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1．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
2．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：
故选B．
3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形的平移
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
4．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，宽为步，
则可列方程为，
故选：C．
5．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：，
故选：A．
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
8．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
【详解】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
10．已知a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)的值为1或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
12．列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率
(2)预计该商场七月份投入资金将达到万元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
13．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：(舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
14．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根，
．
，
，
∴
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故选：B．
15．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论．
【详解】解： ∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
16．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】新定义下的实数运算、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
17．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2028
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2028．
18．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：．
当时，三边为3，4，6，能组成三角形，
∴这个三角形的周长为；
当时，三边为2，3，6，不能组成三角形，
故答案为：13．
19．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
【答案】(1)
(2)此时花圃的长为9米，宽为5米
(3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．
【知识点】列代数式、配方法的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：
（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；
（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，
则米，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：，
∴
解得：，，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：当时，则，
∴，
∴此时原方程无解，
∴这个花圃的面积不能达到
，
∵，
∴，
∴这个花圃面积最大可以做到．
20．某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
(1)求购买一套桌椅需多少钱？
(2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
(3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
【答案】(1)购买一套桌椅需要100元
(2)；不能达到，理由见解析
(3)降价4元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元．
依题意可得，
解得，
，
答：购买一套桌椅需要100元；
（2）解：不能达到，理由如下：
．
自变量的取值范围是，
解得（为整数），
由题意得．
，此方程无解，
销售桌椅一天的利润不能达到1250元；
（3）解：由题意得，
，．
，
，
即降价4元．
21．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，的面积等于？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？
【答案】(1)为5或7
(2)为或
(3)为4或8
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点．
（1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可．
（2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可．
（3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，，
∴，
∴，
∵的面积等于
∴
∴
整理，得
解得，
∴当为5或7时，的面积等于；
（2）根据勾股定理，得
整理，得
解得
故当为或时，的长度等于；
（3）①当时，
由题意，得 ，
解得：
②当时，，
由题意，得，
解得：（舍去），（舍去），
③当时，，
由题意，得，
整理得，
∴
∴方程无解
综上所述，当为4或8时，的面积等于．
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1．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
2．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
8．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
9．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
10．已知a、b是方程的两根，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
12．列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
13．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
14．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
15．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
16．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
17．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
18．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
19．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
20．某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元．
(1)求购买一套桌椅需多少钱？
(2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由；
(3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？
21．如图，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，的面积等于？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？
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第二讲 一元二次方程及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一元二次方程及其解法 1.一元二次方程及其解法 理解配方法；能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
一元二次方程根的判别式及系数的关系 2.一元二次方程根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个根是否相等.
3.一元二次方程根与系数的关系 了解一元二次方程根与系数的关系.
一元二次方程的实际应用 4.一元二次方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
命题点1 一元二次方程及其解法
1、一元二次方程：
只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：
【要点解读】
①是一元二次方程的前提为.
②判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程.
2、一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值.
3、一元二次方程的解法
解法 适用情况 步骤
直接开平方法 形如的方程 ①方程两边开平方；②移项、系数化为1，求方程的解.
配方法 二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；各项系数都比较小且便于配方得情况 以为例①变形：将二次项系数化为1，即；②移项：将常数项移到方程的右边，即；③配方：方程的两边同时加上一次项系数一半得平方，即，即；④求解：用直接开平方法求解，即.
公式法 所有一元二次方程 ①变形：将方程化为一般式，并确定的值；②确定符号：时；③代入求解：代入求根公式.（注意：解的情况详见根的判别式）
因式分解法 方程化为一般式后，左边能够分解因式的一元二次方程 ①移项：使方程右边为0；②因式分解：将方程的左边分解成两个一次式的乘积得形式；③求解方程：让两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程并求解.
角度1 一元二次方程的有关概念
1．（2024·广东深圳）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
2．（2024·四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的解、一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
3．（2024·四川南充）已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴
，
故答案为：．
4．（2023·湖南怀化）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
角度2 一元二次方程的解法
5．（2023·新疆）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
6．（2024·广东广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
7．解方程
（1）（2025·湖南长沙·一模）； （2）（2019·黑龙江齐齐哈尔）；
（3）（2023·江苏无锡）； （4）（2021·黑龙江齐齐哈尔）．
【答案】（1）；（2），；
（3），；（4），
【知识点】解一元二次方程的一般方法的运用
【分析】（1）选择直接开平方法解答即可；
（2）方程两边都加上，配成完全平方式，再两边开方即可得；
（3）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（4）先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
方程整理得：，
开方得：或，
解得：；
（2）解：，
，即，
则，
，
即，．
（3）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，必须熟练的计算,这是中考的必考题.
