2025年九年级数学中考三轮冲刺训练一次函数中几何压轴题综合训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练一次函数中几何压轴题综合训练
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象l2与x轴、y轴分别交于点C、D．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）在x轴上是否存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q为平面内一点，且△CDQ为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
2．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）．
（1）求m和b的值；
（2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处．求：
（1）求A、B两点坐标；
（2）求M坐标：
（3）在x轴上找一点P，使得以点P、M、B'为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标．
（4）在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得∠ABN＝45°，请直接写出N点坐标．
5．如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在x轴上一动点P，使PA+PB最小时，求点P的坐标；
（3）在条件（2）下，求△ABP的面积．
6．如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点的坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求AB的函数表达式．
（2）点P是直线AB上方第一象限内的动点，如图2，当△ABP为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标．
7．平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求△BCA的面积；
（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求E点坐标；
（3）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标．
8．如图，直线y＝kx﹣8k交x轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积等于32．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P为线段OA上一点，连接PB，将线段PB绕点B顺时针旋转90°得到线段CB，连接PC，设点P的横坐标为m，请用m表示点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BC交x轴于点E，点D在EB的延长线上，且3∠CPE+∠BAD＝90°，AD+BD＝BE，连接AD，点Q在线段AD上，且∠PQA＝45°，求点Q的纵坐标．
9．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；
（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足+|a+1|＝0，点M为第三象限内的一点．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）若点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）若点M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，且MN∥AB，MN＝AB，求点N的坐标．
11．如图1，已知直线l1：y＝kx+b交x轴于A（6，0），交y轴于B（0，6）．
（1）直接写出k的值为 　 　，b的值为 　 　；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QD⊥x轴分别交直线l1、l2于D、E，连接OD、OE、OQ得到△ODE和△ODQ，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，求c和t的值；
（3）如图3，已知点M（﹣2，0），点N（m，2m﹣6）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求m的值．
12．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B，A．直线BC交y轴于点C（0，﹣4）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为坐标轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求OE的长；
（3）如图2，点P是A点下方y轴上的一点，且满足∠ODB＝∠PDA，求点P坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2与交于点M、N，
①若线段MN＝2，此时点N的坐标为 　 　；
②y轴上有一点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，当点M在点N的下方时，请直接写出Q点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 　 　，点D的坐标是 　 　；直线BE与直线CD的位置关系是 　 　；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB＝S△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点M（1，2），已知直线m经过点C（﹣1，0），且与y轴交于点D．
