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D 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．10
10．x+1＞0（答案不唯一） 11．﹣1＜x≤3 12． 13．3
14．(1)纪念品A、B的单价分别是元和元
(2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少
15．(1)乙工程队单独做需要80天完成；
(2)甲队做了45天，乙队做了50天．
16．(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
17．A 18．m >0且m≠1 19．40
20．(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有3种方案，详见解析
(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，掌握大于折线向右是解本题的关键．由包含分界点用实心点，大于折线向右，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴1处是实心点，且折线向右．
故选：D．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误；
B. ，若，则，故该选项错误；
C. ∵，∴，故该选项正确；
D. ∵，∴，故该选项错误；
故选：C．
3．在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再合并同类项，把的系数化为，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
故选：C．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如下：
故选D．
5．已知关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数，先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解可得，据此即可求解，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵该不等式组无解，
，
解得，
故选：．
6．不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案．
【详解】解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．
7．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a可取的整数值的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式组解的情况求参数，主要考查学生对不等式组知识点的掌握，先求出不等式组范围，再根据具体解逆推出a的取值范围．再根据a可取的整数值求解即可．
【详解】解：
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
∴3个整数解为：2，1，0
∴
解得：，
a可取的整数值为
故选：C．
8．已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为 元/千克．
【答案】10
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】设售价应定为x元/千克，再根据为了避免亏本，销售价不能低于元，列不等式，再解不等式即可．
【详解】解：设售价应定为x元/千克，
依题可得，
解得，
故答案为10．
【点睛】本题考查的是不等式的应用，理解题意，确定不等关系列出不等式是解本题的关键．
10．写出一个解为的一元一次不等式 ．
【答案】x+1＞0（答案不唯一）
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把-1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．
【详解】解：移项，得x+1＞0．
故答案为：x+1＞0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是不等式的解集，此类问题属开放型题目，答案不唯一．
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ．
【答案】﹣1＜x≤3
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【详解】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
【点睛】本题考查的是不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上的点是空心点还是实心点.
12．解不等式组：
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
13．解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．
14．某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元
(2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为元，
答：纪念品A、B的单价分别是元和元．
（2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元，
则，
又∵，
解得，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少．
15．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
(1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
(2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
【答案】(1)乙工程队单独做需要80天完成；
(2)甲队做了45天，乙队做了50天．
【知识点】不等式组的工程问题、分式方程的工程问题
【分析】（1）根据“甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成”，设乙工程队单独完成这项工作需要x天，列出方程求解即可；
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，可得到方程，再根据x<46，y<52，得到方程组，其中x、y均为正整数，解此方程组即可得到答案．
【详解】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得
，解之得x=80.·
经检验x=80是原方程的解.
答：乙工程队单独做需要80天完成；
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
所以，即，
又∵x<46，y<52，
∴，
解得42
∵x、y均为正整数，
∴x=45，y=50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式（组）的应用．根据题意找出数量关系，列出等式或不等式（组）是解题关键．
16．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【知识点】不等式组的方案选择问题、分式方程的经济问题
【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
17．已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案．
【详解】解：，
由①得：
由②得：，
，
∴此不等式组的解集为：，
由题可知：此不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
18．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
19．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为
【答案】40
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1，
∵分式方程的解为非负数，
∴且≠1.
∴a5且a≠3.
解不等式①，得.
解不等式②，得y∵关于y的不等式组的解集为，
∴a>0.
∴0又a为整数，则a的值为1，2，4，5.
符合条件的所有整数a的积为.
故答案为：40.
