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1．A 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B
10．2 11．且/且 12． 13．且 14．②③④
15．D 16． 17．A 18．A 19．D 20．A
1．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点A的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．
【详解】解：如图，
点B的坐标为．
故选：A．
2．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变．
【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题考查的知识点是关于轴对称的点的特征，解题关键是熟练掌握关于轴对称的点的特征．
由“关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数”即可得解．
【详解】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数，
若点与点关于轴对称，则，．
故选：．
4．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数图象识别
【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快．
【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故选：C．
5．已知点在第三象限则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数
【分析】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．根据点在第三象限，得到，，即可得到点所在的象限．
【详解】解：点在第三象限内，
，，
，，
点在第四象限．
故选：D．
6．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为．
【详解】解：如图，
∵点的坐标为，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴顶点的坐标为．
故选C．
7．若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，由点在第四象限内可得，解不等式组求出的取值范围，再把解集在数轴上表示出来即可求解，掌握点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点在第四象限内，
∴，
解得，
∴的取值范围在数轴上可表示为：
故选：．
8．小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度 时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（ ）
A．冰的整个熔化过程持续了
B．第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态
C．由图像可知，冰在第时全部熔化成水
D．由图像可知，冰的熔点是
【答案】B
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数图像，从函数图像中获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、冰的整个熔化过程持续了；原说法正确，不符合题意；
B、第时，冰已经全部熔化，处于液体状态；原说法错误，符合题意；
C、由图像可知，冰在第时全部熔化成水；原说法正确，不符合题意；
D、由图像可知，冰的熔点是；原说法正确，不符合题意；
故选B．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交轴于点，
∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，
∴，则，
∴
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．已知点与点，若直线平行于轴，则 ．
【答案】2
【知识点】坐标系中的平移
【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等．
根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可．
【详解】解：∵直线平行于轴，
∴点和点的横坐标相等，
则，
故答案为：．
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且/且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围
【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解．
【详解】解：函数中，且，
解得：且，
故答案为：且．
12．某校为弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的校园活动，小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系后，“传”“明”的坐标分别为，，则“文”的坐标为 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标：根据“传”“明”的坐标分别为，建立相应的平面直角坐标系，然后写出“文”的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵“传”“明”的坐标分别为，，
∴坐标系如图所示，
，
∴“文”的坐标为，
故答案为：．
13．函数的定义域为 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：且；
故答案为：且．
14．已知两点和，下列说法正确的有 （填序号）
① 直线轴 ②A、B两点间的距离
③的面积 ④线段的中点坐标是
【答案】②③④
【知识点】求点到坐标轴的距离、中点坐标
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成的线段中点，三角形面积为底乘以高的一半；正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据坐标与图形的性质，线段中点坐标的公式即可．
【详解】解：∵两点和，
∴直线轴，，线段的中点坐标是，即，故②④正确；
∴，故③正确；
故答案为：②③④
15．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标、坐标与图形综合
【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，
∴矩形与矩形的位似比为，
∵点、坐标分别为和，
∴点的坐标为，
∴点的对应点的坐标是或，即或，
故选：．
16．在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、正比例函数的性质、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算
【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点，，的纵坐标，最后归纳类推出一般规律得到的纵坐标，由此即可算出点的纵坐标．
【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，
，
，
当时，，即，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，即点的纵坐标为，
同理可得：点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数），
则点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】先分析整个运动过程，进而求出，，，再根据勾股定理求出，然后根据面积相等得出答案．
【详解】点P从点A沿着匀速运动，y随着x的增大而增大，当时，；点P在上运动时，y随着x的增大而减小，当时，，，继续运动，y随着x的增大而增大，当时y最大，即，；当点P在上运动时，y随着x的增大而减小，最后与点A重合．
在中，，
∴，
∴，
即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，勾股定理，求三角形的面积等，从图象中获取信息时解题的关键．
18．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
19．如图1，已知学校在小明家和图书馆之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往图书馆．图2是小明步行时离学校的路程y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象．正确的是（ ）
①小明家到学校的距离为240米；
②图中a的值是18；
③线段所表示的y与x之间的函数表达式为；
④在分钟和分钟时，小明距离学校100米．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识点，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④．
【详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确；
小明步行的速度是（米/分），
小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确；
设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）．
将坐标分别代入得：
得，解得，
∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确；
同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式，
当时，，解得；
当时，，解得．
∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，即④正确．
综上，正确的有①②③④．
故选D．
20．如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当秒时， ②
③当时， ④当秒时，平分四边形的面积
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题主要考查动点函数图象问题，根据等腰梯形的性质和动点函数图象分析即可得到答案
【详解】解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：
（1）段，函数图象为抛物线，运动图形如答图所示，
此时点P在线段上、点Q在线段上运动；
为等边三角形，其边长，高，
∴，
由函数图象可知，当秒时，，故选项①正确；
（2）段，函数图象为直线，运动图形如答图所示：
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
由函数图象可知，此阶段运动时间为，
∴，故选项 ②正确；
设直线的解析式为：，
将代入得，
，
解得，，
∴，故选项③错误；
（3）段，函数图象为直线，运动图形如答图所示：
此时点P、Q均在线段上运动.