（1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式；
（2）若P为直线m上一动点，S△APM＝2S△BDM，求点P的坐标；
（3）点Q是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABQ为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4）；
故答案为（3，0）；（0，﹣4）；
（2）在x轴上存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°，
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
在Rt△OAB中，∠OAB+∠OBA＝90°，
由勾股定理得：AB5，
∵2∠BPO+∠OBA＝90°，
∴∠OAB＝2∠BPO，
∴有以下两种情况：
①当点P在点A的右侧时，如图1所示：
∵∠OAB是△BAP的一个外角，
∴∠OAB＝∠BPO+∠ABP，
∴2∠BPO＝∠BPO+∠ABP，
∴∠BPO＝∠ABP，
∴AP＝AB＝5，
∴OP＝OA+AP＝3﹣5＝8，
∴点P的坐标为（8，0）；
②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，如图2所示：
∵OE＝OA＝3，BE＝AB＝5，∠OEB＝∠OAB＝2∠BPO，
∵∠OEB是△BPE的一个外角，
∴∠OEB＝∠BPO+∠EBP＝2∠BPO，
∴∠BPO＝∠EBP，
∴PE＝BE＝5，
∴OP＝OE+PE＝3+5＝8，
∴点P的坐标为（﹣8，0），
综上所述：点P的坐标为（8，0）或（﹣8，0）；
（3）对于，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣12，
∴点C的坐标为（﹣12，0），点D的坐标为（0，5），
∴OC＝12，OD＝5，
当△CDQ为等腰直角三角形时，有以下6中情况：
①当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，如图3所示：
∴∠COQ＝90°，CD＝DQ，∠COD＝∠DFQ＝90°，
∴∠CDO+∠QDF＝90°，∠OCD+∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠QDF，
在△OCD和△QDF中，
，
∴△OCD≌△QDF（AAS），
∴OD＝QF＝5，OC＝DF＝12，
∴OF＝OD+DF＝5+12＝17，
∴点Q的坐标为（﹣5，17）；
②当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QFH⊥y轴于点H，如图4所示：
同理可证明：△OCD≌△HDQ（AAS），
∴OD＝HQ＝5，OC＝DH＝12，
∴OH＝DH﹣OD＝12﹣5＝7，
∴点Q的坐标为（5，﹣7）；
③当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QG⊥x轴于点G，如图5所示：
同理可证明：△OCD≌△GQC（AAS），
∴OC＝QG＝12，OD＝CG＝5，
∴OD＝OC+CG＝12+5＝17，
∴点Q的坐标为（﹣17，12）；
④当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QK⊥x轴于点K，如图6所示：
同理可证明：△OCD≌△KQC（AAS），
∴OD＝CK＝5，OC＝KQ＝12，
∴OK＝OC﹣CK＝12﹣5＝7，
∴点Q的坐标为（﹣7，﹣12）；
⑤当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的上方时，过点Q作QT⊥x轴于点T，QR⊥y轴于点R，如图7所示：
∴∠QTO＝∠QRO＝∠TOR＝90°，
∴四边形QTOR是矩形，
同理可证明：△QCT≌△QDR（AAS），
∴设CT＝DR＝a，QT＝QR，
∴矩形QTOR是正方形，
∴OT＝OR＝a，
∵OT＝OC﹣CT＝12﹣a，OR＝OD+DR＝5+a，
∴12﹣a＝5+a，
解得：a＝3.5，
∴OT＝12﹣a＝8.5，
∴点Q的坐标为（﹣8.5，8.5）；
⑥当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的下方时，过点Q作OM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，如图8所示：
∴四边形QMON为矩形，
同理可证明：△QCM≌△QDN（AAS），
∴设QM＝QN＝a，CM＝DN，
∴矩形QMON是正方形，
∴OM＝ON＝a，
∵CM＝OC﹣OM＝12﹣a，DN＝OD+ON＝5+a，
∴12﹣a＝5+a，
解得：a＝3.5，
∴QM＝QN＝3.5，
∴点Q的坐标为（﹣3.5，﹣3.5），
综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为（﹣5，17）或（5，﹣7）或（﹣17，12）或（﹣7，﹣12）或（﹣8.5，8.5）或（﹣3.5，﹣3.5）．
2．【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k．
∴k，b＝4，m＝2；
（2）对于直线l1：yx+1，令y＝0，得到x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
∴OD＝2，
对于直线l2：y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，AD＝6，
∵C（2，2），
∴S△ADC6×2＝6；
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（﹣1，5），C（2，2）关于x轴的对称点是（2，﹣2），
