2025年九年级数学中考三轮冲刺训练胡不归问题专题训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练胡不归问题专题训练
一、问题背景
从前，有一个小伙在在外地求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线：如下图（1），A是出发地，B是目的地；直线l是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这合适的路线应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在驿道上选定一点C，小伙子从A走到点C，然后从点C折往点B，可望最早到达点B。
二、典型习题
（一）、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（　　）
A．7 B． C． D．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），C（﹣3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．若P为y轴上一个动点，连接AP，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
3．如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　）
A． B．3 C．1 D．
（二）、填空题
4．如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则ACBC的最大值为 　 　 ．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PCPB的最小值为 　 　 ．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 　 　 ．
（三）、解答题
7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝30°延长BC至D使CD＝BC，连接AD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若E为线段CD的中点，且AD＝8，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．求的最小值．
9．如图，正方形OABC的边长为2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OP、PA．
（1）求证：∠POA＝2∠PAQ；
（2）连接PB，求的最小值．
10．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最小值为　 　 ，PDPC的最大值为 　 　 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PDPC的最小值，以及PDPC的最大值．
11．如图，已知抛物线y（x﹣2）（x+4）（k为常数，且k大于0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线第一象限的图象上，且∠BAD＝30°．
（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F是线段AD上一点（不含端点），连接BF，一动点M从点B出发，沿线段BF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少，最少用时是多少？
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点C为顶点的正方形CDEF（C，D，E，F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且 CD，连结AF，BD．
（1）求证：△BDC≌△AFC；
（2）在正方形CDEF旋转过程中，求 BDAD的最小值．
13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B，与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为点P，在y轴上找一点Q，使PQCQ的值最小，求出最小值，以及此时Q点的坐标．
14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，OA＝6，⊙O的半径为2，点P是⊙O上一动点，连接AP，BP，求APBP的最小值．
15．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．
（1）求AM+BM+CM的最小值；
（2）求AMBM的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3
答案 D C A
1．【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM﹣△ACP，
∴，
∴，
∴，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，
∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝6，
∴BM．
∴AP+BP．
则AP+BP的最小值为．
故选：D．
2．【解答】解：连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H，如图，
∵C（﹣3，0），B（0，3），
∴OC＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∴PGBP，
∴PG+AP≥AG≥AH，
∴的最小值为AH的长，
∵A（1，0），C（﹣3，0）
∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
在Rt△ACH中，
∵∠ACH＝45°，AC＝4，
∴AHAC，
∴的最小值为．
故选：C．
3．【解答】解：以AP为斜边在AP的下方作等腰直角三角形ADP，则AD＝DPAP，
∴AP+PB＝DP+PB，
∴当D，P，B在一条直线上时，AP+PB取得最小值．
∵△ADP是等腰直角三角形，
∴∠DAP＝45°．
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAP＝60°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠BAD，
∴BD＝AB sin60°＝2．
∴AP+PB的最小值为．
故选：A．
二、填空题、
4．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：
∵tan∠C＝2，
在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得，
∴，即，
∴，
延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示：
∴，
∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，
在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°，
由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示：
由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求 的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示：
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝5，
∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即 的最大值为，
故答案为：．
5．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD，
∴sin∠ABD，
∴EP，
∴PCPB＝PC+PE，
即点C、P、E三点共线时，PCPB最小，
∴PCPB的最小值为CH的长，
∵S△ABC，
∴4×4＝5×CH，
∴CH．
∴PCPB的最小值为．
故答案为：．
