2025年中考数学复习--第 45 讲 几何变换与范围、最值、路径长（含答案）

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第 45 讲 几何变换与范围、最值、路径长
典例精练
【例1】 (2024凉山)如图,P是直线y=x+4上的一个动点,⊙M的圆心为M(4,0),半径为2.过点 P 作⊙M的切线，切点为Q，则 PQ的最小值为 .
【例2】 如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=1,∠AOB=90°,则点O所经过的路径的长是 .
针对训练
1.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2,∠AOB=45°,则点O所经过的路径的长是( )
A.2π+2 B.3π C. π/
2.(2024武汉)如图,AB是⊙O的直径,AB=4,C是上半圆AB的中点,D是下半圆AB上一个动点，过点A作CD 的垂线，垂足为E，则点 D从点A 运动到点B 的过程中，点E 运动的路径长是( )
A.π C.2π
3.(2024烟台)如图,在 ABCD中,∠C=120°,AB=8,BC=10. E为边CD 的中点,F为边AD上的一动点,将△DEF 沿EF 翻折得△D'EF,连接AD',BD',则△ABD'面积的最小值为 .
4.如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm.若将绳子一端固定在点 B，绕圆锥侧面一周，另一端与点 B 重合，则这根绳子的最短长度是 .
5.(2024洪山)如图,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,CE⊥AB,AC=4,CE=4 ，点G在⊙O上运动(不与E重合)，点 F为GE 的中点，则CF的最大值为( )
B.6 D.8
6.(2024青山)如图,BC是⊙O的直径,弦AB=6,∠ABC=60°,D是下半圆 上一个动点，E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为( )
D.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是边BC上一个动点(点D不与点C重合).以CD为直径的圆交AD于点 P.若AC=6，线段BP 的长度的最小值是2，则AB的长为( )
A.8
8.(2024扬州)如图,已知两条平行线l ,l ,点A是l 上的定点,AB⊥l 于点B,点C,D分别是l ,l 上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB 于点E,BH⊥CD于点 H,则当∠BAH 最大时,sin∠BAH 的值为 .
9.(2024河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD 的垂线，交射线AD于点E.若CD=1，则AE 的最大值为 ，最小值为 .
10.(2024湖北)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是正方形ABCD内的动点,点 P是 BC上的动点,且∠EAB=∠EBC.连接AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为 .
第 45 讲 几何变换与范围、最值、路径长
典例精练
【例1】 (2024凉山)如图,P是直线y=x+4上的一个动点,⊙M的圆心为M(4,0),半径为2.过点 P 作⊙M 的切线，切点为 Q，则 PQ的最小值为2 ·
【例2】 如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=1,∠AOB=90°,则点O所经过的路径的长是 π .
针对训练
1.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2,∠AOB=45°,则点O所经过的路径的长是(C)
A.2π+2 B.3π C. π/2
2.(2024武汉)如图,AB是⊙O的直径,AB=4,C是上半圆AB的中点,D是下半圆AB上一个动点，过点A 作CD 的垂线，垂足为E，则点 D 从点A 运动到点B 的过程中，点E 运动的路径长是(B)
A.π C.2π
3.(2024烟台)如图,在 ABCD中,∠C=120°,AB=8,BC=10. E为边CD的中点,F为边AD 上的一动点,将△DEF沿EF 翻折得△D'EF,连接AD',BD',则△ABD'面积的最小值为
4.如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10 cm.若将绳子一端固定在点 B，绕圆锥侧面一周，另一端与点 B 重合，则这根绳子的最短长度是
5.(2024洪山)如图,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,CE⊥AB,AC=4,CE=4 ,.点G在⊙O上运动(不与E重合)，点F为GE 的中点，则CF的最大值为(B)
B.6 D.8
6.(2024青山)如图,BC是⊙O的直径,弦AB=6,∠ABC=60°,D是下半圆BC上一个动点,E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为(A)
D.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是边 BC上一个动点(点D不与点C重合).以CD为直径的圆交AD于点 P.若AC=6，线段BP的长度的最小值是2，则AB的长为(D)
A.8
8.(2024扬州)如图,已知两条平行线l ,l ,点A是l 上的定点,AB⊥l 于点B,点C,D分别是l ,l 上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB 于点E,BH⊥CD于点 H,则当∠BAH 最大时,sin∠BAH 的值为 .
9.(2024河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD 绕点C在平面内旋转，过点B作AD 的垂线，交射线AD于点E.若CD=1，则AE的最大值为 最小值为
10.(2024湖北)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是正方形ABCD 内的动点,点 P是BC上的动点,且∠EAB=∠EBC.连接AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为