2025年中考数学复习--第 19讲 平行四边形的基础知识（含答案）

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第 19讲 平行四边形的基础知识
典例精练
【例1】 (2024武汉)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形(不需要说明理由).
【例2】 (2023长沙)如图,在□ABCD中,DF平分 ,交 BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求 BF 的长和 的面积.
针对训练
1.(2024贵州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB
2.如图,平行四边形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是CD 的中点,则△DEO与△BCD的面积的比等于()
A. B. C. D.
3.(2024四川)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2023泸州)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB 相交于点 P,E是PD的中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，点 F在DE 的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A.∠B=∠F B. DE=EF C. AC=CF D. AD=CF
6.如图,在平行四边形ABCD中,过点 D 作DE⊥AB,垂足为E,过点 B作BF⊥AC,垂足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
7.(2024浙江)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2 .过点A作BC的垂线交BC于点E，记BE的长为x，BC的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
A. x+y B. x-y C. xy
8.(2024广州)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2,点E在DA 的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
9.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以点A,C为圆心,大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为 .
10.如图,在四边形ABCD中, 点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别是DM，MN的中点，则EF的长度的最大值为 .
11.(2024广安)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 .
12.如图,在△ABC中,D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF,连接BE.求证：
(1)△ADF≌△BEF;
(2)四边形BCDE 是平行四边形.
13.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形.
14.(2023南充)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.求证:
(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
15.(2024湖南)如图,在四边形ABCD中, 点E 在边 AB上, .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE为平行四边形；
(2)若 求线段AE的长.
16.(2023杭州)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点 E,F在对角线BD上，且 连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若 的面积等于2，求 的面积.
第 19讲 平行四边形的基础知识
典例精练
【例1】 (2024武汉)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形(不需要说明理由).
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)添加AF=BE(答案不唯一).
【例2】 (2023长沙)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB 的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADF.∴∠ADF=∠F,∴AD=AF.
(2)∵AD=6,∴AF=6.∴BF=AF-AB=6-3=3.
过点D作DH⊥BA,交BA的延长线于点H,∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°.∴DH=6× =3
针对训练
1.(2024贵州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是(B)
A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB D. AC⊥BD
2.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是CD 的中点,则△DEO与△BCD的面积的比等于(B )
A. B. C. D.
3.(2024四川)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2023泸州)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB 相交于点 P,E是PD 的中点,若AD=4,CD=6,则 EO的长为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE 的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(B)
A.∠B=∠F B. DE=EF C. AC=CF D. AD=CF
6.如图,在平行四边形ABCD中,过点 D 作DE⊥AB,垂足为E,过点 B作BF⊥AC,垂足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为(B )
A.4 B.3 C. D.2
7.(2024浙江)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2 .过点A作BC的垂线交 BC于点E，记BE的长为x，BC的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(C)
A. x+y B. x-y C. xy
8.(2024广州)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2,点E在DA 的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= 5 .
9.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以点A,C为圆心,大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为 10 .
10.如图,在四边形ABCD中, 点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点 B重合)，点E，F分别是DM，MN的中点，则EF的长度的最大值为 3 .
11.(2024广安)如图,在平行四边形ABCD中, 点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为
12.如图,在△ABC中,D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使. 连接BE.求证：
(1)△ADF≌△BEF;
(2)四边形 BCDE是平行四边形.
证明:(1)∵F是AB的中点,∴AF=BF.
在△ADF和△BEF中:
(2)∵D,F分别为边AC,AB的中点,∴DF∥BC,即
∴四边形 BCDE是平行四边形.
13.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF 相交于点O,且. CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF.请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠FAO=∠ECO,∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中
(2)答案不唯一,如:添加EF⊥AC.∵△AOF≌△COE,∴OF=OE.
∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF为菱形.
14.(2023南充)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.求证:
(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠DAF=∠BCE.
在△ADF和△CBE中:
∴△ADF≌△CBE(ASA).∴AF=CE.
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.
(2)∵△ADF≌△CBE,∴∠AFD=∠CEB.∴BE∥DF.
15.(2024湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解:(1)选择①,
证明:∵∠B=∠AED,∴DE∥CB,
∵AB∥CD,∴四边形 BCDE为平行四边形.
选择②，
证明:∵AE=BE,AE=CD,∴CD=BE,
∵AB∥CD,∴四边形 BCDE为平行四边形.
(2)由(1)得DE=BC=10,
∵AD⊥AB,AD=8,
16.(2023杭州)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点 E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,OE=OB-BE,OF=OD-DF,∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)设
由(1)得四边形AECF 为平行四边形，