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1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．C 10．A 11．C
12．A 13．①②④ 14． 15．2（答案不唯一）
16．(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
(2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
17．(1)选用A种食品4包，B种食品2包
(2)选用A种食品3包，B种食品4包
18．(1)70，300 (2) (3)或
19．A 20．C 21．B
22．2或/或2 23．14
24．(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
25．(1)
(2)①；②或
1．已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题．
【详解】解：因为正比例函数的比例系数是，
所以y随x的增大而减小．
又因为，
所以．
故选：B．
2．下列对于一次函数的描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．图象不经过第一象限
C．图象经过点 D．图象与x轴交于点
【答案】B
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据k，b的值判断图象的增减性及经过的象限，可判断选项A，B，求出时对应的函数值可判断选项C，令求出对应的x的值，可判断选项D．
【详解】解：中，，
y随x的增大而减小，故选项A描述正确，不合题意；
，，
图象经过第一、二、四象限，故选项B描述错误，符合题意；
当时，，
图象经过点，故选项C描述正确，不合题意；
令，解得，
图象与x轴交于点，故选项D描述正确，不合题意；
故选B．
3．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键．
根据一次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意．
故选：D．
4．在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质可得，进而可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，
∴，
∴一次函数中，，，
∴一次函数过第一、三、四象限，
故选：B．
5．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案．
【详解】解：把代入得：，
解得，
∴，
∴关于、的方程组的解是
故选：A．
6．如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求的解集，即为，就是求函数值小于0时，x的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案．
【详解】∵要求的解集，即为求的解集，
∴从图象上可以看出等时，，
故选：C．
7．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
∴，
由图象可得，关于的不等式的解集是，
故选：B．
8．一次函数的图象向右平移个单位后经过点，则平移后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题目主要考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象上的点的坐标特征，求得平移后的一次函数的解析式，把点代入即可求解．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后得到，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴平移后的函数表达式为．
故选：A．
9．如图所示，A、B两地相距．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离，与时间x之间的函数，且与相交于点E．下列说法正确的个数有（ ）
①与x的函数关系是；②点E表示甲乙同时出发小时相遇；③甲骑自行车的速度是；④出发或时，甲乙两人相距．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象，利用待定系数法求出即可判断①正确；根据函数图象的意义即可判断②正确；求出点E的坐标然后求出甲骑自行车的速度即可判断③正确；先求出，根据题意列出方程，求出x的值，然后根据题意进行判断；求出当甲到达B地时，乙离B地5千米所走时间，即可求出第二种情况，判断④错误．
【详解】解：设与x的函数关系式是，
∵点，在函数的图象上，
∴，
解得，
∴与x的函数关系式是，故①正确；
由图可知，甲、乙同时出发小时，二人与A地距离相同，即二人相遇，故②正确；
当时，，
∴两人相遇地点与A地的距离是，
∴甲骑自行车的速度是，故③正确；
设线段对应的与x的函数关系式是，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得，
∴线段对应的与x的函数关系式是；
令，
解得： （甲小时已到达B地，不合题意，舍去），，
当甲到达B地时，乙离B地5千米所走时间为：（小时），
∴经过小时或小时，甲、乙两人相距，故④不正确，
∴正确的有：①②③，共3个；
故选：C．
10．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ）
A．12 B． C．10 D．6
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
待定系数法求出直线解析式为，设点，得到，继而得到四边形周长．
【详解】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得：
，
解得：，
一次函数的解析式为，
设点，
由解析式可知：，
四边形的周长是，
故选：A．
11．一次函数与一次函数（为常数，且）的图像关于直线对称，与的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】先在直线上任意取两点，，然后根据关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同求出这两点的对应点的坐标，然后代入计算即可求出、的值．
【详解】解：由直线可知，直线经过点，，
关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同，
点，，关于直线对称的点分别为，，
将，代入，得，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据对称求出图象上任意两点的坐标是解题的关键．
12．如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】A
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，延长，交轴于点，过点作轴，证明，得出，从而得出点的坐标为，再代入一次函数解析式即可得出答案．
【详解】解：延长，交轴于点，过点作轴，如图所示：
∵轴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
将坐标代入得，，
解得，
故选：A．
13．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有 ．（在横线上填写正确的序号）
【答案】①②④
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【详解】由图象，得
①600÷6=100（米/天），故①正确；
②（500-300）÷4=50（米/天），故②正确；
③由图象得甲队完成600米的时间是6天，
乙队完成600米的时间是：2+300÷50=8天，
∵8-6=2天，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故③错误；
④当x＝2天时，甲队完成200米，乙队完成300米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
当x=6天时，甲队完成600米，乙队完成500米，故甲、乙两队所挖管道长度之差为100米．
故④正确.