则设经过（2，﹣2）和B（﹣1，5）的函数解析式是y＝mx+n，
则，
解得：，
则直线的解析式是yx．
令y＝0，则x0，解得：x．
则E的坐标是（，0）．
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）．
3．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点C（3，m）．将点C代入y＝x+1得：
m＝3+1＝4，
将点C（3，4）代入直线得：
∴，
解得：b＝5；
（2）在中，当y＝0时，x＝15，
D（15，0），
OD＝15，
A（﹣1，0），
OA＝1，
AD＝1+15＝16；
①设PD＝t，则AP＝16﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示：
则CE＝4，
∵△ACP的面积为10，
∴，
解得：t＝11；
②存在t的值，使△ACP为等腰三角形；理由如下：
过C作CE⊥AP于E，如图1所示：
则CE＝4，OE＝3，
∴AE＝OA+OE＝4，
∴；
a．当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，
PD＝AD﹣AP＝8，
t＝8；
b．当AP＝AC时，如图2所示：
则，
，，
或；
c．当PC＝PA时，如图3所示：
设EP＝m，则，AP＝m+4，
∴，
解得：m＝0，
∴P与E重合，AP＝4，
PD＝12，
t＝12；
4．【解答】解：（1）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴令y＝0，则x＝6；令x＝0，则y＝8，
∴A（6，0），B（0，8）．
（2）∵A（6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∴，
由折叠的性质可知AB＝AB′＝10，BM＝B′M
∴OB′＝AB′﹣OA＝4，
设OM＝m，则B′M＝BM＝8﹣m，
在Rt△OB′M中，根据勾股定理得：m2+42＝（8﹣m）2，解得：m＝3，
∴M（0，3）．
（3）点P的坐标为（4，0）或（﹣9，0）或（1，0）或；理由如下：
由（2）知OB′＝4，OM＝3，可得，
分以下几种情况讨论：
①如图1，以点M为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时MP＝MB′＝5，
∴，
∴P（4，0）；
②如图2，以点B′为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时MP＝MB′＝5，
∴OP＝9或1，
∴P（﹣9，0）或（1，0）；
③如图3，作线段B′M的垂直平分线交x轴于一点P，此时MP＝PB′，
设OP＝x，则MP＝B′P＝4﹣x，
根据勾股定理得32+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
∴．
综合上述，点P的坐标为（4，0）或（﹣9，0）或（1，0）或．
（4）N（56，0）；理由如下：
如图4：作∠ABN＝45°，作AK⊥BN垂足为K，
∴∠KAB＝∠ABN＝45°，
∴BK＝AK，
∵AB＝10，AB2＝BK2+AK2，
∴102＝2AK2，
解得：，
∴，
设AN＝x，则，
∴，
∵ON＝6+x，
∴BN2＝OB2+ON2，
∴，
解得：x＝50或（不合题意，舍去），
∴ON＝6+50＝56，
∴N（56，0）．
5．【解答】解：（1）将点A（2，3）代入一次函数，
得1+b＝3，
∴b＝2，
∴y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点B坐标为（0，2），
当y＝x+2＝0时，x＝﹣4，
∴点C坐标为（﹣4，0）；
（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P′，当点P与点P′重合时，
此时PA+PB最小，
∵点B坐标为（0，2），
∴点D坐标为（0，﹣2），
设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），
代入A（2，3），D（0，﹣2），
得，
解得，
∴直线AD的解析式为，
当＝0时，x＝，
∴点P′坐标为（，0），
∴PA+PB最小时，点P坐标为（，0）；
（3）∵点C坐标为（﹣4，0），
∴CP＝＝，
∴S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP
＝
＝．
6．【解答】解：（1）直线AB的解析式为y＝kx+3，D点的坐标为（4，0），把x＝0代入y＝kx+3，得：y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
在直角三角形OAD中，由勾股定理得：，
∵点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，
∴OA＝AC＝3，OB＝BC，
∴CD＝AD﹣AC＝2，
设OB＝BC＝a，则BD＝4﹣a，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得，
∴点B的坐标为，
把代入y＝kx+3，得：
，
解得k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点P是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABP为等腰直角三角形时，分以下三种情况讨论：
①若∠PAB＝90°，AP＝AB，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图1，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，
∴∠APM＝∠BAO，
∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，
