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1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求；
当时，，图象一定经过，故B符合要求；
当时，，图象不经过，故C不符合要求；
当时，，图象不经过，故D不符合要求；
故选：B．
2．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴点与点关于原点对称，故正确；
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，故正确；
∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；
∵轴，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵点是的中点，
∴，故正确；
∴正确结论有个，
故选：．
4．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点，
∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
5．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
6．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
7．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：1（答案不唯一）．
8．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
【答案】四/
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴
∴
∴点在第四象限，
故答案为：四．
9．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
【答案】180
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可．
【详解】解：把，代入，得，
解得，
故答案为：180．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，
∵，
∴，
∴设，则，
∴点，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∴（负值已舍），则点，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点，
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：8．
11．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标；
（2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．
【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）得，代入，
得，
∴，
∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得，
∴直线的解析式为．
13．如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；
（2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可．
【详解】（1）解：将代入得
将代入得
将和代入得
解得
故反比例函数和一次函数的解析式分别为和；
（2）如图，过作轴于，过作轴于，
即
设，则，
解得（舍去）或
经检验，是原分式方程的解，
．
14．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
15．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．
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1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
7．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
8．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
9．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．
11．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
12．如图，△AOB是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
13．如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标．
14．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
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第三讲 反比例函数的图象与性质
教材知识 中考考点 课标要求
反比例函数的图象与性质 1.反比例函数图象上点的坐标特征 结合具体情境体会反比例函数的意义；能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能画反比例函数的图象，根据图象和解析式探索并理解和时图象的变化情况；
2.反比例函数的增减性
3.反比例函数的图象共存
4.反比例函数解析式的确定
5.反比例函数中比例系数的几何意义
反比例函数的实际应用 6.反比例函数的实际应用 能用反比例函数解决简单实际问题；
命题点1 反比例函数的概念及解析式
反比例函数的概念：一般地，形如的函数，叫作反比例函数.其中是自变量，是比例系数.
反比例函数解析式的三种形式：
（1） ； （2）； （3） .
【要点解读】
① 自变量的取值范围是不等于0的一切实数；
② 在反比例函数解析式中,分母是含的一次单项式,如不是反比例函数；
1．（2024·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求；
当时，，图象一定经过，故B符合要求；
当时，，图象不经过，故C不符合要求；
当时，，图象不经过，故D不符合要求；
故选：B．
2．（2024·陕西西安）下列各式中，y是x的反比例函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或为常数，．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可．
【详解】解：A．，
一定是的反比例函数，故此选项符合题意；
B．，
是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意；
C．
是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D．
不是的反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
（2024·全国）若函数是反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，，
解得．
故答案为：
（2024·云南）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
（2024·北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故答案为：0．
命题点2 反比例函数的图象与性质
的取值范围
图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即，
增减性 在每个象限内，随增大而减小 在每个象限内，随的的增大而增大
对称性 关于直线和成轴对称;关于原点中心对称
【要点解读】
①反比例函数的图象不是连续的,其增减性只能在每个象限内讨论；
②在同一直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关于原点对称.
6．（2023·湖北武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象经过点，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．的图象位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图象与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图象经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
7．（2024·广西）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案．
【详解】解： 点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，，
．
故选：A．
8．（2024·山东济宁）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
（2024·内蒙古包头）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案．
【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，
时，，
，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，
．
故答案为：．
（2024·陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0.)(填“>”“<”或“=”)
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可．
【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
命题点3 确定反比例函数的解析式
方法：待定系数法（常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见命题4知识点）.
