS），
∴∠FDQ＝∠FHP＝30°，
∴点Q在直线DQ上运动，
设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，，
∴∠BDQ＝60°，
由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值，
∴∠DBQ＝30°，
设AC＝DH＝6a，则，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DFK中，，
∴，
∴QK＝DK﹣DQ＝3a，
在Rt△FQK中，由勾股定理得，
∵△DFQ≌△HFP，
∴，
∴，
∴由折叠的性质可得：，
∵FT≤FQ+TQ，
∴，
∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
7．【解答】解：（1）如图1，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，
∴AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，
∴∠EHA＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE；
（2）线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下：
如图2，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CDA＝∠CEB，
∴BE＝3AD，
∵∠CEB+∠ENH＝∠CDA+∠CND＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）如图3，过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴，
∴AN 1，
∴AN，
∵AC＝DC，CN⊥AB，
∴AD＝2AN，
由（2）可知：BE＝3AD．
8．【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD；
②解：AD＝BD+DF．
理由如下：
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE，
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD＝DF，
∵AD＝AE+DE，
∴AD＝BD+DF；
（2）BD+DFAD．
理由如下：
如图1，过点B作BE⊥AD于E，
∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC＝∠ADB，
又∵CD⊥BD，
∴∠ADC＝∠ADB＝45°，
又∵BE⊥AD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，CD＝DF，
∴DFAE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD，
∴BD+DF，
即：BD+DFAD．
（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，
又∵∠ADB＝45°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
又∵AD＝4，
∴AG＝DG＝4，BD+DFAD＝8，
∵BD＝3CD，CD＝DF，
∴DF＝2，
又∵DG＝4，
∴FG＝DG﹣DF＝2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：，
∴cos∠AFB．
9．【解答】（1）解：ADEF，理由如下：
连接BE，如图：
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝45°，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°，
∵直线l⊥BC，
∴∠EBF＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BEEF，
∴ADEF；
（2）证明：如图，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠COB＝90°，ABBC，
∵∠BFG＝90°，
∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A，
∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，
∴BC∥GF，
∴∠CEG＝∠BCE，
∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴∠CEG＝∠ACD，
∵CE＝CD，
∴△CEG≌△DCA（AAS），
∴CG＝AD，
∵AD+BD＝AB，
∴CG+BDBC；
（3）解：由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m，
当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图：
由（2）知△CEG≌△DCA，
∴GE＝AC＝3m，
∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°，
∴四边形BCKF是矩形，
∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，
∴KE＝KF﹣EF＝2m，
∴GK＝GE﹣KE＝m，
∵∠G＝45°，
∴CK＝GK＝m，
∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2，
∴S1CD CECE2，
∵AC＝BC＝3m，
∴S2AC BC，
∴；
当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图：
同理可得BC＝AC＝EG＝3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2m，
∵TF＝BC＝3m，
∴TG＝TF﹣FG＝m，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠AOC＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠ETC＝90°，
∴CT＝TG＝m，
∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2，
∴S1，
∴；
综上所述，的值为或．
10．【解答】（1）解：∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，
∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，
∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，
∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，
即∠ADB的大小为90°；
（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵ME⊥AD，
∴ME∥BD，
∵ED∥BM，
∴四边形EMBD是平行四边形，
∴DE＝BM＝AM，
∴DE∥AM，
∴四边形EAMD是平行四边形，
∵EM⊥AD，
∴平行四边形EAMD是菱形，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、C、D、B四点共圆，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD；
（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，
则∠EHA＝∠EHB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10，
∵四边形EAMD是菱形，
∴AE＝AMAB＝5，
∴sin∠CAB，
∴EH＝AE sin∠CAB＝53，
∴AH4，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，
∴tan∠ABE，
即tan∠ABE的值为．
11．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CBE＝∠CAF；
（2）证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，
又∵△BCE≌△ACF，
∴AF＝BE，CF＝CE，
∴AF＝CF，
∴F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝BC，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC，
∴AC⊥BF，AG＝CGAC，
∴∠AGF＝90°，
又∵DGAC＝CG，∠ACD＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴∠CGD＝∠CDG＝60°，
∴∠AGH＝∠DGC＝60°，
∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD，
∴∠HKF＝∠ADK＝30°，
∴∠FKG＝∠KGF＝30°，
∴FG＝FK，
在Rt△CED与Rt△CGF中，
，
∴Rt△CED≌Rt△CFG，
∴GF＝ED，
∴ED＝FK，
∴四边形EDFK是平行四边形，
∴EH＝HF；
解法二：连接CH，证明∠CHE＝90°，可得结论．
（3）解：依题意，如图所示，延长AP，DQ交于点R，
由（2）可知△DCG是等边三角形，
∴∠EDG＝30°，
∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，
∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，
∴∠PAE＝∠QDE＝60°，
∴△ADR是等边三角形，
∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°，
由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，
∴DE＝GF，
∴DE＝DQ，
∴GF＝DQ，
∵∠GBC＝∠QDC＝30°，
∴GF∥DQ，
∴四边形GDQF是平行四边形，
∴QF＝DGAC＝2，