设梯形高为则；
当时，，则，
∴，
∴，即平分梯形的面积，故选项④正确，
故选：A．
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1．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在第三象限则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．小明在物理课上学习了物态变化相关知识后，自己在家中进行了“探究冰熔化时温度变化规律”的实验，并绘制了如图所示的此物质变化时的温度 时间图像．已知，冰在熔化过程中，温度不变．根据图像，下列说法错误的是（ ）
A．冰的整个熔化过程持续了 B．第时，冰仍在熔化，处于固液共存的状态
C．由图像可知，冰在第时全部熔化成水 D．由图像可知，冰的熔点是
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
10．已知点与点，若直线平行于轴，则 ．
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．某校为弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的校园活动，小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系后，“传”“明”的坐标分别为，，则“文”的坐标为 ．
13．函数的定义域为 ．
14．已知两点和，下列说法正确的有 （填序号）
① 直线轴 ②A、B两点间的距离
③的面积 ④线段的中点坐标是
15．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
16．在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
17．如图1，在△ABC中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
19．如图1，已知学校在小明家和图书馆之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往图书馆．图2是小明步行时离学校的路程y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象．正确的是（ ）
①小明家到学校的距离为240米；
②图中a的值是18；
③线段所表示的y与x之间的函数表达式为；
④在分钟和分钟时，小明距离学校100米．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
20．如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当秒时， ②
③当时， ④当秒时，平分四边形的面积
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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第一讲 平面直角坐标系与函数初步
教材知识 中考考点 课标要求
平面直角坐标系 1.点的坐标特征 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.
2.点的坐标变换 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点的坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点之间的坐标关系；能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点之间的关系；探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点之间的变化.
3.坐标与图形
函数及其表示 4.函数自变量的取值范围 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示方法，能举出函数的实例；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；结合对函数关系的分析，能对比变量的变化情况进行初步讨论.
5.函数图象的判断
6.函数图象的分析
命题点1 有序数对及平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
如图，在平面内，两条相互垂直、原点重合的数轴构成平面直角坐标系.两条数轴将平面分成的四部分叫做象限.
【要点解读】
①水平的数轴称为轴或横轴；竖直的数轴称为轴或纵轴；
②右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限喝第四象限.
2、有序数对
有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对.平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的.经一点分别向轴、轴做垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标.有序数对叫做点的坐标.
角度1 有序数对
1．（2022·湖北宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】根据小丽的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵只有与是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
2．（2023·江苏连云港）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．
【答案】
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
3．（2022·四川眉山）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、用有序数对表示位置
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
4．（2023·山东泰安·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行第2行第3行第4行第5行 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置
【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数，
，
在第45行倒数第3个，
第45行有个数，倒数第三个数为87，
表示2023的有序数对是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数字的变化，找到变化规律是解题的关键．
角度2 点的坐标
5．（2024·广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
6．（2023·浙江衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】作图见解析，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键．
7．（2023·贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解．
【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，
若贵阳北站的坐标是，
方格中一个小格代表一个单位，
洞堡机场与喷水池的水平距离有9个单位长度，与喷水池的垂直距离有4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限，
龙洞堡机场的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键．
8．（2022·山东烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．
【答案】（4，1）
【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
命题点2 平面直角坐标系中点的坐标特征
1、点的坐标特征
点的位置 图示 坐标特征
点在象限内 第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
点在坐标轴上 轴
轴
原点
点在与坐标轴平行的直线上 与轴平行
与轴平行
点在各象限的角平分线上 第一、三象限
第二、四象限
【要点解读】
坐标轴上的点不属于任何象限.