∴△APM≌△BAO（AAS），
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②若∠ABP＝90°，BA＝BP，如图2，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，
∴∠BAO＝∠PBM，
∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
③若∠APB＝90°，PA＝PB，如图3，过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作AM⊥PN，垂足为M，
设点P的坐标为（m，n），
∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，
∴∠PAM＝∠BPN，
∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝BN，
即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
7．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，当x＝0时，y＝3，
在y＝﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，，
∴，
∴，
∴；
（2）联立，
解得，
∴D点的坐标是（﹣3，3），
设点E的坐标为（t，0），则，DE2＝（﹣3﹣t）2+（3﹣0）2，
∵△BDE是以BD为底边的等腰三角形，
∴BE＝DE，
∴BE2＝DE2，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）如图，当点P在点A的下方，
∵A（0，3），D（﹣3，3），
∴AD＝OA，AD⊥y轴，
∴∠ADO＝∠ADP+∠PDO＝45°，
∵∠ODB＝∠PDA，
∴∠PDB＝∠ODB+∠PDO＝45°；
过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点D作DH⊥OB于点H，
∴△DBN为等腰直角三角形，
∴DB＝BN，
∵∠BDH+∠DBH＝90°，∠DBH+∠NBQ＝90°，
∴∠BDH＝∠NBQ，
在△DHB和△BQN中，
，
∴△DHB≌△BQN（AAS），
∴，BQ＝DH＝3，
∴，
∴，
设直线DN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线DN的解析式为，
联立直线AB和DN解析式得到，
解得：即，．
8．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣8k交x轴于点A，交y轴正半轴于点B，
∴点A（8，0），B（0，﹣8k），
∴OA＝8，OB＝﹣8k，
∵△AOB的面积等于32，
∴S△AOB＝，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+8；
（2）∵把线段PB绕点B顺时针旋转90°得到线段CB，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∴∠CBE+∠PBE＝90°，
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，
则∠CEB＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠PBE，
在△CEB和△BOP中，
，
∴△CEB≌△BOP（AAS），
∴CE＝BO＝8，BE＝OP＝m，
∴OE＝OB﹣BE＝8﹣m，
∴C（﹣8，8﹣m）；
（3）如图，延长BD至N，使DN＝AD，过点N作NK⊥x轴于K，连接AN，
∵BC＝BP，∠CBP＝90°，
∴∠BCP＝∠BPC＝45°，
同理∠BAO＝45°，
设∠CPE＝α，则∠E＝∠BCP﹣CPE＝45°﹣α，
∵3∠CPE+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣3α，
∵∠DBA＝∠E+∠BAO，
∴∠DBA＝90°﹣α，
∴∠ADB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAD＝4α，
∵DN＝AD，
∴∠DNA＝∠DAN＝2α，
∴∠NAB＝∠DAN+∠BAD＝90°﹣3α+2α＝90°﹣α，
∴∠DBA＝∠NAB，
∴NB＝NA，
∵AD+BD＝BE，
∴DN+BD＝BE＝BN
∴NA＝BE，
在Rt△ENK中，∠ENK＝90°﹣∠E＝45°+α，
∴∠ANK＝∠ENK﹣∠ANB＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
∴∠ANK＝∠E，
∵∠EOB＝∠NKA＝90°，
在△EOB和△NKA中，
，
∴△EOB≌△NKA（AAS），
∴AK＝OB＝8，EO＝NK，
∴△EOB∽△EKN，
∴，
∴EO＝NK＝16，
∴E（﹣16，0），N（16，16），
设直线EB表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线EB表达式为，
设，
∵DA＝DN，
∴，
解得d＝6，
∴D（6，11），
如图，过点D作DR⊥x轴于点R，Q作QS⊥x轴于点S，过点P作PT⊥AD于点T，
则DR＝11，AR＝8﹣6＝2，
由勾股定理得，
∴，，，
而∠BPO＝45°+α，则∠OBP＝∠E＝45°﹣α，
∴，
∴OP＝4，则AP＝4，
∴，，
∵∠PQA＝45°，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
9．【解答】解：（1）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，
所以k＝2．
将点（﹣1，3）的坐标代入y＝2x+b得，
﹣2+b＝3，
解得b＝5，
所以一次函数的解析式为y＝2x+5．
（2）将x＝0代入y＝2x+5得，