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．
20．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有3种方案，详见解析
(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；
（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，
则，
解得：，
∵为正整数，
∴，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得，
解得：；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得，
解得：（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得，
解得：（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
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一、单选题
1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a可取的整数值的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2023
9．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为 元/千克．
10．写出一个解为的一元一次不等式 ．
11．如图，数轴上所表示的x的取值范围为 ．
12．解不等式组：
13．解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
14．某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
15．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
(1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
(2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
16．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
17．已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
18．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
19．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为
20．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
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第四讲 一元一次不等式（组）及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一元一次不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形
整式及其运算 2.一元一次不等式（组）及其解法及其解集表示 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集
3.一元一次不等式（组）的含参问题
一元一次不等式的实际应用 4.一元一次不等式的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题
命题点1 不等式的性质
1、不等式的概念：用符号 < 或 > 表示大小关系的式子．
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值．
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
4、不等式的性质及其应用
类别 具体内容 表示 应用
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果，那么 解不等式中的移项
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1）
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1）
1．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】判断命题真假、不等式的性质
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
2．（2024·广东广州）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
3．（2024·江苏苏州）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
4．（2024·吉林长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
命题点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
一元一次不等式的解法及解集表示
1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式．
2、一元一次不等式的解法
一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．（注意不等号的方向是否改变）
范例：解不等式：
步骤 操作方法 依据 示例
去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2 方程两边同乘6得：
去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则
移项 把含有未知数的项移到不等式一边,常数项移到另一边 不等式的性质1
合并同类项 把不等式化成的形式 合并同类项法则
系数化为1 不等式两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集 不等式的性质2或性质3
3、一元一次不等式的解集
解集 在数轴上表示 总结
方向：小于向左，大于向右；边界：“”“”用实心圆点，“”“”用空心圆点．
一元一次不等式组的解法及解集表示
1、定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
2、解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
不等式组 在数轴上表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小取不了
3、一元一次不等式组的解法：先分别求出每个一元一次不等式的解集，再求各解集的公共部分。
范例：解不等式组
步骤 示例
解每个不等式 解不等式①，得解不等式②，得
在数轴上表示各个不等式的解集，并确定公共部分 在数轴上表示每个不等式的解集为：
写出不等式组的解集 不等式组的解集为：
角度一：一元一次不等式的解法及解集表示
5．（2024·河北）下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴符合题意的是A
故选A．
6．（2024·贵州）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【详解】不等式的解集在数轴上的表示如下：
．
故选：C．
7．（2024·陕西）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】解：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：D．
8．（2024·青海）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件．
【详解】解：解集是的不等式：．
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2024·广西）不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
故答案为：．
10．（2024·四川眉山）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
角度二：一元一次不等式组的解法及解集表示
11．（2024·四川眉山）不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
12．（2024·四川雅安）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：C．
13．（2024·内蒙古包头）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集
【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选B．
14．（2025·江苏南京）解不等式组：
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
故答案为：．
15．（2024·天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；
（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．
【详解】（1）解：解不等式①得，
故答案为：；
（2）解：解不等式②得，
故答案为：；
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为，
故答案为：．
角度三：不等式（组）的特殊解
16．（2023·内蒙古）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数．
【详解】解：，
∴正整数解为：，有个，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
17．（2024·河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．
【详解】根据题意，可得，
A、此不等式组无解，符合题意；
B、此不等式组解集为，不符合题意；
C、此不等式组解集为，不符合题意；
D、此不等式组解集为，不符合题意；
故选：A
18．（2023·江苏宿迁）不等式的最大整数解是 ．
【答案】3
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得．
【详解】解：不等式的解集是，
则不等式的最大整数解是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
19．（2024·黑龙江大庆）不等式组的整数解有 个．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
∴整数解有，，，共4个，
故答案为：．
20．（2024·山东济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
21．（2024·江苏扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，整数和为6
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．