2、坐标系中的距离
类别 图示 表示
到轴的距离
到轴的距离
到原点的距离
【知识拓展】
已知平面直角坐标系中任意两点：
①中点坐标为；
②两点的距离为（若两点连线平行于轴，则两点之间距离为；若两点连线平行于轴，则两点之间距离为）.
角度1 点的坐标特征
9．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、判断点所在的象限
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，
解得，，
∴点在第四象限，
故选：D
10．（2021·湖北荆州）若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限
【分析】先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可.
【详解】∵
∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限
∴
解得：
故选：C
【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
11．（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，
故选A．
12．（2020·湖南邵阳）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
13．（2023·四川巴中）已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可．
【详解】∵点在第一象限中，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
角度2 坐标系中的距离
14．（2018·浙江杭州）到x轴的距离是 ．
【答案】4
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，求解即可．
【详解】解：到x轴的距离是，
故答案为：4．
15．（2020·山东滨州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
【详解】解：设点坐标为，
∵点在第二象限内，
∴，，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴，，
∴，，
即点坐标为，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
16．（2018·天津宁河·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，2.5） C．（3，3） D．（3，2.5）
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【详解】∵，，
∴线段AB的中点坐标为（2，3）.
故选A.
17．（2021浙江台州·模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P，
∵平行于x轴，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴Q或．
故选：A．
18．（2024·湖南）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故选：C．
命题点2 平面直角坐标系中点的坐标变换
1、对称点的坐标特征
对称前点的坐标 对称方式 对称后点的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
关于直线对称
关于直线对称
关于直线对称
关于直线对称
【要点解读】
①关于轴对称，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；
②关于轴对称，点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；
③关于原点对称，点的横、纵坐标都互为相反数.
2、平面直角坐标系中点的平移
平移前点的坐标 平移方式 平移后点的坐标
向左平移个单位长度
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
【要点解读】
①左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变.
②口诀：左减右加，上加下减.
角度1 点的坐标变换
19．（2023·湖南怀化）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
20．（2024·四川成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；
故选：B．
21．（2024·江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即．
故答案为：．
22．（2023·山东聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．
【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，
∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
故坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．
23．（2023·山东枣庄）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵B，C的坐标分别为，
∴坐标系的位置如图所示：
∴点的坐标为：，
连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为；
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．
角度2 坐标与图形
24．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：C．
25．（2023·山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
26．（2023·山东东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
【答案】－1
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求点到坐标轴的距离
【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解．
【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F
由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键．
27．（2023·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，
∴四边形和四边形的相似比为，
∵，
∴第一象限内点 ，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
命题点3 平面直角坐标系中点的规律问题
28．（2023·山东泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，
∵
∴
∴,
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为2023，
∵，674为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
29．（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．
【详解】解：∵，，，，，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
30．（2023·辽宁阜新）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
31．（2024·山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为，
经过2次运算后得到点为，即为，
经过3次运算后得到点为，即为，
……，
发现规律：点经过3次运算后还是，
∵，
∴点经过2024次运算后得到点，
故答案为：．
命题点4 函数及自变量的取值范围
1、函数的相关概念
（1）常量：在某一变化过程中，数值固定不变的量.
（2）变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量.
（3）函数：对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与它对应，那么称是的函数，是自变量.
（4）函数值：当时，，那么叫做当自变量的值为时的函数值.
【要点解读】
①每一个值对应唯一的值，但一个值不一定对应唯一的值；
②判断是否为的函数，只需看当的值确定时，是否有唯一确定的值与之对应.
2、函数自变量的取值范围
类型 示例 自变量的取值范围
整式型 全体实数
分式型 分母不为0的实数，即
二次根式型 被开方数大于等于0的实数，即
零指数幂型 底数不为0的实数，即
负整数指数幂型 底数不为0的实数，即
分式与二次根式结合型 分子的被开放数大于等于0，分母不等于0，即且
分母的被开方数大于0，即
【要点解读】
①在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义；
②兼具其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分.