故答案为①②④.
14．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据旋转的性质求解
【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解．
【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
将代入得，，将代入得，
则，，即，，
由旋转的性质可得：，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了一次函数与坐标轴的交点，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
15．已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可．
【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点，
∴．
∵y随x的增大而减小，
∴，
当时，，
解得：，
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
16．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
(2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，
根据题意得，，
解得，
答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
（2）解：由题知：，
解得，，
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
17．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包
(2)选用A种食品3包，B种食品4包
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
18．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】(1)70，300
(2)
(3)或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
19．当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A．
20．直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查求一次函数解析式，作出函数图像，利用特殊角度的三角函数求出旋转后的直线与轴的交点坐标是解题的关键．根据题意作出函数图象，设直线与轴交于点，与轴交于点，直线绕点顺时针旋转后所得直线与轴交于点，根据旋转角度推出，利用三角函数求出，得到点坐标，即可求出旋转后的直线解析式．
【详解】如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，
在中，当时，，
当时，，解得，
∴直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设直线绕点逆顺时针旋转后所得直线与轴交于点，如图所示，
则，
，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为．
故选：C．
21．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，则，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
即第1个等边三角形的边长为：，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
在中，，，
，
即第2个等边三角形的边长为：，
同理：第3个等边三角形的边长为：，
，依次类推，第个等边三角形的边长为：，
第2024个等边三角形的边长等于．
故选：B．
22．已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ．
【答案】2或/或2
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数
【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【详解】解：当时，随的增大而增大，
∵当时，，
一次函数图象上的点坐标为和，
代入得：，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
此时；
当时，随的增大而减小，
一次函数图象上的点坐标为和，
代入得：，
解得：，
此时，
故答案为：2或．
23．已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ．
【答案】14
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，函数的增减性，是解决问题的关键．
联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较得出结论即可．
【详解】联立两函数的解析式，得，，
解得，，
∴两函数图象交点为，
∵当时，，且的值随x的增大而减小，
∴当时，；
∵当时，，且的值随x的增大而增大，
∴当时，；
∴在的范围内，m的最大值为14．
故答案为：14．
24．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工程问题
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点在第二象限，的面积是5．
①求点的坐标；
②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得；
（2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标；
②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：①∵点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
②连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
把代得：，解得：，．
当点在直线上时，点的横坐标为：，
当点在点D上时，点的横坐标为：，
当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，；
当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时；
综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或．
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1．已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．下列对于一次函数的描述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．图象不经过第一象限
C．图象经过点 D．图象与x轴交于点
3．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
4．在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数的图象向右平移个单位后经过点，则平移后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，A、B两地相距．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离，与时间x之间的函数，且与相交于点E．下列说法正确的个数有（ ）
①与x的函数关系是； ②点E表示甲乙同时出发小时相遇；
③甲骑自行车的速度是； ④出发或时，甲乙两人相距．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ）
A．12 B． C．10 D．6
11．一次函数与一次函数（为常数，且）的图像关于直线对称，与的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
13．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；
③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有 ．（在横线上填写正确的序号）
14．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ．
15．已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可）
16．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
17．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
18．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
19．当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
20．直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
21．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
22．已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ．
23．已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ．
24．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)若点在第二象限，的面积是5．
①求点的坐标；
②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围．
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第二讲 一次函数及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一次函数的概念及图象与性质 1.一次函数的图象与系数 能画出一次函数的图象，根据图象和解析式探索并理解和时图象的变化情况；理解正比例函数.
