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1．下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项符合题意．
故选：C．
2．已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
3．解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解；
【详解】解：两边同乘后的式子为：，
故选：D
4．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．8 D．或8
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故选：．
5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；若乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天．若甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．设规定的工期为天，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】此题考查了列分式方程解决实际问题．设如期完成完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程为天，乙队单独完成这项工程为天，根据“甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”列方程即可得到答案．
【详解】解：设如期完成完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程为天，乙队单独完成这项工程为天，由题意可得，
，
故选：D．
6．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的运用，根据题目数量关系列式求解即可，掌握分式方程的运用是解题的关键．
【详解】解：设规定日期为x天，甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，
∴乙完成的天数是天，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为，
现在甲、乙两队合做2天，
∴剩下的工作量为，
剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，
∴，
整理得，，
故选：C ．
7．当 时，分式与的值互为相反数．
【答案】0
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：分式与的值互为相反数，
去分母，得∶，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
故答案为∶0．
8．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
9．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝ ．
【答案】2
【知识点】分式方程无解问题
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解：﹣1＝，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
10．若关于x的分式方程有增根，则m的值为
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值．
【详解】解：去分母得，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即增根，
把增根代入得，
解得，
故答案为：．
11．解方程：．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
12．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、负整数指数幂、解分式方程
【分析】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根和负整数指数幂，解分式方程，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）首先计算有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根和负整数指数幂，然后计算乘法，最后计算加减即可求解；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得．
检验：当时，．
原分式方程的解是．
13．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
14．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题
【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
15．在正数范围内定义一种运算＊．其规则为则方程的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
【答案】A
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解．
【详解】根据题意，得：，
两边都乘以最简公分母x（x＋2），得：x＋2＋x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原分式方程的解．
故选A．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
17．习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ）
A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成
B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成
C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成
D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成
【答案】A
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答．
【详解】解：∵设计划每天植树棵，
∴方程中表示原计划种植的时间（天数），表示实际每天种植棵，即实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，表示实际种植的时间（天数），表示原计划种植的时间比实际种植的时间多5天，即提前5天完成．
∴题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确．
故选：A．
18．若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】解分式方程、坐标与图形
【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】解：等式两边都乘以，得，
令，则，
∴“美好点”的坐标为，
故答案为（答案不唯一）
19．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
20．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
21．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
(2)15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
22．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
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1．下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．8 D．或8
5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；若乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天．若甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．设规定的工期为天，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
6．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．当 时，分式与的值互为相反数．
8．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
9．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝ ．
10．若关于x的分式方程有增根，则m的值为
11．解方程：．
12．（1）计算：；
（2）解方程：．
13．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
14．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
15．在正数范围内定义一种运算＊．其规则为则方程的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
16．若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
17．习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ）
A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成
B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成
C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成
D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成
18．若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
19．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
20．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
21．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
22．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
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第三讲 分式方程及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
分式方程及其解法 1.解分式方程 了解分式方程的概念；会找分式方程的最简公分母，掌握分式方程的求解方法；知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根.
2.分式方程的含参问题 能够解决分式方程含参求值及求解取值范围的问题
分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性
命题点1 分式方程及其解法
1、分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
【要点解读】
“分母中含有未知数”是分式方程和整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据.
2、分式方程的解法
【要点解读】
①去分母时，不要漏乘常数项和整式；
②去括号时，括号前面时负号，括号内每一项都要变号；
③求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的解要舍去.
1．（2024·山东济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
2．（2024·四川泸州）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
3．（2024·江苏南通）（1）计算：；
（2）解方程．
【答案】（1）（2）
【知识点】整式的混合运算、解分式方程
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
∴
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为
命题点2 分式方程的含参问题
1、根据分式方程有增根求参数的值的解题思路：
（1）将分式方程化为整式方程；
（2）将增根代入整式方程，从而求出参数的值.
【要点解读】 分式方程的增根与无解并非同一概念
①分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根；
②分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
2、根据分式方程的解求参数的取值或取值范围的解题思路：
（1）将分式方程化为整式方程，用含参数的代数式表示出分式方程的解；
（2）根据题意列方程或不等式求出参数的值或取值范围.
【要点解读】
求值或取值范围时，记得要考虑分母不为0的限制条件.
角度1 分式方程的增根和无解问题
4．（2024·黑龙江大兴安岭）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
故选：A．
5．（2021·广西贺州）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
6．（2023·湖南永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
7．（2024·四川达州）若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】或2
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
故答案为：或2．
8．（2023·四川巴中）关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
角度2 分式方程的特殊解问题
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
10．（2024·四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
11．（2023·山东聊城）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
12．（2023·四川眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
13．（2024·重庆）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
命题点3 分式方程的实际应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量.
（2）设：即设出关键未知数.
（3）列：即找出等量关系，列方程.
（4）解：即解方程.
（5）验：双检验，既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合实际问题.
（6）答：即回归题中，规范作答..