角度1 变量与函数
32．（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
33．（2023·浙江）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】求自变量的值或函数值、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
34．（2024·山东东营）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
【答案】
【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可．
【详解】解：设与的函数关系式为，
由题意，得，
解得：，
故与之间的关系式为：，
当时，．
故答案为：．
35．（2024·湖北）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
【答案】79
【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．
【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例，
∴m关于V的函数解析式为，
当时，，
故答案为：79．
角度2 函数函数自变量的取值范围
36．（2024·四川巴中）函数自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．
【详解】解：由题知，，
解得，
故答案为：C．
37．（2024·黑龙江大兴安岭地）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
38．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
39．（2021·湖北黄石）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．
【详解】解：函数的自变量的取值范围是：
且，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
40．（2022·湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得且，
故选C．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
命题点5 函数的图象及图象的判断与分析
1、函数的表示方法
（1）解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系.
（2）列表法：把自变量的一系列值与对应的函数值列成一个表格.
（3）图象法：用图象表示函数与自变量之间的关系.
2、函数的图象
（1）把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
（2）用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
（3）与函数图象有关的解题要点
①明确横、纵坐标表示的意义及单位；明确函数中，自变量的取值范围；
②图象上的水平线段表示自变量变化而函数值不变，即纵坐标是一个常熟；
③当多个阶段的图象都为上升（或下降）趋势时，通常需判断各阶段上升（或下降）的快慢；
④明确函数图象的每个拐点及最高、最低点表示的意义.
角度1 函数的图象及解析式
41．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断．
根据函数的概念解答即可．
【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
42．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
【答案】①②③
【知识点】函数图象识别、函数解析式、函数的概念
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
43．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故选：D．
44．（2024·江苏常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
45．（2024·广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．
【详解】解：，
故选：A．
46．（2024·四川凉山）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：．
47．（2022·四川雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数图象识别
【分析】根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解．
【详解】解：由题意得：
刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，
然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，
汽车到达下一车站，则速度匀速减少到0，
乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则速度从0开始增加到一定速度后不在增加，
故选B．
【点睛】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．
48．（2023·山东滨州）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数图象识别
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解．
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
角度2 实际问题中函数图象的判断与分析
49．（2024·青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可
【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；
故选：D
50．（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
51．（2024·四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．
【答案】5
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题．
根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：（米/分），
小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分），
由图可知，会议开始时间为出发后（分），
∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分），
故答案为：5．
52．（2024·江苏南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是，原说法正确，符合题意；
故选D．1
53．（2024·山东淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是．
【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
54．（2024·山东威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距
C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟
【答案】A
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（）
两车行驶了小时，同时到达地，
如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息，
点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确，
设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在时，乙车不动，则甲车的速度是，
∴乙车休息前速度为，故C不正确，
∴的距离为千米，故B不正确，
设小时两辆车相遇，依题意得，
解得：即小时时，两车相遇，故A正确
故选：A．
角度3 几何问题中函数图象的判断与分析
55．（2024·河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、求扇形面积
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
56．（2024·甘肃）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
57．（2024·甘肃兰州）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长．
【详解】解：根据题意知，，，
∵四边形为菱形，，
∴，
过点M作于点H，连接交于点O，如图，
则，
那么，的面积为，
设菱形的边长为a，
∴，
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，
∴，解得，（负值舍去），
∴．
故选：C．
58．（2024·山东烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴
∴
当时，重合部分为，
如图所示，
依题意，为等边三角形，
运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，
依题意，，则
∴
∴
∵
∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
59．（2023·内蒙古）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】利用图表信息结合面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可．
【详解】由矩形及点P运动过程可知：
时，点P位于点B处，，
则，，
，①正确；
时，点P位于点D处，，
，，
，故运动时间为10s，所以③正确；
，
，
时，点P位于点C处，
，所以②错误；
周长，所以④错误；
故①③正确，正确得有2个，
故选C．
【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关键．
1．（2020·贵州毕节）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【详解】解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|=5，|x|=4．
又∵点M在第二象限内，
∴x=-4，y=5，
∴点M的坐标为（-4，5），
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征.
