2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题20 解直角三角形(含解析)

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名称 2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题20 解直角三角形(含解析)
格式 docx
文件大小 2.2MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2025-03-31 20:59:41

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文档简介

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专题20 解直角三角形
一.选择题
1.(2025 滨海新区一模)计算tan60°的值等于(  )
A. B. C.1 D.
2.(2025 松江区一模)在△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
3.(2025 滨海新区模拟)式子2cos30°﹣tan45°的值是(  )
A.1﹣ B.0 C.﹣1 D.﹣
4.(2025 陇南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE的长为(  )
A.4 B. C. D.
5.(2025 镇海区校级模拟)在网格中,每个小正方形的顶点称为格点.如图,在4×4的网格中,点A、B、C都在格点上,那么∠BAC的正切值是(  )
A. B. C.2 D.
6.(2025 南宁一模)如图是厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架结构,已知AB=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是(  )
A.10sin36°米 B.10cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
7.(2024 日照)潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑,在其塔顶可俯视景区全貌.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度,测量方案如图所示:无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°,再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M,N,A,B在同一平面内),则潮汐塔AB的高度为(  )
(结果精确到1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)
A.41m B.42m C.48m D.51m
8.(2025 云南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,BC=6,AD=5,则∠CAD的正弦值为(  )
A. B. C. D.
9.(2024 沭阳县校级模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°,45°,60°角的三角函数值,现在来求tan22.5°的值:
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设AC=1,则BC=1,AB==BD,所以tan22.5°====﹣1.类比这种方法,计算tan15°的值为(  )
A.﹣ B.2﹣ C.+ D.﹣2
10.(2024 南山区校级三模)“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示,AC⊥BC,AC=3米,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米,冬至时的正午太阳高度角∠ABC=α,则夏至到冬至,影长差BD的长为(  )
A.(3sinα﹣1)米 B.米 C.(3tanα﹣1)米 D.米
二.填空题
11.(2024 哈尔滨)△ABC是直角三角形,AB=,∠ABC=30°,则AC的长为     .
12.(2025 泉州模拟)如图,某商场手扶梯的坡比为,已知扶梯的长AB为16米,则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为     .(单位:米)
13.(2025 长宁区一模)已知在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,那么∠BAC的正弦值等于     .
14.(2024 盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为     m.(精确到1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
15.(2024 梅县区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E,cosB=,则=    .
16.(2025 市中区校级一模)勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志,千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图“中,连接EG,DG.若正方形ABCD与EFGH的边长之比为:1,则cos∠DGE等于     .
三.解答题
17.(2025 敦化市一模)计算:2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°.
18.(2025 泗洪县一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,a=4,解这个三角形.
19.(2025 拱墅区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BD=5,.
(1)求CD的长.
(2)求tan∠ADE的值.
20.(2025 淮南一模)在如图的直角三角形中,我们知道sinα=,cosα=,tanα=,∴sin2α+cos2α=+===1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
(1)请你根据上面的探索过程,探究sinα,cosα与tanα之间的关系;
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题:已知α为锐角,且tanα=,求的值.
21.(2024 秦都区校级一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin∠ABC=,点D在边BC上,BD=4,连接AD,tan∠DAC=.
(1)求边AC的长;
(2)求tan∠BAD的值.
22.(2025 西湖区校级模拟)如图1,在水平地面上,一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2,此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m,∠CAB=60°;停止位置示意图如图3,此时测得∠CDB=37°(点C,A,D在同一直线上,且直线CD与平面平行,图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计,运动过程中绳子总长不变.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,)
(1)求AB的长;
(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m).
23.(2024 烟台)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25 sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan29°≈0.55 sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°=0.94 sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择     日(填冬至或夏至)时,α为     (填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
答案与解析
一.选择题
1.(2025 滨海新区一模)计算tan60°的值等于(  )
A. B. C.1 D.
【点拨】根据特殊角的三角函数值进行计算即可.
【解析】解:原式=,
故选:D.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
2.(2025 松江区一模)在△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
【点拨】根据锐角三角函数的定义即可求得答案.
【解析】解:已知∠C=90°,AB=3,AC=2,
则cosA=,
故选:D.
【点睛】本题考查锐角三角函数定义,熟练掌握其定义是解题的关键.
3.(2025 滨海新区模拟)式子2cos30°﹣tan45°的值是(  )
A.1﹣ B.0 C.﹣1 D.﹣
【点拨】把30°的余弦值、45°的正切值代入,计算即可.
【解析】解:2cos30°﹣tan45°
=2×﹣1
=﹣1,
故选:C.
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
4.(2025 陇南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE的长为(  )
A.4 B. C. D.