2、常见应用类型
常见类型 基本数量关系 常见等量关系
打折、销售问题 ；售价=标价×折扣 （根据数量差也可以列等量关系）
行程问题 （根据速度差也可以列等量关系）
工程问题 （注：题干中未告诉工作总量时，工作总量可看作整体“1”，则） ；
角度1 数学文化
14．（2023·湖南张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
15．（2022·湖北襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选：．
角度2 购买、销售问题
16．（2024·山东东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可．
【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得：
．
故答案为：．
17．（2024·山东德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
18．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为万元
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
角度3 行程问题
19．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故选：D．
20．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键．
先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可．
【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程：
，
故选：D．
21．（2023·山东）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
【答案】大型客车的速度为
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答.
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的根.
故大型客车的速度为.
【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟.
角度4 生产、工程问题
22．（2024·四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得，
故选：D．
23．（2024·山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数．
故选：B．
24．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴，
解得：，
∴，
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
角度5 其他问题
25．（2024·山东威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】千瓦·时
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
26．（2022·山东菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球
【答案】(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
(2)100个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题
【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；
（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元
根据题意得．
解得x＝80．
经检验x＝80是原分式方程的解．
∴1.5x＝120（元）．
∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，
根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．
解得a≤100．
答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
1．（2023·辽宁大连）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
2．（2023·湖北恩施）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】由得：
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】D
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【知识点】分式方程无解问题
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
5．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
，
故选：C．
6．（2023·黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
7．（2023·四川绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ．
【答案】60
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，并符合题意，
∴原计划的速度为；
故答案为：60．
8．（2020·四川巴中）若关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可得解．
【详解】解：分式方程最简公分母为，
由分式方程有增根，得到或，即或，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：．
把代入方程得：，
解得：．
故填：或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．（2024·内蒙古）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、解分式方程、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了正切、零指数幂、实数的绝对值、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是解题关键．
（1）先计算正切、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先化成整式方程，再计算一元一次方程，最后进行检验即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
所以方程的解是．
10．（2024·云南）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】型车的平均速度为
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
11．（2024·山东泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【答案】甲组有名工人，乙组有名工人
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解．
【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．
根据题意得：，
解答：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲组有名工人，乙组有名工人．
12．（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
13．（2022·湖北黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
14．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得，
方程可化为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
15．（2023·湖南常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个
(2)最多可购进A型玩具25个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题
【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式．
16．（2023·山东济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
17．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
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第三讲 分式方程及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
分式方程及其解法 1.解分式方程 了解分式方程的概念；会找分式方程的最简公分母，掌握分式方程的求解方法；知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根.
2.分式方程的含参问题 能够解决分式方程含参求值及求解取值范围的问题
分式方程的实际应用 3.分式方程的实际应用 能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性
命题点1 分式方程及其解法
1、分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
【要点解读】
“分母中含有未知数”是分式方程和整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据.
2、分式方程的解法
【要点解读】
①去分母时，不要漏乘常数项和整式；
②去括号时，括号前面时负号，括号内每一项都要变号；
③求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的解要舍去.
1．（2024·山东济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川泸州）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通）（1）计算：；
（2）解方程．
命题点2 分式方程的含参问题
1、根据分式方程有增根求参数的值的解题思路：
（1）将分式方程化为整式方程；
（2）将增根代入整式方程，从而求出参数的值.
【要点解读】 分式方程的增根与无解并非同一概念
①分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根；
②分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
2、根据分式方程的解求参数的取值或取值范围的解题思路：
（1）将分式方程化为整式方程，用含参数的代数式表示出分式方程的解；
（2）根据题意列方程或不等式求出参数的值或取值范围.
【要点解读】
求值或取值范围时，记得要考虑分母不为0的限制条件.
角度1 分式方程的增根和无解问题
4．（2024·黑龙江大兴安岭）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．（2021·广西贺州）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023·湖南永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
7．（2024·四川达州）若关于的方程无解，则的值为 ．
8．（2023·四川巴中）关于x的分式方程有增根，则 ．
角度2 分式方程的特殊解问题
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．（2024·四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
11．（2023·山东聊城）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
12．（2023·四川眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
13．（2024·重庆）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
命题点3 分式方程的实际应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审：即审清题意，找出题中的已知量、未知量.
（2）设：即设出关键未知数.
（3）列：即找出等量关系，列方程.
（4）解：即解方程.
（5）验：双检验，既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合实际问题.
（6）答：即回归题中，规范作答.
2、常见应用类型
常见类型 基本数量关系 常见等量关系
打折、销售问题 ；售价=标价×折扣 （根据数量差也可以列等量关系）
行程问题 （根据速度差也可以列等量关系）
工程问题 （注：题干中未告诉工作总量时，工作总量可看作整体“1”，则） ；
角度1 数学文化
14．（2023·湖南张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·湖北襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
角度2 购买、销售问题
16．（2024·山东东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
17．（2024·山东德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
18．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
角度3 行程问题
19．（2024·黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·新疆）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·山东）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
角度4 生产、工程问题
22．（2024·四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024·山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
24．（2024·重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
角度5 其他问题
25．（2024·山东威海）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
26．（2022·山东菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球
1．（2023·辽宁大连）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北恩施）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
5．（2024·四川广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．（2023·四川绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ．
8．（2020·四川巴中）若关于x的分式方程有增根，则 ．
9．（2024·内蒙古）（1）计算：
（2）解方程：
10．（2024·云南）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
11．（2024·山东泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
12．（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
13．（2022·湖北黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
14．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
15．（2023·湖南常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
16．（2023·山东济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
17．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
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