2.一次函数的增减性
3.一次函数的图象变换
4.一次函数解析式的确定 会运用待定系数法确定一次函数的解析式.
一次函数与方程（组）、不等式（组） 5.一次函数与方程（组）结合 体会一次函数与二元一次方程的关系，能够运用一次函数的图象求解有关方程（组）的解；能够用一次函数的图象求解一次不等式（组）的解集.
6.一次函数与不等式（组）结合
一次函数的实际应用 7.一次函数的行程、工程、最优方案、最值等有关实际应用 结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式；能用一次函数解决简单的实际问题.
一次函数与几何综合 8.一次函数与几何结合 能够在平面直角坐标系中结合一次函数的图象和性质解决有关平面几何的相关问题.
命题点1 一次函数的概念及解析式的确定
1、一次函数
一般地，形如（是常数，）的函数.
当时，为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
2、待定系数法确定一次函数解析式
（1）设：设一次函数解析式为（是常数，）.
（2）代：将两点坐标代入解析式中，得到含的方程组.
（3）解：解方程组，求得的值.
（4）还原：将的值代回解析式中，从而得出函数解析式.
【要点解读】
对于正比例函数，找出函数图象上的一点（非原点），求出即可确定解析式.
角度1 一次函数的定义
1．（2024·湖北）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
【答案】79
【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．
【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例，
∴m关于V的函数解析式为，
当时，，
故答案为：79．
2．（2022·山东济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【知识点】识别一次函数
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，符合题意；
B、不是一次函数，不符合题意；
C、不是一次函数，不符合题意；
D、不是一次函数，不符合题意．
故选：A
4．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可．
【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系；
故选：D．
角度2 一次函数解析式的确定
5．（2024·陕西）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴，
∴，，
设正比例函数的解析式为：，把代入，得：，
∴；
故选A．
6．（2023·广西）函数的图象经过点，则 ．
【答案】1
【知识点】求一次函数解析式
【分析】把点代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：由题意可把点代入函数解析式得：，
解得：；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2024·宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能
为 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的定义
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线过，，再求解一次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，直线过，，
∴为等腰直角三角形，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
故答案为：，（答案不唯一．）
8．（2024·山东潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵随着的增大而减小，
∴一次函数的比例系数，
又∵函数图象与轴正半轴相交，
∴，
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2023·江苏苏州）已知一次函数的图象经过点和，则 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、平方差公式分解因式
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
10．（2023·浙江杭州）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．
【答案】5
【知识点】求一次函数解析式
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．
【详解】解：设过，则有：
，解得：，则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
命题点2 一次函数的图象和性质
函数名称 正比例函数 一次函数
解析式 （是常数，）
图象形状及特点 过原点的一条直线 过点且平行于的一条直线
作图方法 过点作直线 过点作直线
图象性质 时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大 时，图象恒过一、三象限，随的增大而增大 时，图象经过第一、二、三象限
时，图象经过第一、三、四象限
时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小 时，图象恒过二、四象限，随的增大而减小 时，图象经过第一、二、四象限
时，图象经过第二、三、四象限
【要点解读】
1、作图方法中，两点的确定：
①正比例函数过原点，另外一点即当时，，即坐标为
②一次函数中，找的是与两坐标轴的交点，求与轴的交点坐标，令，解的，即坐标为；求与轴的交点坐标，令，解的，即坐标为.
2、的符号决定一次函数图象从左至右的趋势，即当随的增大而增大时，，反之.
3、的符号决定一次函数图象与轴的交点位置，即与轴交与正半轴时，，反之.