【点拨】先在Rt△ABC中求出AB、AD,再利用直角三角形的边角间关系设出DE、AE,最后利用勾股定理得到方程,求解后得结论.
【解析】解:在Rt△ABC中,
∵sinA==,BC=6,
∴AB=10.
∵D是AB的中点,
∴AD=AB=5.
在Rt△ADE中,
∵sinA==,
设DE=3x(x>0),则AE=5x.
∴AE2=DE2+AD2.
∴(5x)2=(3x)2+52.
解得x=.
∴DE=3x=.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键.
5.(2025 镇海区校级模拟)在网格中,每个小正方形的顶点称为格点.如图,在4×4的网格中,点A、B、C都在格点上,那么∠BAC的正切值是(  )
A. B. C.2 D.
【点拨】根据所给网格,连接BC得出BC与AC垂直,再结合正切的定义即可解决问题.
【解析】解:连接BC,如图所示,
则BC⊥AC.
令小正方形网格的边长为a,
则由勾股定理得,
BC=;
AC=.
在Rt△ABC中,
tan∠BAC=.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,通过连接BC构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键.
6.(2025 南宁一模)如图是厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架结构,已知AB=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是(  )
A.10sin36°米 B.10cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【点拨】先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC,然后在Rt△ABD中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【解析】解:∵AB=AC=10米,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
在Rt△ABD中,∠B=36°,
∴AD=AB sin36°=10sin36°(米),
故选:A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,等腰三角形的性质,熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键.
7.(2024 日照)潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑,在其塔顶可俯视景区全貌.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度,测量方案如图所示:无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°,再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M,N,A,B在同一平面内),则潮汐塔AB的高度为(  )
(结果精确到1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)
A.41m B.42m C.48m D.51m
【点拨】延长BA交MN于点C,根据等角对等边得出CN的长,得出CM的长,再结合tan∠AMC=≈0.40,即可得出结果.
【解析】解:如图,延长BA交MN于点C,
则∠ACN=90°,
由题意可知,BC=119m,MN=74m,
∵∠BNC=45°,∠BCN=90°,
∴CN=CB=119m,
∴CM=CN+MN=119+74=193(m),
∴tan∠AMC=≈0.40,
∴AC≈77.2m,
∴AB=BC﹣AC=119﹣77.2=41.8(m)≈42(m),
故选:B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
8.(2025 云南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,BC=6,AD=5,则∠CAD的正弦值为(  )
A. B. C. D.
【点拨】根据AD是BC边上的中线得到BD=3,再根据锐角的正弦值列式计算即可得解.
【解析】解:∵AD是BC边上的中线,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了解直角三角形,直角三角形斜边的中点,直角三角形斜边正确记忆相关知识点是解题关键.
9.(2024 沭阳县校级模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.我们已经知道30°,45°,60°角的三角函数值,现在来求tan22.5°的值:
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设AC=1,则BC=1,AB==BD,所以tan22.5°====﹣1.类比这种方法,计算tan15°的值为(  )
A.﹣ B.2﹣ C.+ D.﹣2
【点拨】仿照题例作等腰三角形,利用直角三角形的边角间关系计算得结论.
【解析】解:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,
延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°.
设AC=1,
则BA=BD=2,BC=.
∴CD=BC+BD=2+.
在Rt△ACD中,
tan15°=tanD===2.
故选:B.
【点睛】本题考查了解直角三角形,看懂题例,仿照题例作出辅助线是解决本题的关键.
10.(2024 南山区校级三模)“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示,AC⊥BC,AC=3米,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米,冬至时的正午太阳高度角∠ABC=α,则夏至到冬至,影长差BD的长为(  )
A.(3sinα﹣1)米 B.米 C.(3tanα﹣1)米 D.米
【点拨】根据垂直定义可得∠ACB=90°,然后在Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义求出BC的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
【解析】解:∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=3米,
∴BC==(米),
∵CD=1米,
∴BD=BC﹣CD=(﹣1)米,
∴影长差BD的长为(﹣1)米,
故选:D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,平行投影,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
二.填空题
11.(2024 哈尔滨)△ABC是直角三角形,AB=,∠ABC=30°,则AC的长为  2或  .
【点拨】分若∠A=90°,若∠C=90°求解即可.
【解析】解:若∠A=90°,则AC==2;
若∠C=90°,则AC=AB=.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,解题关键是分类讨论.
12.(2025 泉州模拟)如图,某商场手扶梯的坡比为,已知扶梯的长AB为16米,则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为  8米  .(单位:米)
【点拨】根据题意可得:∠ACB=90°,然后在Rt△ABC中,根据tan∠ABC=,从而可得∠ABC=30°,再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算,即可解答.
