云南省玉溪市玉溪市一中2024-2025学年高二下学期3月月考试题 数学（含解析）

玉溪一中高2026届高二下学期月考试卷
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ）
A．49 B．56 C．63 D．112
3．玉溪市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为R，其导函数满足，则
A. B. C. D.
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点B的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在处的瞬时变化率为3，则
B. 当时，函数在区间上的最小值为1
C. 若在R上单调递增，则
D. 当时，函数图象的对称中心是
10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，取得最大值
C．D．使得成立的最大自然数是17
11．如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．抛物线的焦点坐标是.
13．已知数列满足且则的通项公式．
14. 若曲线有两条过坐标原点切线，则a的取值范围是________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积.
16.（15分）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求在上的最大值．
17．（15分）已知椭圆经过点
(1)求的方程和离心率；
(2)若过点A且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积．
18．（17分）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求和；
(2)求和；
(3)设,求数列的前项和．
19.（17分） 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
（1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
（2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；
（3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.
玉溪一中高2026届高二下学期月考试卷
数 学
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以.故选：B
2.【答案】B
【详解】∵，∴.故选：B.
3.【答案】C
【详解】根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为6，
甲乙在同一组包含基本事件总数为2，其概率为，
其对立事件：“甲、乙不在同一组”
所以甲、乙不在同一组概率为.故答案为：C
4．【答案】B
【详解】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则由得到或,
故是的非充分条件；
由可得，故是的必要条件.故选：B
5．【答案】C
【详解】因为圆可化为，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线距离的最小值是.故选：C.
6.【答案】A
【详解】若恒成立，则，
，由，得；由，得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，故选：A
7.【答案】B
【详解】构造函数，R，则，所以函数为R上的减函数，则，即，所以，A错误，B正确；因为，所以，即，所以，C错误，因为,D错误．故选B.
8．【答案】B
【详解】因为是的中垂线，所以，，
若的周长与的周长之差为，
则，
即，①
又，所以，②
且，③
解①②③组成的方程组可得，
则双曲线的方程为.故选：B.
9. 【答案】BD
【详解】函数的定义域为R，求导得，
对于A，，解得，A错误；
对于B，当时，，
当或时，，当时，，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，，
函数在区间上最小值为，B正确；
对于C，在R上单调递增，则恒成立，，解得，C错误；
对于D，当时，，对称轴为，所以函数图像的对称中心是，D正确.故选：BD
10.【答案】ABC
【详解】因为等差数列中，
，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．故选：ABC
11．【答案】ABD
【详解】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
∴圆台的高，
∴圆台的体积，A正确.
B.由，，得，由得，.
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接，
∵为圆弧的中点，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确.
C.由得，，∴，
当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误.
D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线.
由得，，，∴，，
取中点，则，
∴，D正确.故选：ABD.
12.【答案】
【详解】由，得到，所以，
所以抛物线的焦点是.
13.【答案】 .
【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列，
即可得，所以.
故答案为：
14.【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
15.【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
16.【答案】(1)(2)
【详解】(1)函数的定义域为，则.
当时，，得，
当
(2)由（1）知，当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，.
综上所述，.
17．【答案】(1)，; (2)
【详解】（1）由题意得解得
所以的方程为．
的离心率为．
（2）由题意知直线的方程为，
联立得得或所以
观察可知是等腰三角形，且与轴平行，所以．
18.【答案】(1),; (2),;(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为.
当时，是方程的两根，
由韦达定理得，①
当时，是方程的两根，
由韦达定理得，②
由①②，解得；
（2）由（1）知，所以，
则，对于方程，
由韦达定理得，即，
（3），
所以
.
19.【答案】（1）；（2）； （3）.
【详解】(1)函数的导函数为，
因为函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以实数的取值范围是.
(2)函数的导函数为，
依题意，方程，即上有两个不等实根，
令，因此函数在上有两个不同零点，
则，解得或，
所以实数的取值范围是.
(3)函数的导函数为，
因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程，显然，所以上恰有一个实根，
令，求导得，
由，得；由，得且，，
于是函数在上单调递减，恒成立，函数的取值集合是；函数在上单调递减，函数的取值集合是；
函数在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图，
当时，直线与函数的图象有唯一公共点，即方程恰有一个实数根，从而，
所以b的取值范围为.
(
1
)