角度1 一次函数解析式与象限的关系
11．（2024·甘肃兰州）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．
12．（2024·内蒙古包头）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，
∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2022·四川凉山）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：一次函数，
∵
∴图象一定经过一、三象限，
∴当时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当时，函数图象经过一、三象限，
∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
14．（2021·四川甘孜）已知一次函数y＝ax-1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 象限．
【答案】一
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】由题意根据一次函数的性质可以判断k的正负和经过定点（0，-1），从而可以得到该函数不经过哪个象限．
【详解】解：∵在一次函数y=ax-1中，若y随x的增大而减小，
∴a＜0，该函数经过点（0，-1），
∴该函数经过第二、三、四象限，
∴该函数不经过第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．（2021·辽宁丹东）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
角度2 分析、判断一次函数的图象
16．（2023·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数中，令，则；令，则，
∴一次函数的图象经过点和，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
17．（2023·辽宁沈阳）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解．
【详解】解：一次函数的图像过一、三象限，
，
一次函数的图像与轴交于负半轴，
，
故选：B．
18．（2020·广西贺州）已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案．
【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数（k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限，当b>0时，图象与y轴交于y轴正半轴；当b<0时，图象与y轴交于y轴负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
19．（2019·辽宁辽阳）若且，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】根据且，得到a,b的取值范围，再根据一次函数的图像即可求解.
【详解】解：∵，且，
∴a＞0，b＜0.
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图像.
20．（2023·陕西）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作出判断．
【详解】解：∵和（k为常数，），
∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的，
故A、B、C不合题意，
D选项符合题意；
故选：D．
21．（2024·内蒙古通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可．
【详解】解：由一次函数：的图象可得：
，，
由一次函数：的图象可得：
，，
∴，，，，
正确的结论是A，符合题意，
故选A．
22．（2023·山东临沂）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数的图象经过点，
∴，则，
∴，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．
23．（2020·山东潍坊）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】新定义下的实数运算、求一次函数解析式、判断一次函数的图象
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
角度3 与一次函数增减性、最值、取值范围有关的问题
24．（2024·新疆）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
而四个选项中，只有D符合题意，
故选：D．
25．（2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题．
【详解】
随的增大而增大，
又点在正比例函数的图象上，且
．
故选：B
26．（2020·江苏宿迁）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】由k＝2＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出x1＜x2．
【详解】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵1＜3，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
27．（2023·辽宁盘锦）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一元一次不等式的解集
【分析】由一次函数性质得，，，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴．
∴．
时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
28．（2024·四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
29．（2024·湖南长沙）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
30．（2022·山东德州）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
【答案】D
【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【详解】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息．
31．（2024·北京）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
32．（2023·浙江温州）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
命题点3 一次函数图象的平移、旋转
1、一次函数图象的平移
原图象的函数解析式 平移方式（） 平移后图象的解析式
向左平移个单位长度
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
【要点解读】
①一次函数图象的平移，可记为“左加右减、上加下减”.注意与点的平移的区分，点的平移是“左减右加、上加下减”；
②若一次函数，平行，则且.
