2025年中考数学复习--第 38 讲 弧长和扇形（含答案）

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第 38 讲 弧长和扇形
典例精练
【例1】 如图，A，B，C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求 的长.
【例2】 如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC 的中点，腰AB 与⊙O相切于点 D.若BC=12,∠BAC=120°,求图中阴影部分的面积.
针对训练
1.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，格点 A、B、C分别位于扇形的两条半径和弧上，每个方格的边长为1，则 的长为 .
2.(2024齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm.
3.家具厂把如图所示的直径为1m 的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC=90°,，则扇形家具部件的面积为( )
4.(2023宜宾)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB 的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： 当OA=4,∠AOB=60°时，则l的值为( )
5.如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB 于C，D两点，弦AF切小半圆于点E.已知OA=2，OC=1，则图中阴影部分的面积是( )
6.(2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是l 的中点，过点C作AD 的垂线，垂足为点 E，若AD=2CE,OA= ，则阴影部分的面积为 .
7.(2024江苏)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若 ，则花窗的周长(图中实线部分的长度)= (结果保留π).
8.(2024武汉三调)如图，AB是半圆O的直径，D是BC的中点，过点D作AC 的垂线，垂足为E，交AB的延长线于点 F.
(1)求证:EF 是半圆O的切线;
(2)若BF=2,∠F=30°,求阴影部分的面积.
第 38 讲弧长和扇形
典例精练
【例1】 如图,A,B,C三点在半径为1的⊙O上,四边形ABCO是菱形,求AC的长.
解:连接OB,则OA=OB=OC.∵四边形ABCO是菱形,∴OA=AB=BC=OC=OB.
∴△AOB,△COB都为等边三角形.∴∠AOB=∠COB=60°.∴∠AOC=120°.
∴AC的长为
【例2】 如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC 的中点，腰AB与⊙O相切于点D.若BC=12,∠BAC=120°,求图中阴影部分的面积.
解:连接OA,OD,过点O作OE⊥AC于点E.
∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵O为BC的中点,BC=12,∴OB=OC=6,OA⊥BC.
同理
针对训练
1.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，格点 A、B、C分别位于扇形的两条半径和弧上，每个方格的边长为1，则EF的长为
2.(2024齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm.
3.家具厂把如图所示的直径为1m 的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC=90°,则扇形家具部件的面积为(C)
4.(2023宜宾)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以点O为圆心，OA 为半径的圆弧，N是AB 的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： 当OA=4,∠AOB=60°时,则l的值为( B)
5.如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB 于C，D两点，弦AF切小半圆于点E.已知OA=2，OC=1，则图中阴影部分的面积是(A)
6.(2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是 的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点 E，若AD=2CE,OA= ，则阴影部分的面积为
7.(2024江苏)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若. 则花窗的周长(图中实线部分的长度)= 8π (结果保留π).
8.(2024武汉三调)如图，AB是半圆O的直径，D是BC的中点，过点D作AC 的垂线，垂足为E，交AB 的延长线于点F.
(1)求证:EF 是半圆O的切线;
(2)若BF=2,∠F=30°,求阴影部分的面积.
解:(1)证明:连接OD,CO.
∵D是BC的中点, 又∵
∴∠BOD=∠CAB.∴AE∥DO.又∵AE⊥EF,∴∠ODF=∠E=90°.
∵OD为半圆O的半径，∴EF 是半圆O的切线.
(2)设⊙O的半径为r. ∵∠F=30°,∠ODF=90°,∴FO=2DO,即r+2=2r,解得r=2.
∵∠E=90°,∠F=30°,∴∠A=60°,∴∠BOC=120°.
∵AF=2r+2=6.∴AE=3,EF=3