步骤（下表以确定以点A（2,4）的反比例函数解析式为例）：
步骤 具体内容 示例
设 设反比例函数的解析式 设解析式为
代 把点的坐标代人解析式 代入坐标，得
解 解方程，求出k的值 解方程，得k=8
定 确定函数解析式 解析式为
角度1 直接代点的坐标型
11．（2024·重庆）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可．
【详解】解：把代入，得
．
故选C．
12．（2023·湖北宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
13．（2023·河北）如图，已知点，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图象过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图象过时，；
当反比例函数图象过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
14．（2024·贵州）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴函数图象位于第一、三象限，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴，
∴．
角度2 求点的坐标代入型
15.（2024·安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
16.（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则 ．
【答案】
【分析】作交于点，根据题意可得，由点为的中点，可得，在 中，通过解直角三角形可得，从而得到点，代入函数解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于点，
，
，，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
17.（2023·江苏徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
【答案】4
【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．
【详解】解：∵轴于点轴于点，
∴点P的横纵坐标相同，
∴可设点P的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．
命题点4 反比例函数中k的几何意义
如右图，过反比例函数图象上一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线PM,PN，
垂足分别为M，N，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM×PN=|y|×|x|=|xy|=|k|
2、反比例函数图象与比例系数k有关的面积模型
模型 内容 图示 面积
一点一垂线 过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上两点围成的平行四边形
两点一垂线 过反比例函数与正比例函数图象的一个交点作某一坐标轴的垂线，与另一交点围成的三角形
两点两垂线 过反比例函数与正比例函数图象的两个交点分别作坐标轴的垂线，两垂线交于一点，这三个点围成的三角形
两曲一平行 两个比例系数的符号相同的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与原点围成的三角形
两个比例系数的符号相反的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与和该直线平行的坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
模型 内容 图示 面积
一点一垂线 过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上两点围成的平行四边形
两点一垂线 过反比例函数与正比例函数图象的一个交点作某一坐标轴的垂线，与另一交点围成的三角形
两点两垂线 过反比例函数与正比例函数图象的两个交点分别作坐标轴的垂线，两垂线交于一点，这三个点围成的三角形
两曲一平行 两个比例系数的符号相同的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与原点围成的三角形
两个比例系数的符号相反的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与和该直线平行的坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
18．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（2024·黑龙江牡丹江）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
B． C． D．
答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．
【详解】过点E作，则，
∴，
∴
设，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
故选D
20．（2024·内蒙古通辽）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
21．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
22．（2023·江苏连云港）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．
【答案】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴的面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．（2023·四川达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，首先联立求出，，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，最后将代入求解即可．
【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，
∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
∴联立，即，
∴解得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴解得，，
∴点C的坐标为，
∴将代入得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24．（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．
【答案】24
【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，则点D到的距离为a，
∵为的直径，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
25．（2022·山东东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
命题点5 反比例函数的实际应用
反比例函数实际应用题的解题步骤：
（1）审题，明确变量之间的数量关系；
（2）根据数量关系确定反比例函数的解析式；
（3）根据题意确定自变量的取值范围；
（4）根据反比例函数的性质解决相应问题；
（5）对答案进行检验，符合题意后作答.
26．（2024·河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴，
∴，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
27．（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
28．（2024·江苏南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可．
【详解】解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
（2024·江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
30．（2023·浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【答案】20
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
31.（2023·江苏扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
【答案】
【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设，
∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴时，随着的增大而减小，
当时，，
∴当时，，
即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键．
32．（2024·吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
命题点6 反比例函数与几何图形的综合应用
33.（2024·四川宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
34．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
35．（2024·山东德州）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解．
【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ，
∵轴，
∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，
∴点B的坐标为，点D的坐标为，
∵，，
∴ ，
解得 ，
∵与的距离为5，
∴ ，
把代入中，得：
，
即，
解得：，
故选：D．
36．（2024·河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴反比例函数的图象经过，，，
画图如下：
（3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当时，，
解得，
∴平移距离为．
37．（2024·江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为，
设反比例函数表达式为，
将代入，得：，解得，
因此反比例函数表达式为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点D，
由图可得，，
设点C的坐标为，则，，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即，
解得或，
点C在第二象限，
，，
点C坐标为．
命题点7 反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数的交点问题，一般分以下两种情况考查：
利用交点坐标求函数表达式：若题目直接给出交点的坐标或通过其他条件能求出交点的坐标，则可以把交点坐标代入函数表达式，利用待定系数法得方程或方程组,进而求出表达式；
（2）利用函数表达式求交点坐标：题目给出函数表达式或通过其他特殊点的坐标求出表达式，则可以联立函数表达式，求出交点坐标，进而可以解决其他与交点坐标相关的问题.