2、一次函数图象的对称（拓展）
原图象的函数解析式 对称方式 对称后函数图象的解析式
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
3、一次函数图象的旋转
旋转：旋转后的一次函数解析式中的与旋转前的的值的乘积为
33．（2023·江苏无锡）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据题目条件函数的图象向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可．
【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度，
∴，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键．
34．（2023·天津）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
35．（2021·陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
【答案】A
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为：，
化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．
36．（2023·内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
37．（2022·湖南娄底）将直线向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．
【详解】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：
直线向左平移2个单位，可得 故A不符合题意；
直线向左平移1个单位，可得 故B符合题意；
直线向右平移2个单位，可得 故C不符合题意；
直线向右平移1个单位，可得 故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．
38．（2024·江苏苏州）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式
【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶
设与y轴的交点为点B，
令，得；令，即，
∴， ，
∴，，
即
∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，
∴，，
∴，
则点，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长．
39．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与对称问题、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：，当时，，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
一次函数的图像与直线关于x轴对称，
一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得：，
所以，一次函数的解析式为：．
故答案为：．
40．（2023·四川雅安）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象平移问题、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
【详解】解：∵点是函数图象上的点，
∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、
∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为．
故选A．
【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为．
命题点4 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
类别 一个一次函数与方程、不等式的关系 两个一次函数与方程、组不等式的关系
方程（组）、不等式（组） 方程： 不等式： 方程组： 不等式：
一次函数
图象
关系 方程的解是直线与轴交点（M）的横坐标，即 不等式的解集是直线在轴上方部分所对应的的取值范围，即 方程组的解是直线与直线交点（N）的横、纵坐标，即 不等式的解集是直线在直线下方部分所对应的的取值范围，即
角度1 一次函数与方程（组）的关系
41．（2024·江苏扬州）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
42．（2012·浙江湖州）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 ．
【答案】x=－1
【知识点】利用图象法解一元一次方程、求一次函数解析式
【分析】先根据题意求出一次函数解析式，然后求出其与x轴的交点坐标即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，
∴，解得：．
∴一次函数的解析式为：y=x+1．
∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于（－1，0）点，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=－1，
故答案为：x=－1．
【点睛】本题考查一次函数图像与方程之间的联系，掌握函数与方程之间的关系是解题关键．
43．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
44．（2022·陕西）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可.
【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n），
∴，
∴，
∴，
∴1=3×2+m，
∴m=-5,
∴关于x，y的方程组的解.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
45．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】判断一次函数的增减性、已知直线与坐标轴交点求方程的解、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
角度2 一次函数与不等式的关系
46．（2024·广东）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
47．（2023·辽宁丹东）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键．
48．（2021·福建）如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集．
【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时，，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
49．（2022·江苏南通）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝ x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞ x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．
50．（2021·湖南娄底）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，
∴观察图像可知解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．
51．（2024·山东日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键．
可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ．
【详解】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为： ．
命题点5 一次函数的规律探索问题
52．（2024·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决．
【详解】解：作轴于点H，
均在直线上，
，
，
，，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，
，
即点的横坐标是，
故答案为：．
53．（2022·辽宁阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数的规律探究问题
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当时，，
根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第个等腰直角三角形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．
54．（2024·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的规律探究问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可．
【详解】轴，点的坐标为，
，则点的纵坐标为3，代入，
得：，则点的坐标为．
，，
，
由旋转可知，，，，
，，
，
．
设点的坐标为，
则，
解得或（舍去），则，
点的坐标为．
故选C．
命题点6 一次函数与几何图形的综合
1、与一次函数有关的面积问题的解题步骤
2、与一次函数图象有关的三角形面积的求解方法
类别 有两边在坐标轴上 有一边在坐标轴上
图形
面积
55．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求一次函数自变量或函数值、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
56．（2024·四川凉山）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
【答案】9
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，，
∴．
故答案为：9．
57．（2024·四川广安）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，
，，
绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
四边形是正方形．
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
58．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，
【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）解：过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
命题点7 一次函数的实际应用
1、一次函数实际应用题的解题步骤
2、分段函数的理解及运用
分段函数是指对自变量的不同取值范围有不同解析式的函数.在实际问题中，常用到分段函数的有出租车计费问题、行程问题、阶梯水费问题等，解答时需根据自变量的取值范围分段讨论.
以下是确定下图中函数图象的解析式为例：
①找自变量的分界值：为该函数自变量的分界值；
②分别求每段函数的解析式：当时，；当时，；
③确定分段函数的解析式：解析式为.
角度1 历史文化、跨学科类问题
59．（2024·广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．
【详解】解：，
故选：A．
60．（2024·甘肃）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故选：B．
61．（2023·湖北武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的行程问题、从函数的图象获取信息
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．
∴，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
角度2 行程问题
62．（2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
【答案】(1)y与x之间的关系式为；
(2)该车的剩余电量占“满电量”的．
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得当时，y的值，再计算即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为，
将，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：当时，，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
63．（2024·天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，
(2)
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，
∴张华的骑行速度为，
∴张华离家时，张华离家，
张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，
张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．
故答案为：.