6．【解答】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF，
∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝42，
∴（PA+2PB）最小＝2BF＝4，
故答案为：4．
三、解答题
7．【解答】解：（1）连接AN，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN＝EN，
∴EN＝CN；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BN＝2NG，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN＝AN，
∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴AH＝AB sin60°，
∴2EN+BN的最小值为2．
8．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AC⊥BD，∠B＝60°，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
（2）如图，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′，
∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，
∴，
∴，
∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，
∴，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF′＝30°，
∴
∴，
∴的最小值为．
9．【解答】（1）证明：延长AO，交圆O于点Q，连接PQ，
∵AQ为圆O的直径，
∴∠QPA＝90°，即∠QPO+∠OPA＝90°，
∵正方形OABC，
∴∠OAB＝90°，即∠PAB+∠OAP＝90°，
∵OP＝OA，
∴∠OPA＝∠OAP，
∴∠QPO＝∠OAP，
∵OP＝OQ，
∴∠QPO＝∠PQO，
∵∠POA为△OPQ的外角，
∴∠POA＝2∠QPO，
则∠POA＝2∠PAQ；
（2）解：延长QP到F，使PF＝PQ，在PF下方作正方形PFGN，连接PG，此时PGPFPQ，
要使PBPQ最小，即为BP+PG最小，如图所示，当B、P、Q三点共线，且在OB上时最小值为BG，
∵正方形OABC的边长为2，
∴OBOA＝2，
∵OP＝OA＝2，
∴PB＝OB﹣OP＝22，PQ＝PFPB＝2，
∴PQPF＝22，即BG＝44，
则PBPQ的最小值为44．
10．【解答】解：（1）如图1，
在BC上截取BE，
∴，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴PEPC，
∴PDPC＝PD+PE≥DE，
PDPC＝PD﹣PE≤DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴DE，
∴PDPC的最小值为：，此时点P在P′处，
PDPC的最大值为：，此时点P在P″处，
故答案为：，；
（2）如图2，
在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∴，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴PEPC，
∴PDPC＝PD+PE≥DE，
PDPC＝PD﹣PE≤DE，
在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，
∴CF＝4 cos60°＝2，DF＝4 sin60°＝2，
在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，
∴DE，
∴PDPC的最小值为：，此时点P在P′处，
PDPC的最大值为：，此时点P在P″处，
11．【解答】解：（1）抛物线y（x﹣2）（x+4），
令y＝0得，（x﹣2）（x+4）＝0，
解得x＝2或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，
过点D作DE⊥x轴于E，
∴OE＝5，AE＝9，
∵∠BAD＝30°，
∴DE＝tan30°×AE＝93，
∴D（5，3），
∵点D在抛物线y（x﹣2）（x+4）的图象上，
∴（x﹣2）（x+4）＝3，
∴k，
∴抛物线的函数解析式为：y（x﹣2）（x+4），
即y；
（2）过点D作x轴的平行线，过点B作BH∥y轴交平行线于H，交AD于F，
∴∠HDF＝∠DAB＝30°，
∴HFDF，
由题意知：动点M的运动路径为BF+DF，
∴点M的运动时间t＝BFDF＝BF+HF，
根据垂线段最短得：t的最小值为BH的长，
即t＝3秒，
此时F的横坐标为2，
设AD的解析式为：y＝kx+b，
将（﹣4，0），（5，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为：y，
当x＝2时，y＝2，
∴F（1，2）．
∴当点F的坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少，为3秒．
12．【解答】（1）证明：∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠FCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCD，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）．
（2）解：如图．取AC的中点M．连接DM，BM．
∵CD，CA＝2，CM＝1，
∴CD2＝CM CA，
∴，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴，
∴DMAD，
∴BDAD＝BD+DM≥BM，
∴BDAD的最小值为BM的长，
∵BM，
∴BDAD的最小值为．
13．【解答】解：如图，
连接AC，过点Q作QD⊥AC于D，
由x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
∴A （1，0），B（3，0），P（﹣3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴AC，
∴sin∠ACO，cos∠ACO，
∴DQCQ，
∴PQCQ＝PQ+DQ，
∴当点P、Q、D共线时，PQCQ最小，
∵∠PDA＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠APD+∠CAO＝90°，
∴∠APD＝∠ACO，
∴PD＝PA cos∠APD＝4 cos∠ACO＝4，
∴PQCQ的最小值为：，
∵OP＝OC，
∴△POQ≌△COA（ASA），
∴OQ＝OA＝1，
∴Q（0，1）．
14．【解答】解：在OB上取点Q，使OQ＝1，连接PO，PQ，AQ，
∵，，
∴，
∵∠POQ＝∠POB，
∴△POQ∽△BOP，
∴，
∴PQPB，
∴APPB＝AP+PQ，
当APBP的值最小，只需AP+PQ最小，
∴当A，P，Q三点共线时，AP+PQ最小，最小值是AQ的长，
此时：AQ．
∴APPB的最小值是．
15．【解答】解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，
∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，
∴BM＝MM′，
∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，
当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，
此时A′C＝2CE＝2．
故AM+BM+CM的最小值为4；
（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MHBM，
∴AMBM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB sin60°＝2，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥2，
∴AMBM≥2，
∴AMBM的最小值为2，
故答案为：2．
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