【详解】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移项得，，
解得，，
∴原不等式组的解为：，
∴所有整数解为：，
∴所有整数解的和为：．
命题点3 不等式（组）含参问题
1、不等式（组）含参问题的解题步骤：
2、范例解读：
（1） 的解集是时， （2） 无解时；
（3） 有两个整数解时， （4） 有两个整数解时
22．（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
23．（2024·山东烟台）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：不等式移项合并同类项得，，
系数化为得，，
∵不等式有正数解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
24．（2023·内蒙古）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解：解得，
由数轴得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
25．（2024·四川南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴；
故选B．
26．（2023·山东聊城）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
27．（2022·四川绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
28．（2024·黑龙江大兴安岭地）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得，
故答案为：．
29．（2023·四川宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，
，
解得：，
为整数，
．
②整数解为：，，，、、、，
，
解得：，
为整数，
．
综上，整数的值为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
30．（2024·重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
命题点4 一元一次不等式（组）的实际应用
1、不等式（组）的实际应用题的解题步骤
2、实际问题中常见的关键词与不等号的对应表
常见关键词 符号
大于、多于、超过、高于
小于、少于、不足、低于
至少、不少于、不低于、不小于
最多、不高于、不大于、不超过
角度1 不等式的实际应用
31．（2024·内蒙古通辽）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：
32．（2023·广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
【答案】8.8
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
33．（2024·山东）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为；
②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、代入消元法
【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②．
【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，
根据1班班长的对话，得，，
∴
∴，
解得，
故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得，，
∴，
∴，
∴，
故②正确，
故选：C．
34．（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
角度2 不等式（组）与方程结合的实际应用
35．（2024·江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．
(2)数学书最多还可以摆90本
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
（1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
36．（2024·四川成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克
(2)A种水果的最低销售单价为元/
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，
（1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
（2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，
根据题意有：，
解得：，
∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克
（2）设A种水果的销售单价为元/，
根据题意有：，
解得，
故A种水果的最低销售单价为元/
37．（2024·辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？
【答案】(1)
(2)4小时
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可；
（2）设排水a小时，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲池的排水速度为，
由题意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度为；
（2）解：设排水a小时，
则，
解得：，
答：最多可以排4小时．
38．（2024·内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
(2)15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
1．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2024·江苏徐州）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
3．（2023·吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【详解】解：∵x+1≥2
∴x≥1
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
4．（2024·河北）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质结合特值法逐项判断即可．
【详解】解：由得：
A．不妨设，，则，故本选项不合题意；
B．，∴，故本选项符合题意；
C．，∴ ，故本选项不合题意；
D．，∴，故本选项不合题意；
故选：B．
5．（2024·浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
6．（2023·四川绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确得到关于m的不等式组是解题的关键．
先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴，
∴，
∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7，
∴符合要求的所有整数m的和为．
故选C．
7．（2024·广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
8．（2024·内蒙古）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得．
【详解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案为：；．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
10．（2023·湖北黄石）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
【答案】/
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．
【详解】解：，
由①得，；由②得，；
∵解集为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．
11．（2024·江苏连云港）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
12．（2024·北京）解不等式组：
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
13．（2024·宁夏）解不等式组．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
14．（2024·江苏盐城）求不等式的正整数解．
【答案】，．
【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
∴不等式的正整数解为，．
15．（2024·山东淄博）解不等式组：并求所有整数解的和．
【答案】，
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集，
∴不等式组所有整数解的和为．
15．（2023·宁夏）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
16．（2024·四川泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
(2)购进A商品的件数最多为20件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
17．（2023·湖南常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个
(2)最多可购进A型玩具25个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题
【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设型玩具的单价为元/件．
由题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解
B型玩具的单价为元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式．
18．（2023·湖北鄂州）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得，
方程可化为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．
20．（2023·山东聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
(1)求两个旅游团各有多少人？
(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】(1)甲团人数有58人，乙团人数有44人；
(2)当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；
（2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；