【解析】解:由题意得:∠ACB=90°,
∵商场手扶梯的坡比为,
∴==,
在Rt△ABC中,tan∠ABC==,
∴∠ABC=30°,
∵AB=16米,
∴AC=AB=8(米),
故答案为:8米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,准确熟练地进行计算是解题的关键.
13.(2025 长宁区一模)已知在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,那么∠BAC的正弦值等于    .
【点拨】如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点C作CK⊥AB于点K.利用勾股定理求出AH,再利用面积法求出CK可得结论.
【解析】解:如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点C作CK⊥AB于点K.
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=1,
∴AH===2,
∵CK⊥AB,
∴ BC AH= AB CK,
∴CK==,
∴sin∠BAC===.
故答案为:.
【点睛】本题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,解题的关键是学会利用面积法解决问题.
14.(2024 盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为  17  m.(精确到1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【点拨】令AB的延长线与PQ的延长线交于点C,先求出PC,从而得到QC,BC,再利用AB=AC﹣BC即可求出AB.
【解析】解:如图,令AB的延长线与PQ的延长线交于点C,
由题意,知AC=30m,PQ=26.6m,∠APC=37°,∠BQC=45°,
在Rt△APC中,
PC=≈=40(m),
∴QC=PC﹣PQ=40﹣26.6=13.4(m),
在Rt△BQC中,
BC=QC=13.4m,
∴AB=AC﹣BC=30﹣13.4=16.6≈17(m),
故答案为:17.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,理解题意,能熟练运用三角函数关系是解题的关键.
15.(2024 梅县区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E,cosB=,则=   .
【点拨】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,设BD=5x,AB=13x,根据勾股定理得到AD==12x,求得BC=2BD=10x,根据相似三角形的性质得到BE=x,CE=x,于是得到结论.
【解析】解:∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵cosB==,
设BD=5x,AB=13x,
∴AD==12x,
∴BC=2BD=10x,
∵CE⊥AB,
∴∠BEC=90°,
∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE,
∴,
∴=,
∴BE=x,CE=x,
∴===,
故答案为:.
【点睛】本题考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.
16.(2025 市中区校级一模)勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志,千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图“中,连接EG,DG.若正方形ABCD与EFGH的边长之比为:1,则cos∠DGE等于    .
【点拨】过点D作DN⊥GE,交GE的延长线于点N,设AF=BG=CH=DE=a,DF=AG=BH=CE=b,设正方形ABCD的边长为x,则正方形EFGH的边长为x,根据题意列方程组得到AG=DE=b=2x,AF=a=x,求得AD=DG=x,根据勾股定理得到EG===x,∠FEG=∠FGE=45°,根据三角函数的定义得到结论.
【解析】解:过点D作DN⊥GE,交GE的延长线于点N,
设AF=BG=CH=DE=a,DF=AG=BH=CE=b,
∵正方形ABCD与EFGH的边长之比为:1,
∴设正方形ABCD的边长为x,则正方形EFGH的边长为x,
∵AF2+DF2=AD2,DF﹣DE=EF,
∴,
解得,
∴AG=DE=b=2x,AF=a=x,
∴AG=2AF,
∵∠AFD=90°,
∴DF是AG的垂直平分线,
∴AD=DG=x,
∵∠EFG=90°,EF=FG=x,
∴EG===x,∠FEG=∠FGE=45°,
∴∠NED=∠FEG=45°,
在Rt△END中,NE=DE cos45°=x,
∴GN=EG+NE=x+x=x,
在Rt△DNG中,cos∠DGE===,
故答案为:.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
三.解答题
17.(2025 敦化市一模)计算:2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°.
【点拨】把特殊角的三角函数值代入进行计算,即可解答.
【解析】解:2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°
=2×﹣+×
=﹣+
=.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,准确熟练地进行计算是解题的关键.
18.(2025 泗洪县一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,a=4,解这个三角形.
【点拨】根据解直角三角形的步骤进行计算即可.
【解析】解:∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°.
又∵a=4,
∴c=8,
∴b=.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及含30度角的直角三角形,熟知解直角三角形的步骤是解题的关键.
19.(2025 拱墅区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BD=5,.
(1)求CD的长.
(2)求tan∠ADE的值.
【点拨】(1)根据垂直定义可得:∠DEB=90°,然后在Rt△DEB中,利用锐角三角函数的定义求出BE的长,从而利用勾股定理求出DE的长,最后利用角平分线的性质即可解答;
(2)利用(1)的结论可得:BC=9,然后在Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义求出AB的长,从而求出AE的长,最后在Rt△ADE中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【解析】解:(1)∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
在Rt△DEB中,BD=5,,
∴BE=DB cosB=5×=3,
∴DE===4,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC=4;
(2)∵BD=5,DC=4,
∴BC=CD+BD=9,
在Rt△ABC中,,
∴AB===15,
∵BE=3,
∴AE=AB﹣BE=15﹣3=12,
在Rt△ADE中,tan∠ADE===3.