2．（2023·湖北黄石）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．
【详解】解：由题意可得且，
解得：且，
故选：C．
3．（2020·湖北宜昌）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误，不符合题意；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确，符合题意；
C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误，不符合题意；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
4．（2023·浙江台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：“车”所在位置的坐标为，
确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
“炮”所在位置的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．
5．（2022·辽宁大连）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式
【分析】由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．
【详解】解：由题意可得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键．
6．（2024·湖北武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：D．
7．（2022·湖南永州）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数图象识别
【分析】利用排除法，根据开始、结束时y均为0排除C，D，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B．
【详解】解：队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y均为0，由此排除C，D，
因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y值不变，因此排除B，
故选A．
【点睛】本题考查函数图象的识别，读懂题意，找准关键点位置是解题的关键．
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故选：C．
9．（2024·四川广元）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
10．（2023·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【答案】 天文馆
【知识点】实际问题中用坐标表示位置、用有序数对表示位置
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定原点位置．
11．（2024·辽宁）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标．
【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
12．（2022·四川广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
【答案】二
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，解得：，
∴，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．
故答案为：二
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
13．（2022·黑龙江哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
14．（2023·山东日照）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
15．（2020·广东广州）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
【答案】(4，3)
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、求点到坐标轴的距离、利用平移的性质求解
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案为：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
56．（2023·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
17．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
【答案】 3 /
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、函数解析式
【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
【详解】解：，
超过2千克，
设购买了千克，则，
解得，
设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
∴
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
18．（2024·黑龙江绥化）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
19．（2024·湖北）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
点的坐标为，
，，
点的坐标为．
故选：B．
20．（2023·四川遂宁）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象、根据矩形的性质与判定求线段长、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
21．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，...，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
......，
，
滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，
∴滚动2024次后停止滚动，则时，，
故答案为：．
22．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
23．（2024·黑龙江大兴安岭地）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)的函数解析式是
(3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）
∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点
设
∴
解得：，
∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：，
解得：,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，
解得：，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，
解得：，
答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．
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第一讲 平面直角坐标系与函数初步
教材知识 中考考点 课标要求
平面直角坐标系 1.点的坐标特征 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.
2.点的坐标变换 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点的坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点之间的坐标关系；能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点之间的关系；探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点之间的变化.
3.坐标与图形
函数及其表示 4.函数自变量的取值范围 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示方法，能举出函数的实例；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；结合对函数关系的分析，能对比变量的变化情况进行初步讨论.
5.函数图象的判断
6.函数图象的分析
命题点1 有序数对及平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
如图，在平面内，两条相互垂直、原点重合的数轴构成平面直角坐标系.两条数轴将平面分成的四部分叫做象限.
【要点解读】
①水平的数轴称为轴或横轴；竖直的数轴称为轴或纵轴；
②右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限喝第四象限.
2、有序数对
有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对.平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的.经一点分别向轴、轴做垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标.有序数对叫做点的坐标.
角度1 有序数对
1．（2022·湖北宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．
3．（2022·四川眉山）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
4．（2023·山东泰安·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行第2行第3行第4行第5行 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是 ．
角度2 点的坐标
5．（2024·广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
7．（2023·贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．
8．（2022·山东烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．
命题点2 平面直角坐标系中点的坐标特征
1、点的坐标特征
点的位置 图示 坐标特征
点在象限内 第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
点在坐标轴上 轴
轴
原点
点在与坐标轴平行的直线上 与轴平行
与轴平行
点在各象限的角平分线上 第一、三象限
第二、四象限
【要点解读】
坐标轴上的点不属于任何象限.
2、坐标系中的距离
类别 图示 表示
到轴的距离
到轴的距离
到原点的距离
【知识拓展】
已知平面直角坐标系中任意两点：
①中点坐标为；
②两点的距离为（若两点连线平行于轴，则两点之间距离为；若两点连线平行于轴，则两点之间距离为）.