38.（2024·安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
39．（2024·四川泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
40．（2024·黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
41．（2024·山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，当或时，，
∴满足的的取值范围为或，
故答案为：或．
42．（2024·湖北）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可；
（2）根据题意，列出不等式，解答即可．
【详解】（1）解：把点坐标代入得：，
解得，
直线解析式为，
把点坐标代入直线解析式得，
解得，
把点坐标代入反比例函数解析式得：，
解得，
（2）∵
反比例函数解析式为，
的面积小于的面积，
，即，
点在反比例函数图象上，且在第一象限，
，
．
43．（2024·甘肃）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
命题点8 反比例函数的综合应用
角度1 直接利用公式求面积
44．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图象求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答；
（2）根据函数图象确定不等式的解集即可；
（3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
角度2 利用平行线进行等积转化
45．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求△的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
由题意得：，
∴同底等高，
．
角度3 利用铅垂线求面积
46．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【答案】(1)，
(2)点P坐标为或；
(3)Q点坐标为或
【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答．
（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
【详解】（1）解：依题意把代入，得出
解得
把代入中，得出
∴
则把和分别代入
得出
解得
∴；
（2）解：记直线与直线的交点为
∵
∴当时，则
∴
∵P是直线上的一个动点，
∴设点，
∵的面积为21，
∴
即
∴
解得或
∴点P坐标为或；
（3）解：由（1）得出
∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为
如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得（负值已舍去）
经检验是原方程的解，
∴Q点坐标为
如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
1．（2024·天津）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
【详解】解：，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，，
．
∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴.
故选：B．
2．（2024·浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
3．（2023·内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当时，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；
②当时，，
一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．
4.（2024·黑龙江绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，
∵四边形是平行四边形，点，，，
∴，
∴，即，则，
∵轴，轴，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案为：．
5．（2024·四川遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
【答案】四/
【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴
∴
∴点在第四象限，
故答案为：四．
6．（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且
∴
设，则
∵
∴
则
∵点在第一象限
∴
把代入得
∴
经检验：都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
故答案为：．
8．（2024·西藏）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
9．（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
10．（2024·江苏镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图象交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标．
（1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）解：当时，，
，
四边形是正方形，
，
当在反比例函数的图象右半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
当在反比例函数的图象左半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
综上的坐标为或．
11．（2024·山东淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【详解】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故选：C
12.（2024·四川雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解；
（３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为，
∴，．
∴，，
∴；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．
∵与关于y轴对称，
∴为．
又，设的解析式为，
则，解得，
∴直线为．
令，则．
∴．
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第三讲 反比例函数的图象与性质
教材知识 中考考点 课标要求
反比例函数的图象与性质 1.反比例函数图象上点的坐标特征 结合具体情境体会反比例函数的意义；能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能画反比例函数的图象，根据图象和解析式探索并理解和时图象的变化情况；
2.反比例函数的增减性
3.反比例函数的图象共存
4.反比例函数解析式的确定
5.反比例函数中比例系数的几何意义
反比例函数的实际应用 6.反比例函数的实际应用 能用反比例函数解决简单实际问题；
命题点1 反比例函数的概念及解析式
反比例函数的概念：一般地，形如的函数，叫作反比例函数.其中是自变量，是比例系数.
反比例函数解析式的三种形式：
（1） ； （2）； （3） .
【要点解读】
① 自变量的取值范围是不等于0的一切实数；
② 在反比例函数解析式中,分母是含的一次单项式,如不是反比例函数；
1．（2024·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安）下列各式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国）若函数是反比例函数，则 ．
4．（2024·云南）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
5．（2024·北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
命题点2 反比例函数的图象与性质
的取值范围
图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即，
增减性 在每个象限内,随增大而减小 在每个象限内,随的的增大而增大
对称性 关于直线和成轴对称;关于原点中心对称
【要点解读】
①反比例函数的图象不是连续的,其增减性只能在每个象限内讨论；
②在同一直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关于原点对称.