8．解方程
（1）（2024·江苏无锡）； （2）（2022·江苏无锡）；
（3）（2023·广东广州）； （4）（2021·青海西宁）．
【答案】（1）；（2）x1=1+，x2=1-；（3），；，．
【知识点】解一元二次方程的一般方法的理解和运用
【分析】（1）本题考查了解一元二次方程；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
（4）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：．
解：（2）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-；
（3）解：，
，
或，
，．
（4）解：
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
9．（2024·青海）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）或
（2）第三边的长是或
【知识点】用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：（1）
或；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为．
答：第三边的长是或．
命题点2 一元二次方程根的判别式
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程根得判别式为，通常用“”表示.
类别 根的情况 方程的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根 －－
【要点解读】“”的作用：
①不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；
②根据一元二次方程根的情况，确定未知系数的值或取值范围；
③对于二次项系数含字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.
10．（2024·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．
故选C．
11．（2024·四川自贡）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
12．（2024·山东泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得．
故选B．
13．（2024·四川广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
14．（2022·内蒙古）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
15．（2024·四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
1、一元二次方程根与系数关系
若一元二次方程的两个实数根为，则
【要点解读】
运用根与系数的前提是且.
2、与一元二次方程两根有关的常见代数式的变形
运用根与系数关系时，要善于将含有根的代数式用含和的式子表示，常见变形如下：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
16．（2023·天津）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
17．（2024·黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：B．
18．（2024·四川眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】/0.5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
19．（2024·四川成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
20．（2024·四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
21．（2022·山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】/-0.125
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
22．（2024·四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或．
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
命题点4 一元二次方程的实际应用
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量.
（2）设：即设出关键未知数.
（3）列：即找出等量关系，列方程.
（4）解：即解方程.
（5）验：即检验结果是否正确或是否有实际意义.
（6）答：即回归题中，规范作答.
2、 一元二次方程中常见问题及数量关系
常见问题 数量关系
变化率问题 原始量变化后的量（为平均增长/下降率，为增长/下降的次数）
单/双循环问题 单循环（如握手问题）：总次数（为人数）
双循环（如写信问题）：总次数（为人数）
面积问题 （为空白部分的宽）
（阴影部分的宽）
利润问题 利润=售价－进价；总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量（购买模型中的“每每模型）”；利润率=
角度1 增长率（或下降率）问题
23．（2024·云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：B．
24．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：．
角度2 图形面积问题
25．（2023·山东东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
26．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
27．（2024·山东青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，
由题意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的宽为，
故答案为：．
角度3 购买、销售问题
28．（2024·山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
(2)这天售出了64辆轮椅
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
29．（2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【知识点】y=ax +bx+c的最值、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
30．（2024·辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
1．（2024·贵州）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
2．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
4．（2022·广西贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
5．（2024·内蒙古通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选C．
6．（2023·山东枣庄）若是关x的方程的解，则的值为 ．
【答案】2019
【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
7．（2024·重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可．
【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：．
8．（2024·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程根的判别式大于0列不等式求解即可．．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，解得：，
所以的取值范围为．
故答案为．
9．（2010·甘肃兰州）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可．
【详解】∵一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
10．（2021·湖北武汉模拟）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，则共有 个班参赛．
【答案】6
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设共有x个班参赛，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
11．（2023·湖北鄂州）若实数、分别满足，，且，则 ．
【答案】
【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可．
【详解】设，依题，满足方程，是这个方程的两根，
∴，，
∵；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．（2023·湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
13．（2024·安徽）解方程：
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
14．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
15．（2024·广东广州）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
16．（2022·山东德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
【答案】(1)新的矩形绿地的长为，宽为
(2)新的矩形绿地面积为．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【详解】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程．
17．（2024·河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
18．（2024·黑龙江大兴安岭）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
19．（2024·四川凉山）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
20．（2024·山东烟台）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
21．（2023·湖南娄底）若m是方程的根，则 ．
【答案】6
【知识点】分式化简求值、一元二次方程的解
【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴
；
22．（2024·四川内江）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
23．（2023·湖北宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；
②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，
依题意得，
解得；
则；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得，解得，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得，
解得或，
，
∴，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
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第二讲 一元二次方程及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一元二次方程及其解法 1.一元二次方程及其解法 理解配方法；能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
一元二次方程根的判别式及系数的关系 2.一元二次方程根的判别式 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个根是否相等.