y＝5，
所以点B的坐标为（0，5）．
将y＝0代入y＝2x+5得，
x＝，
所以点A的坐标为（）．
（3）因为△OAP的面积为5，
所以，
解得y＝±4．
当y＝4时，
2x+5＝4，
解得x＝，
所以点P的坐标为（）．
当y＝﹣4时，
2x+5＝﹣4，
解得x＝，
所以点P的坐标为（），
综上所述，点P的坐标为（）或（）．
10．【解答】解：（1）∵+|a+1|＝0，
∴＝0，|a+1|＝0，
∴b﹣3＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）∵点M为第三象限内的一点，
∴m＜0，
∵AB＝|﹣1﹣3|＝4，
∴△ABM的面积为AB （﹣m）＝﹣2m．
（3）∵点M为第三象限内的一点，且点M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，
∴2﹣m＝2m﹣10，
∴m＝4，
∴M（﹣2，﹣2），
∵MN∥AB，AB＝4，
∴﹣2﹣4＝﹣6，﹣2+4＝2，
∴点N的坐标是（2，﹣2）或（﹣6，﹣2）．
11．【解答】解：（1）把A（6，0），B（0，6）代入y＝kx+b得：
，
解得，
故答案为：﹣1，6；
（2）如图：
∵A（6，0），B（0，6），
∴线段AB的中点P的坐标为（3，3），
把P（3，3）代入y＝x+c得：3＝+c，
解得c＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+，
由（1）知直线l1的解析式为y＝﹣x+6，
∵Q（t，0），QD⊥x轴，
∴D（t，﹣t+6），E（t，t+），
∴DE＝|﹣t+6﹣（t+）|＝|﹣t+|，DQ＝|﹣t+6|，
∵△ODE和△ODQ，其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，
∴DE＝2DQ或DQ＝2DE，
∴|﹣t+|＝2|﹣t+6|或|﹣t+6|＝2|﹣t+|，
∴﹣t+＝2（﹣t+6）或﹣t+＝﹣2（﹣t+6）或﹣t+6＝2（﹣t+）或﹣t+6＝﹣2（﹣t+），
解得t＝15或t＝或t＝或t＝；
（3）作M关于y轴的对称点G（2，0），以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过H作HK⊥x轴于K，如图：
∴∠OBM＝∠OBG，
∵A（6，0），B（0，6），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBG+∠ABG＝45°，
∵△BGH是等腰直角三角形，
∴∠ABG+∠ABH＝45°，BG＝GH，
∴∠OBG＝∠ABH，
∴∠OBM＝∠ABH，
∴N在直线BH上，
∵∠OGB＝90°﹣∠HGK＝∠GHK，∠BOG＝∠GKH＝90°，BG＝GH，
∴△BOG≌△GKH（AAS），
∴BO＝GK＝6，OG＝HK＝2，
∴H（8，2），
由B（0，6），H（8，2）可得直线BH解析式为y＝﹣x+6，
把N（m，2m﹣6）代入得：
2m﹣6＝﹣m+6，
解得m＝．
12．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）联立，
解得，
∴D点的坐标是（﹣4，4），
设点E的坐标为（t，0），则BE2＝（﹣2﹣t）2，DE2＝（﹣4﹣t）2+（4﹣0）2，
∵△BDE是以BD为底边的等腰三角形，
∴BE＝DE，
∴BE2＝DE2，
∴（﹣2﹣t）2＝（﹣4﹣t）2+（4﹣0）2，
解得t＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴OE＝；
设E（0，t），则BE2＝4+t2，DE2＝（﹣4﹣0）2+（4﹣t）2，
∵△BDE是以BD为底边的等腰三角形，
∴BE＝DE，
∴BE2＝DE2，
∴4+t2＝（﹣4﹣0）2+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴E（0，），
∴OE＝；
（3）如图，当点P在点A的下方，
∵A（0，4），D（﹣4，4），
∴AD＝OA，AD⊥y轴，
∴∠ADO＝∠ADP+∠PDO＝45°，
∵∠ODB＝∠PDA，
∴∠PDB＝∠ODB+∠PDO＝45°；
过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点D作DH⊥OB于点H，
∴△DBN为等腰直角三角形，
∴DB＝BN，
∵∠BDH+∠DBH＝90°，∠DBH+∠NBQ＝90°，
∴∠BDH＝∠NBQ，
在△DHB和△BQN中，
，
∴△DHB≌△BQN（AAS），
∴NQ＝BH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BQ＝DH＝4，
∴OQ＝BQ﹣BO＝2，
∴N（2，2），
设直线DN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线DN的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴P（0，）．
13．【解答】解：（1）∵直线l2：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把x＝0，则y＝3；
把y＝0，则x＝6，
∴与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵直线l1与l2交于点C，
联立得方程组：两个函数表达式得：﹣x+3＝x，
解得：x＝2，
故点C（2，2）；
则△COB的面积＝OB×xC＝＝3；
（2）①设点M、N的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m），
根据题意可得：|m﹣（3﹣m）|＝2，
解得：m＝或m＝，
所以点N的坐标为： 或，
故答案为： 或；
②y轴上存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，理由如下：