②,
故答案为：．
③当时，张华的匀速骑行速度为，
∴；
当时，；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
综上：当时，，当时，，当时，．
（2）张华爸爸的速度为：，
设张华爸爸距家，则，
当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，
解得：，
∴，
故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．
角度3 工程问题
64．（2023·吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)
(3)10天
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲组每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
65．（2024·内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
(2)15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
角度4 最大利润问题
66．（2024·内蒙古呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1)，
(2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可；
（2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
67．（2024·山东日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，
即，
由题意得，a应满足：，解得．
，
∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得．
角度5 方案设计问题
68．（2024·山东东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
(2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可；
（2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
69．（2023·四川）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】(1)见解析；
(2)选方式B计费，理由见解析；
(3)见解析．
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；
（2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；
（3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱；
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、
当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；
当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为
总结如下表：
主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费()
78 108
108
（2）解：当时，
，故选方式B计费．
（3）解：令，有解得
∴当时，方式A更省钱；
当时，方式A和B金额一样；
当时，方式B更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．
70．（2022·内蒙古通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
(1)分别求，关于的函数关系式；
(2)两图象交于点，求点坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】(1)y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙=
(2)（600，510）
(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【详解】（1）由题意可得，y甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
（2）由，解得，
点A的坐标为（600，510）；
（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
1．（2022·宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义、实际问题与反比例函数、用反比例函数描述数量关系
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案．
【详解】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，
（为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
2．（2024·甘肃临夏）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数
【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴图象一定过第二、四象限，
∵b=-1，
∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．
3．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数，
设，
把时，；时，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故选：A．
4．（2023·湖北鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∵过点和，
∴，
解得，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
5．（2020·山东济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
【答案】A
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
6．（2020·浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数的定义求参数
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．
7．（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】代入消元法、判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
9．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【知识点】判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
10．（2024·上海）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小．
【详解】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，
又，
的值随的增大而减小．
故答案为：减小．
11．（2024·西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键．
【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
12．（2022·上海）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】∵直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴，，
∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数（），当，时，函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小．
13．（2021·湖北黄石）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1， 3)，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1， 3)的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到，
把(1， 3)代入，得到：，
解得m=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
14．（2022·江苏扬州）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同．
【详解】由一次函数图像得，当y>3时，，
则y=kx+b>3的解集是．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
15．（2024·甘肃）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键．
【详解】根据，选择，此时，
故答案为：．
16．（2024·江苏镇江）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数中，，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
17．（2024·四川自贡）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键．
【详解】解：∵的值随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴的值可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2023·北京）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．
【详解】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，
所以如图所示，当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
19．（2023·浙江绍兴）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】(1)
(2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇
(3)两地间的距离为600米
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为600米．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．
20．（2024·四川眉山）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．
(1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元；
(2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解；
（）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴
答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元；
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，
∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，，
答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
21．（2023·湖北武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【知识点】坐标与图形
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∵上有31个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点，
∴边界上的格点个数，
∵，
∴，
∴解得．
∴内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
22．（2022·山东菏泽）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、三线合一、一次函数的规律探究问题
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，即，
∵是等边三角形，轴，，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
以此类推，点的横坐标为，
∴当时，点的横坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点的横坐标的变化规律．
23．（2020·四川）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【答案】（1）甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；（2）①甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能；②当甲平整52天，乙平整2天时，费用最低，最低费用为107000元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的工程问题
【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400 ①，且2000x+1500y≤110000 ②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
【详解】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400 ①，且2000x+1500y≤110000 ②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
故答案为共有7中可能；
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
故答案为：最低费用为107000元．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，是利润问题中的综合题，考查较为全面，对于一次函数而言，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
24．（2023·辽宁大连）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、动点问题的函数图象
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
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第二讲 一次函数及其应用
教材知识 中考考点 课标要求
一次函数的概念及图象与性质 1.一次函数的图象与系数 能画出一次函数的图象，根据图象和解析式探索并理解和时图象的变化情况；理解正比例函数.