3.一元二次方程根与系数的关系 了解一元二次方程根与系数的关系.
一元二次方程的实际应用 4.一元二次方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
命题点1 一元二次方程及其解法
1、一元二次方程：
只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：
【要点解读】
①是一元二次方程的前提为.
②判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程.
2、一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值.
3、一元二次方程的解法
解法 适用情况 步骤
直接开平方法 形如的方程 ①方程两边开平方；②移项、系数化为1，求方程的解.
配方法 二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；各项系数都比较小且便于配方得情况 以为例①变形：将二次项系数化为1，即；②移项：将常数项移到方程的右边，即；③配方：方程的两边同时加上一次项系数一半得平方，即，即；④求解：用直接开平方法求解，即.
公式法 所有一元二次方程 ①变形：将方程化为一般式，并确定的值；②确定符号：时；③代入求解：代入求根公式.（注意：解的情况详见根的判别式）
因式分解法 方程化为一般式后，左边能够分解因式的一元二次方程 ①移项：使方程右边为0；②因式分解：将方程的左边分解成两个一次式的乘积得形式；③求解方程：让两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程并求解.
角度1 一元二次方程的有关概念
1．（2024·广东深圳）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
2．（2024·四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
3．（2024·四川南充）已知m是方程的一个根，则的值为 ．
4．（2023·湖南怀化）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
角度2 一元二次方程的解法
5．（2023·新疆）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
7．解方程
（1）（2025·湖南长沙·一模）； （2）（2019·黑龙江齐齐哈尔）；
（3）（2023·江苏无锡）； （4）（2021·黑龙江齐齐哈尔）．
8．解方程
（1）（2024·江苏无锡）； （2）（2022·江苏无锡）；
（3）（2023·广东广州）； （4）（2021·青海西宁）．
9．（2024·青海）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
命题点2 一元二次方程根的判别式
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程根得判别式为，通常用“”表示.
类别 根的情况 方程的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根 －－
【要点解读】“”的作用：
①不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；
②根据一元二次方程根的情况，确定未知系数的值或取值范围；
③对于二次项系数含字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论.
10．（2024·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
11．（2024·四川自贡）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12．（2024·山东泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·四川广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
14．（2022·内蒙古）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
15．（2024·四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
1、一元二次方程根与系数关系
若一元二次方程的两个实数根为，则
【要点解读】
运用根与系数的前提是且.
2、与一元二次方程两根有关的常见代数式的变形
运用根与系数关系时，要善于将含有根的代数式用含和的式子表示，常见变形如下：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
16．（2023·天津）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
18．（2024·四川眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
19．（2024·四川成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
20．（2024·四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
21．（2022·山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
22．（2024·四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
命题点4 一元二次方程的实际应用
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量.
（2）设：即设出关键未知数.
（3）列：即找出等量关系，列方程.
（4）解：即解方程.
（5）验：即检验结果是否正确或是否有实际意义.
（6）答：即回归题中，规范作答.
2、 一元二次方程中常见问题及数量关系
常见问题 数量关系
变化率问题 原始量变化后的量（为平均增长/下降率，为增长/下降的次数）
单/双循环问题 单循环（如握手问题）：总次数（为人数）
双循环（如写信问题）：总次数（为人数）
面积问题 （为空白部分的宽）
（阴影部分的宽）
利润问题 利润=售价－进价；总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量（购买模型中的“每每模型）”；利润率=
角度1 增长率（或下降率）问题
23．（2024·云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
角度2 图形面积问题
25．（2023·山东东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
26．（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
27．（2024·山东青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．
角度3 购买、销售问题
28．（2024·山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
29．（2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
30．（2024·辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
1．（2024·贵州）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广西贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
5．（2024·内蒙古通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．（2023·山东枣庄）若是关x的方程的解，则的值为 ．
7．（2024·重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
8．（2024·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
9．（2010·甘肃兰州）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ．
10．（2021·湖北武汉模拟）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，则共有 个班参赛．
11．（2023·湖北鄂州）若实数、分别满足，，且，则 ．
12．（2023·湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
13．（2024·安徽）解方程：
14．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：
15．（2024·广东广州）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
16．（2022·山东德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．
17．（2024·河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
18．（2024·黑龙江大兴安岭）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
19．（2024·四川凉山）已知，则的值为 ．
20．（2024·山东烟台）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
21．（2023·湖南娄底）若m是方程的根，则 ．
22．（2024·四川内江）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
23．（2023·湖北宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
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