角度1 点的坐标特征
9．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·湖北荆州）若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2020·湖南邵阳）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·四川巴中）已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
角度2 坐标系中的距离
14．（2018·浙江杭州）到x轴的距离是 ．
15．（2020·山东滨州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
16．（2018·天津宁河·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（5，4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，2.5） C．（3，3） D．（3，2.5）
17．（2021浙江台州·模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
18．（2024·湖南）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
命题点2 平面直角坐标系中点的坐标变换
1、对称点的坐标特征
对称前点的坐标 对称方式 对称后点的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
关于直线对称
关于直线对称
关于直线对称
关于直线对称
【要点解读】
①关于轴对称，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；
②关于轴对称，点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；
③关于原点对称，点的横、纵坐标都互为相反数.
2、平面直角坐标系中点的平移
平移前点的坐标 平移方式 平移后点的坐标
向左平移个单位长度
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
【要点解读】
①左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变.
②口诀：左减右加，上加下减.
角度1 点的坐标变换
19．（2023·湖南怀化）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·四川成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
22．（2023·山东聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·山东枣庄）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．
角度2 坐标与图形
24．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·山东东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
27．（2023·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
命题点3 平面直角坐标系中点的规律问题
28．（2023·山东泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．
29．（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·辽宁阜新）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )
A． B． C． D．
31．（2024·山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ．
命题点4 函数及自变量的取值范围
1、函数的相关概念
（1）常量：在某一变化过程中，数值固定不变的量.
（2）变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量.
（3）函数：对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与它对应，那么称是的函数，是自变量.
（4）函数值：当时，，那么叫做当自变量的值为时的函数值.
【要点解读】
①每一个值对应唯一的值，但一个值不一定对应唯一的值；
②判断是否为的函数，只需看当的值确定时，是否有唯一确定的值与之对应.
2、函数自变量的取值范围
类型 示例 自变量的取值范围
整式型 全体实数
分式型 分母不为0的实数，即
二次根式型 被开方数大于等于0的实数，即
零指数幂型 底数不为0的实数，即
负整数指数幂型 底数不为0的实数，即
分式与二次根式结合型 分子的被开放数大于等于0，分母不等于0，即且
分母的被开方数大于0，即
【要点解读】
①在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义；
②兼具其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分.
角度1 变量与函数
32．（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
33．（2023·浙江）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
34．（2024·山东东营）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
35．（2024·湖北）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
角度2 函数函数自变量的取值范围
36．（2024·四川巴中）函数自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2024·黑龙江大兴安岭地）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
38．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ．
39．（2021·湖北黄石）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
40．（2022·湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
命题点5 函数的图象及图象的判断与分析
1、函数的表示方法
（1）解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系.
（2）列表法：把自变量的一系列值与对应的函数值列成一个表格.
（3）图象法：用图象表示函数与自变量之间的关系.
2、函数的图象
（1）把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
（2）用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
（3）与函数图象有关的解题要点
①明确横、纵坐标表示的意义及单位；明确函数中，自变量的取值范围；
②图象上的水平线段表示自变量变化而函数值不变，即纵坐标是一个常熟；
③当多个阶段的图象都为上升（或下降）趋势时，通常需判断各阶段上升（或下降）的快慢；
④明确函数图象的每个拐点及最高、最低点表示的意义.
角度1 函数的图象及解析式
41．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
42．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
43．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
44．（2024·江苏常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
45．（2024·广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
46．（2024·四川凉山）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
47．（2022·四川雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2023·山东滨州）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
角度2 实际问题中函数图象的判断与分析
49．（2024·青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
50．（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
51．（2024·四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．
52．（2024·江苏南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
53．（2024·山东淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
54．（2024·山东威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距
C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟
角度3 几何问题中函数图象的判断与分析
55．（2024·河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
56．（2024·甘肃）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
57．（2024·甘肃兰州）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
58．（2024·山东烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
59．（2023·内蒙古）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；
②；
③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．（2020·贵州毕节）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄石）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．（2020·湖北宜昌）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
4．（2023·浙江台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁大连）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南永州）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·四川广元）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
10．（2023·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
11．（2024·辽宁）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
12．（2022·四川广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
13．（2022·黑龙江哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2023·山东日照）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
15．（2020·广东广州）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
17．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
18．（2024·黑龙江绥化）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
19．（2024·湖北）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·四川遂宁）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
22．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
23．（2024·黑龙江大兴安岭地）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
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