北师大版数学八年级下册4.3公式法（平方差公式 完全平方公式 十字相乘法）课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
4.3 公式法
平方差公式 完全平方公式 十字相乘
多项式与整式积有什么关系？
我们已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法:
当m=a－b时， ma+mb=m(a+b) 会变成什么呢？
平方差公式：
问题1
多项式
整式积
整式乘法
因式分解
问题2
问题3
a2－b2
(a+b)(a－b)
整式乘法
因式分解
ma+mb
m(a+b)
整式乘法
因式分解
整体思想
问题导入
这样，我们就得到了－因式分解的方法：
结论：我们可以将 作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做___________.
公式法
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
公式左边：
1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
公式右边：
两项整式的和与两项整式的差的乘积的形式
a2－b2 =(a+b)(a－b)
a2－b2 =(a+b)(a－b)
平方差公式左右两边有什么特征？
问题4
新知探究
例1 判断下列各式能否用平方差公式因式分解？若能，请因式分解。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
不能转化为平方差形式
不能转化为平方差形式
公式法分解因式步骤：
第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b
第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式
(6)
=
当首项前有负号时.
第一步，连同符号交换位置.
=
=
=
新知探究
例2 把下列各式因式分解:
(1) ；
还可以继续分解
(2)
还可以继续分解
分解步骤：
新知探究
提公因式法:
平方差公式：
a +2ab+b
(a+b)
整式乘法
因式分解
a2－b2
(a+b)(a－b)
整式乘法
因式分解
ma+mb
m(a+b)
整式乘法
因式分解
令a=x+p;
b=x+q
整体思想
令m=a-b
令a-b=m
类比思想
令m=a+b
令a+b=m

完全平方公式：
令x+p=a;
x+q=b
如何使ma+mb=m(a+b) 变成完全平方公式？
形式： － =( + )( － )


总结升华
我们把a +2ab+b 和a －2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
形式： ±2 + =( + )


完全平方式有什么特征？
问题5
新知探究
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
练习1：对照 a ±2ab+b =(a±b) 填空
m
m - 3
3
x
2
m
3
练习2：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ; （3）4b2+4b-1;
（4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. (6)
是
（2）因为它只有两项；
不是
不是
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
（3）4b 与-1的符号不统一；
是
新知探究
(3)3ax2+6axy+3ay2 (4)－x2－4y2＋4xy
原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
方法：有公因式先提出公因式，再进一步分解因式；
当首项的二次项系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数；
原式＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝ －(x－2y)2
例3 把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49 （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9
原式＝ x2＋ 2·x·7 ＋72
＝ (x＋7) 2
原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32
＝(m＋n－3)2
整体思想
新知探究
例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1
＝(xy＋1)2
多项式既不是两项也不是三项怎么办？
问题6
凑成两项或者三项（可能需要不断试错）
新知探究
1.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
6.因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2 (2) (a2＋4)2－16a2
(3) y2+2y+1－x2 （4）4x2y－4xy2－x3
2.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为 .
-21
4.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.
4
5.已知-4=-15,求值.
变式应用
7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)
当4m+n=40，2m-3n=5时，
8.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
变式应用
9.(1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98
∵n为整数
∴(2n+1)2-25能被4整除
∴992-1能否被100整除
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2)
变式应用
1.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影=（1002-992）+（982-972）+…+（22-12）
=100+99+98+97+…+3+2+1
=5050（cm2）
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2
开放拓展
提公因式法:
平方差公式：
a +2ab+b
(a+b)
整式乘法
因式分解
a2－b2
(a+b)(a－b)
整式乘法
因式分解
ma+mb
m(a+b)
整式乘法
因式分解
令a=x+p;
b=x+q
整体思想
令m=a-b
令a-b=m
类比思想
令m=a+b
令a+b=m

完全平方公式：
令x+p=a;
x+q=b
形式： － =( + )( － )


±2 + =( + )


总结升华
类比 23×12的竖式乘法 ， 若将数字替换为代数式，如 (2x+3)(x+2)，能否用类似方法计算
问题1
如何检验式的竖式乘法计算是否正确？
问题2
数的竖式乘法 式的竖式乘法
用多项式乘法法则，即(2x+3)(x+2)=2x2+4x+3x+6=2x2+7x+6
问题导入
积的二次项系数2与两个因式的一次项系数有着怎样的关系？
问题3
如何得到积的常数项6？
问题4
积的二次项系数等于两个因式中一次项系数之积
(2x +3)
( x +2)
先交叉相乘，再相加
积的一次项系数7x是如何得到的？
问题5
积的常数项等于两个因式中常数项之积
(2 +3)
( 1 +2)
为了研究方便，一般略去字母
4x+3x =7x
2×2+1×3 =7
新知探究
例1 利用十字相乘法填空
(1) (x－ 5)(x＋6)= x2 ＋ x ＋ ;
(2) (2a－ 5)(a＋6)= a2 ＋ a ＋ ;
(3) (4m＋3)(2m－9)= m2 ＋ m ＋ ;
(4) (5x＋3y)(2x－y)= ＋ ＋ .
新知探究
两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？
问题6
x2 ＋ mx ＋10 = (x+ )(x+ )
横线： 1和10、 2和5、 -1和-10、 -2和-5
m: 11、 7、 -11、 -7
m的值与哪些因素有关？
问题7
4x2 ＋ mx ＋10 = ( x+2)( x+5)
两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？
问题8
横线： 1和4、 4和1、 -1和-4、 -2和-2、 ......
m: 13、 22、 -13、 -14、 ......
m的值与哪些因素有关？
问题9
与常数项10的分解有关
与二次项系数4的分解有关
新知探究
例2 利用十字相乘法分解因式
（1） x2 ＋ 5x － 14 （2）2a2－ 11a ＋15
二次项系数与常数项的分解必须满足什么条件
问题10
利用十字相乘法分解因式，你有哪些心得体会？
问题11
需要多尝试几次，有时不能一次成功
x2 － 9 与 x2 － 4x ＋4 能利用十字相乘法分解吗？
问题12
十字相乘法仍然适用于平方差式和完全平方式
在ax2 ＋ bx ＋c (a≠0)中，若a=,c=,
则b=
( )
( )
=b
新知探究
把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积.
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
问题13
a
b
a
b
a
ab
ab
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
mx
nx
p
q
同理，求长方形面积
问题14
新知探究
1.将下列多项式因式分解
(1) x2+6xy-16y2 (2) x4+13x2+36 (3) x2y2-7xy-18
(4) (a+b)2-4(a+b)+3 (5) x4-3x3 -28x2 (6) 2x2-7x+3
(7) 5x2+6xy-8y2
变式应用
1.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式、十字相乘等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
2.利用平方差公式分解因式的步骤：
（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式；
（2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，则用平方差公式继续分解因式。
3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
（“一提、二套、三检查”）
总结升华