2.一次函数的增减性
3.一次函数的图象变换
4.一次函数解析式的确定 会运用待定系数法确定一次函数的解析式.
一次函数与方程（组）、不等式（组） 5.一次函数与方程（组）结合 体会一次函数与二元一次方程的关系，能够运用一次函数的图象求解有关方程（组）的解；能够用一次函数的图象求解一次不等式（组）的解集.
6.一次函数与不等式（组）结合
一次函数的实际应用 7.一次函数的行程、工程、最优方案、最值等有关实际应用 结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式；能用一次函数解决简单的实际问题.
一次函数与几何综合 8.一次函数与几何结合 能够在平面直角坐标系中结合一次函数的图象和性质解决有关平面几何的相关问题.
命题点1 一次函数的概念及解析式的确定
1、一次函数
一般地，形如（是常数，）的函数.
当时，为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
2、待定系数法确定一次函数解析式
（1）设：设一次函数解析式为（是常数，）.
（2）代：将两点坐标代入解析式中，得到含的方程组.
（3）解：解方程组，求得的值.
（4）还原：将的值代回解析式中，从而得出函数解析式.
【要点解读】
对于正比例函数，找出函数图象上的一点（非原点），求出即可确定解析式.
角度1 一次函数的定义
1．（2024·湖北）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
2．（2022·山东济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
角度2 一次函数解析式的确定
5．（2024·陕西）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西）函数的图象经过点，则 ．
7．（2024·宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能
为 （写出一个即可）．
8．（2024·山东潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
9．（2023·江苏苏州）已知一次函数的图象经过点和，则 ．
10．（2023·浙江杭州）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．
命题点2 一次函数的图象和性质
函数名称 正比例函数 一次函数
解析式 （是常数，）
图象形状及特点 过原点的一条直线 过点且平行于的一条直线
作图方法 过点作直线 过点作直线
图象性质 时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大 时，图象恒过一、三象限，随的增大而增大 时，图象经过第一、二、三象限
时，图象经过第一、三、四象限
时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小 时，图象恒过二、四象限，随的增大而减小 时，图象经过第一、二、四象限
时，图象经过第二、三、四象限
【要点解读】
1、作图方法中，两点的确定：
①正比例函数过原点，另外一点即当时，，即坐标为
②一次函数中，找的是与两坐标轴的交点，求与轴的交点坐标，令，解的，即坐标为；求与轴的交点坐标，令，解的，即坐标为.
2、的符号决定一次函数图象从左至右的趋势，即当随的增大而增大时，，反之.
3、的符号决定一次函数图象与轴的交点位置，即与轴交与正半轴时，，反之.
角度1 一次函数解析式与象限的关系
11．（2024·甘肃兰州）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024·内蒙古包头）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
13．（2022·四川凉山）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2021·四川甘孜）已知一次函数y＝ax-1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 象限．
15．（2021·辽宁丹东）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
角度2 分析、判断一次函数的图象
16．（2023·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·辽宁沈阳）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．（2020·广西贺州）已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
19．（2019·辽宁辽阳）若且，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·陕西）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·内蒙古通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·山东临沂）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·山东潍坊）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
角度3 与一次函数增减性、最值、取值范围有关的问题
24．（2024·新疆）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
25．（2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
26．（2020·江苏宿迁）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
27．（2023·辽宁盘锦）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
28．（2024·四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
29．（2024·湖南长沙）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
30．（2022·山东德州）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
31．（2024·北京）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
32．（2023·浙江温州）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
命题点3 一次函数图象的平移、旋转
1、一次函数图象的平移
原图象的函数解析式 平移方式（） 平移后图象的解析式
向左平移个单位长度
向右平移个单位长度
向上平移个单位长度
向下平移个单位长度
【要点解读】
①一次函数图象的平移，可记为“左加右减、上加下减”.注意与点的平移的区分，点的平移是“左减右加、上加下减”；
②若一次函数，平行，则且.