6．（2023·湖北武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象经过点，则
7．（2024·广西）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东济宁）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·内蒙古包头）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
10．（2024·陕西）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0.)(填“>”“<”或“=”)
命题点3 确定反比例函数的解析式
方法：待定系数法（常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见命题4知识点）.
步骤 具体内容 示例
设 设反比例函数的解析式 设解析式为
代 把点的坐标代人解析式 代入坐标，得
解 解方程，求出k的值 解方程，得k=8
定 确定函数解析式 解析式为
步骤（下表以确定以点A（2,4）的反比例函数解析式为例）：
角度1 直接代点的坐标型
11．（2024·重庆）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
12．（2023·湖北宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·河北）如图，已知点，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
14．（2024·贵州）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
角度2 求点的坐标代入型
15.（2024·安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
16.（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则 ．
17.（2023·江苏徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
命题点4 反比例函数中k的几何意义
如右图，过反比例函数图象上一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，
垂足分别为M，N，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM×PN=|y|×|x|=|xy|=|k|
2、反比例函数图象与比例系数k有关的面积模型
模型 内容 图示 面积
一点一垂线 过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
过反比例函数图象上一点作某一坐标轴的垂线，与另一坐标轴上两点围成的平行四边形
两点一垂线 过反比例函数与正比例函数图象的一个交点作某一坐标轴的垂线，与另一交点围成的三角形
两点两垂线 过反比例函数与正比例函数图象的两个交点分别作坐标轴的垂线，两垂线交于一点，这三个点围成的三角形
两曲一平行 两个比例系数的符号相同的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与原点围成的三角形
两个比例系数的符号相反的反比例函数的图象和平行于x轴(或y轴)的直线的两个交点与和该直线平行的坐标轴上一点(含原点)围成的三角形
18．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2024·黑龙江牡丹江）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·内蒙古通辽）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
21．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
22．（2023·江苏连云港）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．
23．（2023·四川达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．
24．（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．
25．（2022·山东东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
命题点5 反比例函数的实际应用
反比例函数实际应用题的解题步骤：
（1）审题，明确变量之间的数量关系；
（2）根据数量关系确定反比例函数的解析式；
（3）根据题意确定自变量的取值范围；
（4）根据反比例函数的性质解决相应问题；
（5）对答案进行检验，符合题意后作答.
26．（2024·河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
27．（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
28．（2024·江苏南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
第28题图 第30题图
29．（2024·江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
30．（2023·浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
31．（2023·江苏扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
32．（2024·吉林）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
命题点6 反比例函数与几何图形的简单综合
33.（2024·四川宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
35．（2024·山东德州）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ）
B．1 C．5 D．6
36．（2024·河南）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
37．（2024·江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
命题点7 反比例函数与一次函数的简单综合
反比例函数与一次函数的交点问题,一般分以下两种情况考查：
（1）利用交点坐标求函数表达式：若题目直接给出交点的坐标或通过其他条件能求出交点的坐标，则可以把交点坐标代入函数表达式，利用待定系数法得方程或方程组，进而求出表达式；
（2）利用函数表达式求交点坐标：题目给出函数表达式或通过其他特殊点的坐标求出表达式，则可以联立函数表达式，求出交点坐标,进而可以解决其他与交点坐标相关的问题.
38.（2024·安徽）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
39．（2024·四川泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
40．（2024·黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
41．（2024·山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ．
42．（2024·湖北）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
43．（2024·甘肃）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
命题点8 反比例函数的综合应用
角度1 直接利用公式求面积
44．（2024·山东泰安·中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
角度2 利用平行线进行等积转化
45．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求△的面积．
角度3 利用铅垂线求面积
46．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
1．（2024·天津）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3.（2023·内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
5．（2024·四川遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
6．（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
8．（2024·西藏）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
9．（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
10．（2024·江苏镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图象交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
11．（2024·山东淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
12.（2024·四川雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
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