【点睛】本题考查了解直角三角形,角平分线的性质,勾股定理,根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.
20.(2025 淮南一模)在如图的直角三角形中,我们知道sinα=,cosα=,tanα=,∴sin2α+cos2α=+===1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
(1)请你根据上面的探索过程,探究sinα,cosα与tanα之间的关系;
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题:已知α为锐角,且tanα=,求的值.
【点拨】(1)利用sinα=,cosα=,tanα=,即可得出sinα,cosα与tanα之间的关系;
(2)利用(1)中所求得出2sinα=cosα,进而代入原式求出即可.
【解析】解:(1)∵sinα=,cosα=,tanα=,
∴==,则tanα=;
(2)∵tanα=,
∴=,
∴2sinα=cosα,
∴==﹣.
【点睛】此题主要考查了同角三角函数关系,得出sinα,cosα与tanα之间的关系是解题关键.
21.(2024 秦都区校级一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sin∠ABC=,点D在边BC上,BD=4,连接AD,tan∠DAC=.
(1)求边AC的长;
(2)求tan∠BAD的值.
【点拨】(1)根据题意和锐角三角函数,可以求得AC的长;
(2)根据(1)中的结果,可以得到AC、CD的长,然后根据勾股定理可以得到AD的长,再根据等面积法可以求得DE的长,从而可以求得AE的长,然后即可得到tan∠BAD的值.
【解析】解:(1)设AC=3m,
∵BD=4,BC=CD+BD∠C=90°,sin∠ABC=,tan∠DAC=,
∴CD=2m,
∴4m=2m+4,
解得m=2,
∴AC=3m=6;
(2)作DE⊥AB于点E,
由(1)知,AB=5m=10,AC=6,BD=4,
∵,
∴,
解得DE=,
∵AC=6,CD=2m=4,∠C=90°,
∴AD==2,
∴AE===,
∴tan∠BAD=,
即tan∠BAD的值是.
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
22.(2025 西湖区校级模拟)如图1,在水平地面上,一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2,此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m,∠CAB=60°;停止位置示意图如图3,此时测得∠CDB=37°(点C,A,D在同一直线上,且直线CD与平面平行,图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计,运动过程中绳子总长不变.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,)
(1)求AB的长;
(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m).
【点拨】(1)解Rt△ABC即可求解;
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC=3m,解Rt△BCD求得BD=5m,由题意得,BC+AB=BE+BD,故BE=BC+AB﹣BD=6﹣2m,则CE=BC﹣BE≈2.7m.
【解析】解:(1)由题意得:∠BCA=90°,
∵AC=3m,∠CAB=60°,
在Rt△ABC中,由cos∠A=,
得:=cos60°=,
∴AB=6m;
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC==3(m),
在Rt△BCD中,sin∠CDB=,
∴sin37°==0.6,
∴BD=5m,
由题意得,BC+AB=BE+BD,
∴BE=BC+AB﹣BD=3+6﹣5=6﹣2(m),
∴CE=BC﹣BE=3﹣(6﹣2)=5﹣6≈2.7(m),
答:物体上升的高度约为2.7m.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是掌握锐角三角函数定义.
23.(2024 烟台)根据收集的素材,探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方,才能保证使用效果,否则不予安装.
素材二 某市位于北半球,太阳光线与水平线的夹角为α,冬至日时,14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76°. sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25 sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan29°≈0.55 sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°=0.94 sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01
素材三 如图,该市甲楼位于乙楼正南方向,两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米,甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起,每层楼高皆为3.3米.AE为某时刻的太阳光线.
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,应选择  冬至  日(填冬至或夏至)时,α为  14°  (填14°,29°,43°,76°中的一个)进行计算.
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算,确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器.
【点拨】任务一:根据题意直接求解即可;
任务二:过E作EF⊥AB于F,利用正切定义求得.
【解析】解:任务一:根据题意,要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板,只需α为冬至日时的最小角度,即α=14°,
故答案为:冬至,14°;
任务二:过E作EF⊥AB于F,则∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE,
在Rt△AFE中,,
∴AF=EF tan14°≈54×0.25=13.5(米),
∵AB=11×3.3=36.3(米),
∴DE=BF=AB﹣AF=36.3﹣13.5=22.8(米),
∴22.8÷3.3≈7(层),
答:乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能热水器.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,理解题意是解答的关键.
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