2、一次函数图象的对称（拓展）
原图象的函数解析式 对称方式 对称后函数图象的解析式
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
3、一次函数图象的旋转
旋转：旋转后的一次函数解析式中的与旋转前的的值的乘积为
33．（2023·江苏无锡）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·天津）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ．
35．（2021·陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
36．（2023·内蒙古）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·湖南娄底）将直线向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
38．（2024·江苏苏州）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
39．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ．
40．（2023·四川雅安）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
命题点4 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
类别 一个一次函数与方程、不等式的关系 两个一次函数与方程、组不等式的关系
方程（组）、不等式（组） 方程： 不等式： 方程组： 不等式：
一次函数
图象
关系 方程的解是直线与轴交点（M）的横坐标，即 不等式的解集是直线在轴上方部分所对应的的取值范围，即 方程组的解是直线与直线交点（N）的横、纵坐标，即 不等式的解集是直线在直线下方部分所对应的的取值范围，即
角度1 一次函数与方程（组）的关系
41．（2024·江苏扬州）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
42．（2012·浙江湖州）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 ．
43．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
44．（2022·陕西）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
45．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
角度2 一次函数与不等式的关系
46．（2024·广东）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
47．（2023·辽宁丹东）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
48．（2021·福建）如图，一次函数的图像过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
49．（2022·江苏南通）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
50．（2021·湖南娄底）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）
A． B． C． D．或
51．（2024·山东日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
命题点5 一次函数的规律探索问题
52．（2024·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
53．（2022·辽宁阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
命题点6 一次函数与几何图形的综合
1、与一次函数有关的面积问题的解题步骤
2、与一次函数图象有关的三角形面积的求解方法
类别 有两边在坐标轴上 有一边在坐标轴上
图形
面积
55．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
56．（2024·四川凉山）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
57．（2024·四川广安）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
58．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
命题点7 一次函数的实际应用
1、一次函数实际应用题的解题步骤
2、分段函数的理解及运用
分段函数是指对自变量的不同取值范围有不同解析式的函数.在实际问题中，常用到分段函数的有出租车计费问题、行程问题、阶梯水费问题等，解答时需根据自变量的取值范围分段讨论.
以下是确定下图中函数图象的解析式为例：
①找自变量的分界值：为该函数自变量的分界值；
②分别求每段函数的解析式：当时，；当时，；
③确定分段函数的解析式：解析式为.
角度1 历史文化、跨学科类问题
59．（2024·广西）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
60．（2024·甘肃）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A． B． C． D．
61．（2023·湖北武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
角度2 行程问题
62．（2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
63．（2024·天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
角度3 工程问题
64．（2023·吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
65．（2024·内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
角度4 最大利润问题
66．（2024·内蒙古呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
67．（2024·山东日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
角度5 方案设计问题
68．（2024·山东东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
69．（2023·四川）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
70．（2022·内蒙古通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
(1)分别求，关于的函数关系式；
(2)两图象交于点，求点坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
1．（2022·宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
2．（2024·甘肃临夏）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
4．（2023·湖北鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山东济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
6．（2020·浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大 B．
C．当时， D．关于，的方程组的解为
10．（2024·上海）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
11．（2024·西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
12．（2022·上海）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
13．（2021·湖北黄石）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1， 3)，则的值为 ．
14．（2022·江苏扬州）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ．
15．（2024·甘肃）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）．
16．（2024·江苏镇江）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
17．（2024·四川自贡）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ．
18．（2023·北京）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
19．（2023·浙江绍兴）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
20．（2024·四川眉山）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．
(1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
21．（2023·湖北武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
22．（2022·山东菏泽）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ．
23．（2020·四川）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
24．（2023·辽宁大连）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
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