抽象函数及解题技巧
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抽象函数与解题策略
上海南洋模范中学 熊晓东
2005年11月19日
（一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略
（1）什么是抽象函数？
那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？
抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数；对应的是对数函数等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。
抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。
（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？
面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
（二）高考中的抽象函数
（1）抽象函数在高考中的地位
函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。
（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视
一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题。在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点。
（3）具体地来看，抽象函数在历届高考中在哪些题型中出现过？
在最近五年的高考中，抽象函数可以出现在各种类型的题目中。例如，可以考抽象函数的填空题、选择题（2002年北京卷第11、12题，2003年上海卷第16题，2004年上海卷第5题，等等），还可以考抽象函数的解答题（2001年全国卷最后一题，2002年北京卷最后一题，2003年上海卷最后一题，2003年北京卷最后一题，2005年上海卷第21题，等等）。
（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区别吗？
有一定程度上的区别。全国卷中（特别是北京卷）经常会在最后一个大题考抽象函数，是非常典型的抽象函数性质的讨论、计算和证明，对于解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；上海卷中的抽象函数，特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。
（三）典型例题
例题1、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：；。求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。
证明：
已知
（1）
又
（2）
即f(x)是以40为周期的周期函数
由（1）式
由（2）式
即f(x)是奇函数
综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。
例题2、f(x)是定义在R上的函数，且，（f(x)≠0，1）。若f(1)=2，
求f(2005)的值．
解：
已知
∴f(x)是以4为周期的周函数，则
例题3、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数（定义：，，则成是定义域在D上的非减函数）。（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x－2)≥2成立，求x的取值范围。
解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1) f(1)=0
(2)由已知f(x)+f(x－2)=f(x2－2x) ≥2，又2=1+1=f(2) +f(2)=f(4)
f(x2－2x)≥f(4)
又f(x)为非减的函数
x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－
已知f(x)对x>0有意义，且x－2>0 x>2
例题4、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且
时。（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设，若，确定a 的范围。
（1）证明：
令
，已知时，
设，，
，即当x<0时f(x)>1
（2），则
f(x)在R 上单调递减。
（3）
f(x)在R上单调递减
（单位圆内部分）
（一条直线）
例题5、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。
解：令，得
令，得，又
令，得
令，得（※）即当y为正整数时，由，
，即对于一切大于1的正数t恒有
又由（※）式
下证明，当整数时，恒有：
，则
由（※）式即
同理可得
相加，即当整数时，恒有
综上所述，满足的整数只有
例题6、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)。(1)求证f(x)为奇函数；(2)若对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。
证明：(1)已知f (x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R) ①
令x=y=0，代入①式f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令，代入①式f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则0=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，则f(x)是奇函数。
(2)f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数
f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
对任意x∈R成立
分离系数：k·3＜-3+9+2
令，即u的最小值为
当时，不等式对任意x∈R恒成立
时，命题成立。
例题7、已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 。（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列的前n项的和。
解：（1）在中,令
.
在中,令
（2）已知
为奇函数。
（3） 由
,
………
猜测 .
下用数学归纳法证明。
1° 当n=1时，，原命题成立；
2°假设当n=k时，原命题成立，即，
那么当n=k+1时，
，原命题成立.
由可知，对任意都成立.
.
已知
.
例题8、设是定义在区间上的函数，且满足条件：(i)；(ii)对任意的，都有。
（1）证明：对任意的，都有；
（2）证明：对任意的，都有；
（3）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
。若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
（1）证明：
已知对任意的，有，
；
（2）证明：对任意的，
当时，，命题成立；
当时，由可知，不妨设
都有
综上所述，对任意的，都有；
（3）答：满足条件的函数不存在。
理由如下：
假设存在函数满足条件，
，①
又为奇函数
②
①，②矛盾，即假设不成立，所以，满足条件的函数不存在。
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上海南洋模范中学 熊晓东
2005年11月19日
（一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略
（1）什么是抽象函数？
那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？
抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数；对应的是对数函数等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。
抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。
（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？
面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
（二）高考中的抽象函数
（1）抽象函数在高考中的地位
函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。
（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视
一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题。在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点。
（3）具体地来看，抽象函数在历届高考中在哪些题型中出现过？
在最近五年的高考中，抽象函数可以出现在各种类型的题目中。例如，可以考抽象函数的填空题、选择题（2002年北京卷第11、12题，2003年上海卷第16题，2004年上海卷第5题，等等），还可以考抽象函数的解答题（2001年全国卷最后一题，2002年北京卷最后一题，2003年上海卷最后一题，2003年北京卷最后一题，2005年上海卷第21题，等等）。
（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区别吗？
有一定程度上的区别。全国卷中（特别是北京卷）经常会在最后一个大题考抽象函数，是非常典型的抽象函数性质的讨论、计算和证明，对于解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；上海卷中的抽象函数，特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。
（三）典型例题
例题1、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：；。求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。
证明：
已知
（1）
又
（2）
即f(x)是以40为周期的周期函数
由（1）式
由（2）式
即f(x)是奇函数
综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。
例题2、f(x)是定义在R上的函数，且，（f(x)≠0，1）。若f(1)=2，
求f(2005)的值．
解：
已知
∴f(x)是以4为周期的周函数，则
例题3、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数（定义：，，则成是定义域在D上的非减函数）。（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x－2)≥2成立，求x的取值范围。
解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1) f(1)=0
(2)由已知f(x)+f(x－2)=f(x2－2x) ≥2，又2=1+1=f(2) +f(2)=f(4)
f(x2－2x)≥f(4)
又f(x)为非减的函数
x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－
已知f(x)对x>0有意义，且x－2>0 x>2
例题4、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且
时。（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设，若，确定a 的范围。
（1）证明：
令
，已知时，
设，，
，即当x<0时f(x)>1
（2），则
f(x)在R 上单调递减。
（3）
f(x)在R上单调递减
（单位圆内部分）
（一条直线）
例题5、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。
解：令，得
令，得，又
令，得
令，得（※）即当y为正整数时，由，
，即对于一切大于1的正数t恒有
又由（※）式
下证明，当整数时，恒有：
，则
由（※）式即
同理可得
相加，即当整数时，恒有
综上所述，满足的整数只有
例题6、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)。(1)求证f(x)为奇函数；(2)若对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。
证明：(1)已知f (x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R) ①
令x=y=0，代入①式f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令，代入①式f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则0=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，则f(x)是奇函数。
(2)f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数
f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
对任意x∈R成立
分离系数：k·3＜-3+9+2
令，即u的最小值为
当时，不等式对任意x∈R恒成立
时，命题成立。
例题7、已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 。（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列的前n项的和。
解：（1）在中,令
.
在中,令
（2）已知
为奇函数。
（3） 由
,
………
猜测 .
下用数学归纳法证明。
1° 当n=1时，，原命题成立；
2°假设当n=k时，原命题成立，即，
那么当n=k+1时，
，原命题成立.
由可知，对任意都成立.
.
已知
.
例题8、设是定义在区间上的函数，且满足条件：(i)；(ii)对任意的，都有。
（1）证明：对任意的，都有；
（2）证明：对任意的，都有；
（3）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
。若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
（1）证明：
已知对任意的，有，
；
（2）证明：对任意的，
当时，，命题成立；
当时，由可知，不妨设
都有
综上所述，对任意的，都有；
（3）答：满足条件的函数不存在。
理由如下：
假设存在函数满足条件，
，①
又为奇函数
②
①，②矛盾，即假设不成立，所以，满足条件的函数不存在。
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