由（2）可知G是AC的中点，则GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA＝30°，
∴∠AGD＝120°，
∵折叠，
∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°，
∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°，
又PG＝GE＝GQ，
∴PQPGGQ，
∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，
∴GQGCDC＝1，
∴PQ，
∴PQ+QF2．
解法二：由两次翻折，推得∠PGQ＝360°﹣240°＝120°，则PQPGEG，
由QF＝DG＝2，推出PQ1+QF的最小值，只需要求出EG的最小值，
当EG⊥AD时，EG的值最小，最小值为1，
∴PQ+QF的最小值为2．
12．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，∠DBC＝30°，在Rt△BAE中，∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，
∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC＝∠ABC+∠EBC，，
∴，∠DBE＝∠CBA，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∴，
故答案为：ACDE；
（2）在Rt△BAE，∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，AB＝4，
∴AE＝AB sin∠EBAAB＝2，∠BAE＝60°，
延长DE交AB于点F，如图所示，
∴，，
∴BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，
由（1）可得，
∴，
∴，
在Rt△BFD中，，
∵△ABC∽△EBD，
∴，
∴，
即；
（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB＝90°，∠EBA＝30°，连接BE，EA，ED，EC，
同（1）可得△BDE∽△BCA，
∴，
∵AC＝2，
∴，
在Rt△AEB中，AB＝4，，
∴D在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则，
在Rt△ABD中，，
∴cos∠BDA，sin∠BDA，
∵∠BEA＝60°，
∴∠BED＝120°，
∵△ABC∽△EBD，
∴∠BDE＝∠BCA，
过点A作AF⊥BC于点F，
∴，，
∵∠DBC＝30°，
∴BCBD2，
∴，
Rt△AFB中，tan．
13．【解答】（1）证明：由题意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE．
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵在 Rt△ABC中，，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．
∵△CAD≌△CBE（SAS），
∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∴，
∴在 Rt△CDE 中，；
（3）解：存在，理由：
由（2）可知，AD2+BD2＝BE2+BD2＝DE2＝2CD2，
∴当CD最小时，有 AD2+BD2 的值最小，此时 CD⊥AB．
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴，
∴AD2+BD2＝2CD2≥2×32＝18．
即 AD2+BD2 的最小值为18．
14．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵BM＝DN，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∴，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH＝EG＝EF+FG＝9，
∴AM＝HE＝9，
∴，
∴AH；
（3）证明：如图，
延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMR＝∠H，交AX于R，
∴XM＝2BM，
∵AB⊥XM，
∴AX＝AM，
∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，
设∠XAB＝∠BAM＝α，
∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，
∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，
∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，
∴∠X＝∠MRX，
∴RM＝XM，
∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，
∴△HEF≌△MAR（ASA），
∴FH＝RM＝XM＝2BM．
15．【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF，
∴EF，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CEAE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，
由（2）可知BD+2CEAE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴2；
如图4，当90°＜α＜180°时，
在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EFAE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DEAE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴2．
综上所述，的值为22或22．
16．【解答】（1）证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH60°，BC＝2BH，
∴sin60°，
∴BH，
∴BC＝2BH；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB30°，
由（1）得，
，
同理可得，
∠DBE＝30°，，
∴∠ABC＝∠DBE，，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴；
（3）解：如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，CE，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a cos60°，BF＝3a．sin60°，
在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2aa，
BDa，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴，
∴，
∴AG，
∵AN∥DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴ANaa，
∴，
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE4，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR，
∴BD2a，
∴，
∴AQ，
∴ANa，
∴，
综上所述：或．
17．【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，
∴PB'∥AB．
∴∠B'PA＝∠BAP，
又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，
∴∠B'PA＝∠B'AP．
故PB′＝AB′．
（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，如答图1所示，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴BC，PC，PB，
由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴∠PB'A＝∠ACB，
又∠CDP＝∠B'DA，
∴△CDP∽△B'DA．
∴．①
设B'D＝b，则CDb．
∴AD＝AC﹣CD＝ab，
PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'Db，
由①得：．
解得：b．
过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形．
∴B'E＝sin45°×B'D，
∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a．
又AD＝AC﹣CD＝ab＝a．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD．
（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m．理由如下：
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．
∴BC＝2m．
①如答图2所示，
由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A．
当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，
又∠B＝60°，
∴△PAB为等边三角形．
又由折叠可得四边形ABPB'为菱形．
∴PB'∥AB，
∴PB'⊥AC．
又∵AP＝AB'，
则易知AC为PB'的垂直平分线．
故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意．
此时，．
②当点B'落在BC上时，如答图3所示，
此时CB'＝AB＝m，
则PB'，
∴PC＝CB'+PB'＝m，
∴．
综上所述，的值为或．
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