2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形专题训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形专题训练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE＝∠C，并与DA的延长线交于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当AB＝16，BC＝12时，求DE的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
3．如图，在△ABC中，点D在AC上，连接BD，以BD为直径作⊙O，⊙O经过点A，与BC交于点E，且．
（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的长．
4．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
5．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，．
（1）求证：△ACD∽△ECB；
（2）若AC＝3，BC＝1，求CE的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
（1）求证：BC DF＝BF CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径．
8．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA AC＝DC AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
10．如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF AD；
（2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC，CE＝6，求OF的长．
13．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC，求AD的长．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵，
∴∠D＝∠C，
∴∠C+∠ABD＝90°，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠ABE+∠ABD＝90°，
即∠EBD＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，
由勾股定理得，，
∵∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵BD是⊙O的直径，
∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°，
由勾股定理得，AD，
由（1）知∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠BAD＝90°，
又∵∠D为公共角，
∴△BDA∽△EBD，
∴，
∴，
∴DE．
2．【解答】（1）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如图：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°
3．【解答】解：（1）∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝25°，
∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AEB＝∠ADB＝65°，
∴∠AEC＝115°．
（2）连接DE，
∵
∴DE＝AD＝3，
∵BD为直径，
∴，
∴BE＝AB＝6，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠CED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴，
设CE＝x，CD＝y，则，
∴，
∴CE＝4．
4．【解答】（1）证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD3，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB，
∴半径为．
5．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB．
6．【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠EBC，
∴△ACD∽△ECB；
（2）解：过B点作BH⊥CD于H点，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，AB，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BDAB，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝45°，
∴CH＝BHBC，
在Rt△BDH中，DH，
∴CD＝CH+DH2，
∵△ACD∽△ECB，
∴CA：CE＝CD：CB，即3：CE＝2：1，
解得CE，
即CE的长为．
7．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BFD＝∠C，
∵，
∴∠BEC＝∠BDF，
∴△BCE∽△BDF，
∴，
∴BC DF＝BF CE；
（2）解：连接DE，过E作EH⊥BD于H，如图：
∵∠C＝90°，tan∠BFC，
∴，
∴BCCF，
∵∠A＝∠CBF，
∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，
∴tan∠ABC＝tan∠BFC，
∴，
∴ACBC（CF）＝5CF，
∵AC﹣CF＝AF＝4，
∴5CF﹣CF＝4，
∴CF，
∴BCCF＝5，AC＝5CF＝5，
∴AB5，
由（1）知△BCE∽△BDF，
∴∠CBE＝∠DBF，
∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，
∵∠A＝∠CBF，
∴∠A＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∴BH＝AHAB，
∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC，
∴，即，
∴EH，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH，
∴tan∠EDH＝tan∠BEH，
∴，即，
∴DH，
∴BD＝DH+BH3，
∴⊙O的直径为3．
答：CF的长为，⊙O的直径为3．
8．【解答】解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA AC＝DC AB，
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠CDE＝90°，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；
（2）如图，∵OA∥CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴，
设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，
∵BC＝BE＝2a，
∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，
∴，
∴CDa，
∵△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC CDa2，
∵△ABC∽△DAC，
∴（）2，
∴S2S1，
∴m．
9．【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC，BC＝2，
∴AB5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴CG是AF的垂直平分线，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴，
∴，
∴ED．
10．【解答】（1）证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，
∴∠AHE＝∠AEC＝90°，
∵∠HAE＝∠EAC，
∴△HAE∽△EAC，
∴，
∴AE2＝AH AC，
∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°，
∴△AHF∽△ADC，
∴，
∴AH AC＝AF AD，
∴AE2＝AF AD．
（2）解：连接BC，
∵∠ADC的平分线交⊙O于点B，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC＝5，
∵∠ABC＝90°，
∴AC5，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴sin∠ACD＝sin∠ABD，
∴ADAC52，
∴AD的长是2．
11．【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴，
∴PB，
∴DP6．
故答案为：．
12．【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF∥OD，EF＝OD，
∵OA＝OD，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过点F作FH⊥OA于点H，
∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∴∠CFE＝∠CAB，
∴sin∠CFE＝sin∠CAB，
在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，
∵CE＝6，sin∠CFE，
∴EF，
∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，
∴ AOEF是菱形，
∴AF＝AO＝EF＝10，
在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，
∵AF＝10，sin∠CAB，
∴FH＝AF，
∵AH2＝AF2﹣FH2，
∴AH，
∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，
∵OF2＝OH2+FH2，
∴OF，
∴OF＝2．
13．【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是的中点
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，
∴AE＝AB＝3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
又∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
即：，
解得：DE＝2，
∴AD＝AE﹣DE＝1．
14．【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CEBC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AD AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．
15．【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC．
∵AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠F．
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF；
（2）解：连接BE，如图，
∵∠BDE＝∠F，
∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，
∵CF＝1，tan∠F，
∴CE＝2．
∵BD是⊙O直径，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥EF．
∵EC⊥BF，
∴△ECF∽△BCE，
∴，
∴EC2＝BC CF．
∴BC＝4．
∴BF＝BC+CF＝5．
∴BD＝BF＝5，
即⊙O的直径为5．
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