设M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），
当∠MQN＝90°时，
如图1.2，作PQ⊥MN交MN于点P，
由题意得：MN＝2PQ，
∴﹣m+3﹣m＝2m，
解得：m＝，
∴Q点坐标为：（0，）；
当∠QNM＝90°时，如图2：
则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，
解得：m＝，
∴Q点坐标为：（0，）；
当∠NMQ＝90°时，如图3：
则MN＝QM，即：3﹣m﹣m＝m，
解得：m＝，
∴Q点坐标为：（0，），
综上，点Q的坐标为：．
14．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
由折叠的性质可知，AD＝AB＝5，
∴OD＝OA+AD＝3+5＝8，
∴点D的坐标是（8，0），
设OC＝x，则BC＝OB+OC＝4+x，
由折叠的性质可知，CD＝BC＝4+x，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OC2+OD2＝CD2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，即OC＝6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）；
由C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝x﹣8，
同理可得：直线AB的表达式为：y＝x+4，
故直线BE与直线CD的位置关系是垂直，
故答案为：5，（8，0），垂直；
（2）由（1）得，点C的坐标为（0，﹣6）；
（3）∵C（0，﹣6），D（8，0），
∴OC＝6，OD＝8，
则S△COD＝＝＝24，
则S△MAB＝12，
∵点M是y轴上一动点，
∴设点M的坐标为（0，m），
∴BM＝|m﹣4|，
则S△MAB＝BM OA＝|m﹣4|×3＝12，
∴m＝12或﹣4，
∴点M的坐标为（0，12）或（0，﹣4）；
（4）在第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形；理由如下：
①当∠BAP＝90°，AB＝AP，则△PAB为等腰直角三角形，
如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，
∴∠PGA＝∠AOB＝90°，
∵∠BAP＝90°，
∴∠BAO+∠PAG＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠PAG，
在△AOB和△PGA中，∠ABO＝∠PAG，∠AOB＝∠PGA，AB＝PA，
∴△AOB≌△PGA（AAS），
∴OA＝PG＝3，OB＝AG＝4，
∴OG＝OA+AG＝7，
∴点P的坐标为（7，3）；
②当∠ABP＝90°，BA＝BP，则△PAB为等腰直角三角形，
如图2，过点P作PH⊥y轴于点H，
同理 可证，△AOB≌△BHP（AAS），
∴OA＝BH＝3，PH＝OB＝4，
∴OH＝OB+BH＝7，
∴点P的坐标为（4，7）；
③当∠APB＝90°，PA＝PB，则△PAB为等腰直角三角形，
如图3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PNB＝∠PMA＝∠MPN＝90°，
∴∠APN+∠APM＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BPN+∠APN＝90°，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中，∠APM＝∠BPN，PA＝PB，∠PMA＝∠PNB，
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴AM＝BN，PM＝PN，
∴设点P的坐标为（p，p），
∴OM＝ON＝p，
∴BN＝OB﹣ON＝4﹣p，AM＝OM﹣OA＝p﹣3，
∴4﹣p＝p﹣3，
解得：p＝，
则点P的坐标为（，），
综上可知，第一象限内存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，点P的坐标（7，3）或（4，7）或（，）．
15．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线m的解析式为y＝kx+b，把M（1，2），C（﹣1，0）代入得：
，
解得，
∴直线m的解析式为y＝x+1；
（2）在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），D（0，1），
∵B（0，4），
∴BD＝3，
∵M（1，2），
∴S△BDM＝×3×1＝，
∵S△APM＝2S△BDM，
∴S△APM＝3；
∵A（2，0），C（﹣1，0），
∴AC＝3，
∵M（1，2），
∴S△ACM＝×3×2＝3；
①当P与C重合时，S△APM＝S△ACM＝3＝2S△BDM，此时P（﹣1，0）；
②当P在AB右侧时，S△APC＝S△APM+S△ACM＝3+3＝6，
∴×3 yP＝6，
∴yP＝4，
在y＝x+1中，令y＝4得x＝3，
∴P（3，4）；
综上所述，P的坐标为（﹣1，0）或（3，4）；
（3）设Q（p，q），
∵A（2，0），B（0，4），
∴QA2＝（p﹣2）2+q2，QB2＝p2+（q﹣4）2，AB2＝20，
①当QA为等腰直角三角形斜边时，QA2＝2AB2，QB2＝AB2，
∴，
解得（此时Q不在第一象限，舍去）或，
∴Q（4，6）；
②当QB为等腰直角三角形斜边时，QB2＝2AB2，QA2＝AB2，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（6，2）；
③当AB为等腰直角三角形斜边时，QA2＝AB2，QA2＝QB2，
∴，
解得（舍去）或，
∴Q（3，3）；
综上所述，Q的坐标为（4，6）或（6，2）或（3，3）．
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