（2）解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．
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第四讲 一元一次不等式（组）及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一元一次不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形
整式及其运算 2.一元一次不等式（组）及其解法及其解集表示 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集
3.一元一次不等式（组）的含参问题
一元一次不等式的实际应用 4.一元一次不等式的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题
命题点1 不等式的性质
1、不等式的概念：用符号 < 或 > 表示大小关系的式子．
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值．
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
4、不等式的性质及其应用
类别 具体内容 表示 应用
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果，那么 解不等式中的移项
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1）
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果，，那么 解不等式中的去分母（或系数化为1）
1．（2024·江苏无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
2．（2024·广东广州）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·吉林长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
命题点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示
一元一次不等式的解法及解集表示
1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式．
2、一元一次不等式的解法
一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．（注意不等号的方向是否改变）
步骤 操作方法 依据 示例
去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 不等式的性质2 方程两边同乘6得：
去括号 括号前的数乘括号内的每一项 乘法分配律或去括号法则
移项 把含有未知数的项移到不等式一边,常数项移到另一边 不等式的性质1
合并同类项 把不等式化成的形式 合并同类项法则
系数化为1 不等式两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集 不等式的性质2或性质3
范例：解不等式：
3、一元一次不等式的解集
解集 在数轴上表示 总结
方向：小于向左，大于向右；边界：“”“”用实心圆点，“”“”用空心圆点．
一元一次不等式组的解法及解集表示
1、定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
2、解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
不等式组 在数轴上表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小取不了
3、一元一次不等式组的解法：先分别求出每个一元一次不等式的解集，再求各解集的公共部分。
范例：解不等式组
步骤 示例
解每个不等式 解不等式①，得解不等式②，得
在数轴上表示各个不等式的解集，并确定公共部分 在数轴上表示每个不等式的解集为：
写出不等式组的解集 不等式组的解集为：
角度一：一元一次不等式的解法及解集表示
5．（2024·河北）下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·贵州）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·青海）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ．
9．（2024·广西）不等式的解集为 ．
10．（2024·四川眉山）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
角度二：一元一次不等式组的解法及解集表示
11．（2024·四川眉山）不等式组的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
12．（2024·四川雅安）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·内蒙古包头）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江苏南京）解不等式组：
15．（2024·天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
角度三：不等式（组）的特殊解
16．（2023·内蒙古）不等式的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
17．（2024·河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江苏宿迁）不等式的最大整数解是 ．
19．（2024·黑龙江大庆）不等式组的整数解有 个．
20．（2024·山东济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21．（2024·江苏扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
命题点3 不等式（组）含参问题
1、不等式（组）含参问题的解题步骤：
2、范例解读：
（1） 的解集是时， （2） 无解时；
（3） 有两个整数解时， （4） 有两个整数解时
22．（2023·辽宁）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
23．（2024·山东烟台）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）．
24．（2023·内蒙古）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
25．（2024·四川南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·山东聊城）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
27．（2022·四川绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ．
28．（2024·黑龙江大兴安岭地）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
29．（2023·四川宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
30．（2024·重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
命题点4 一元一次不等式（组）的实际应用
1、不等式（组）的实际应用题的解题步骤
2、实际问题中常见的关键词与不等号的对应表
常见关键词 符号
大于、多于、超过、高于
小于、少于、不足、低于
至少、不少于、不低于、不小于
最多、不高于、不大于、不超过
角度1 不等式的实际应用
31．（2024·内蒙古通辽）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
32．（2023·广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
33．（2024·山东）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为；
②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
34．（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
角度2 不等式（组）与方程结合的实际应用
35．（2024·江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
36．（2024·四川成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/．
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
37．（2024·辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？
38．（2024·内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
1．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·四川绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．21
7．（2024·广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
8．（2024·内蒙古）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
10．（2023·湖北黄石）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
11．（2024·江苏连云港）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
11．（2024·北京）解不等式组：
12．（2024·宁夏）解不等式组．
13．（2024·江苏盐城）求不等式的正整数解．
14．（2024·山东淄博）解不等式组：并求所有整数解的和．
15．（2023·宁夏）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
16．（2024·四川泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
17．（2023·湖南常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
18．（2023·湖北鄂州）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2023
19．（2023·重庆）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
20．（2023·山东聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
(1)求两个旅游团各有多少人？
(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
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