小升初数学专项提优训练：等差数列
一、等差数列（高斯求和）
1．数学家高斯用以下方法算出了答案。
你会用这种方法计算1+2+3+4+5+…+50吗？试试吧！
二、计算题
2．用简便方法计算。
（1）2＋4＋6＋8+…＋100
（2）100-99+98-97＋…＋2-1
3．（2022六下·竞赛）计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200
4．（2021五上·成都开学考）求和。
2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35
5．计算：
(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)
6．（2024·广州）6.03+6.06+6.09+6.12+…+7.95
7．（八中）计算：1- 3+6- 10+15 - 21+28 - ...+4950.
8．（2024.4.14·一外）
9．用合适的方法计算。
（1）125×80×11×250×4
（2）50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4
（3）2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024
（4）2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103
三、解决问题
10．求等差数列1，3，5，7，9，……的第15项和第100项。
11．胜利小学会议室有20排座位，第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位……这个会议室共有多少个座位？
12．有一串有规律的数：4、6、8、10、……、40，求这串数的平均数。
13．（2023·广州）在1~100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
14．（2022六下·竞赛）黑板上写有从1开始的一些连续奇数：
1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 。
15．妙妙在玩接福袋的游戏，接到一个福袋可获得1分，连续接到3个福袋之后可以获得积分加成，之后每多接一个福袋多加1分，若有2个福袋没接到则游戏结束，妙妙获得了26分，她接到了多少个福袋？
16．（2023.12.16·巴蜀）一队学生去果园摘苹果，第一个进果园的学生摘1个苹果，第二个学生摘2个苹果，第三个学生摘3个苹果…依此类推，后面的学生都比他前面的学生多摘1个苹果，这样恰好这队学生把果园的苹果摘完，最后平均每个学生摘6个苹果，这队学生多少人
.
答案解析部分
1．【答案】解：1+2+3+4+5+…+50
=(1+50)×(50÷2)
=51×25
=1275
【知识点】等差数列
【解析】【分析】题目要求用高斯求和法计算1到50的和。高斯的方法是将数列首尾配对，每对的和相等，再乘以对数。 需要确定配对后的和1+50=51以及配对的数量50÷2=25对，总和=配对的和×配对数量=51×25=1275.
2．【答案】（1）解：2＋4＋6＋8+…＋100
=（2＋98）＋（4＋96）＋（6＋94）＋······（48＋52）＋（50＋100）
=100×24＋150
=2400＋150
=2550
（2）解：100-99+98-97＋…＋2-1
=（100-99）＋（98-97）＋······＋（2-1）
=1×50
=50
【知识点】加减法中的巧算；等差数列
【解析】【分析】（1）首项是2，末项是100，公差为2，和=（首项＋末项）×项数÷2；
（2）根据符号的规律，按“＋－”进行分组，然后按规律计算即可。
3．【答案】解：项数=（200-105）÷5+1
=95÷5+1
=19+1
=20，
和=（105+200）×20÷2
=305×20÷2
=6100÷2
=3050。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】设首项为a1 ，末项为an，项数为n ，公差为d ，an=a1+（n-1）d，前n项和为Sn ，则Sn=（a1+an）×n÷2或Sn=na1+n（n-1）d÷2，本题据此进行解答。
4．【答案】解：2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35
=（2+35）×12÷2
=37×12÷2
=444÷2
=222
【知识点】等差数列
【解析】【分析】等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2。
5．【答案】解：原式=（1+1.2）×1+（1+1.2）×2+（1+1.2）×3+…+（1+1.2）×99+（1+1.2）×100
=（1+1.2）×（1+2+3+…+99+100）
= 2.2×[（1+100）×100÷2]
= 2.2×5050
=11110
【知识点】等差数列；提取公因式法
【解析】【分析】先注意观察算式中数据的特点，提取公因式：（1+1.2）×（1+2+3+…+99+100），最后再根据等差数列求和公式进行求解即可
6．【答案】解：
【知识点】等差数列
【解析】【分析】观察式子，可知，该式子6.03， 6.06， 6.09， …， 7.95构成一个等差数列，公差为0.03，首项为6.03，末项为7.95，根据等差数列的求和公式，即可求解
7．【答案】解：1-3+6-10+15-21+28-……+4950
=1-（1+2）+（1+2+3）-（1+2+3+4）+……+（1+2+3+……+99）
=1+3+5+……+99
=（1+99）×50÷2
=2500
【知识点】等差数列
【解析】【分析】观察算式中的每一项，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，……，4990=1+2+3+……+99，那么原式变为：1-（1+2）+（1+2+3）-（1+2+3+4）+……+（1+2+3+…+99），再进一步计算即可。
8．【答案】解：
=
=
=
=
【知识点】分数的巧算；等差数列；提取公因式法
【解析】【分析】首先将题目中括号内的结果算出，提取公因式后，发现括号内为首项为1、公差为1的等差数列，等差数列求和再与公因式相乘即可。
9．【答案】（1）解：125×80×11×250×4
=(125×80)×(250×4)×11
=10000×1000×11
=110000000
（2）解：50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4
=2×12
=24
（3）解： 2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024
=2024×(2023-2022)-2022×(2021-2020)
=2024-2022
=2
（4）解：2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103
=(2-3+4)+(5-6+7)+…+(98-99+100)+(101-102+103)
=(4+2-3)+(7+5-6)+…+(100+98-99)+(103+101-102)
=3+6+9+12+…+99+102
=(3+102)×34÷2
=3570÷2
=1785
【知识点】加减法中的巧算；等差数列；整数乘法交换律；整数乘法结合律
【解析】【分析】 (1)、125×80×11×250×4，根据乘法交换律与结合律简算；
(2)、50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4，将减号前后的数两两相减，每组数据的结果都为2，一共有12组，转化为计算12乘2的结果即可；
(3)、2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024，找到算式中相同因数，根据乘法分配简算；
(4)、2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103，将算式中的数3个为一组，合并计算后得到一个等差数列：3+6+9+12+…+99+102，再根据等差数列求和公式：（首数+末数）×个数÷2计算。
10．【答案】a1=1，d=3-1=2，
第15项：1+(15-1)×2=29；
第100项：1+(100-1)×2=199
【知识点】等差数列
11．【答案】解：10+11+ 12+……+29
=( 10+ 29) ×20÷2
=39×20÷2
=780÷2
=390(个)
答：这个会议室一共有390个座位。
【知识点】等差数列；1000以内数的连加运算
【解析】【分析】根据题意可知，直接将20排座位的数量相加，计算时，可以根据等差数列求和公式：（首项+尾项）×项数÷2=总数量，求出座位总数。
12．【答案】解：（40-4）÷2+1=19
(4+40) ×19÷2
=44×19÷2
=836÷2
=418
418÷19=22
答：这串数的平均数是22。
【知识点】等差数列；平均数问题
【解析】【分析】题中数列为首项是4，末项是40，公差是2的等差数列，根据项数=（首项-末项）÷公差+1，计算出项数，再根据数列的和=（首项+末项）×项数÷2，求出全部数字的和，再除以项数即可。
13．【答案】解：(1+2+3+…+99+100)-(9+18+27+…+90+99)
=(1+100)×100÷2-9×(1+2+3+…+10+11)
=101×100÷2-9×(1+11)×11÷2
=5050-594
=4456
【知识点】等差数列；数字和问题；整除的性质及应用
14．【答案】
【知识点】等差数列；数列中的规律
【解析】【解答】解：记个连续奇数为1，3，5，7， ，（ ），
根据
可得这 个奇数之和等于 ，
因为 ，所以前45个奇数的和为2025，，所以擦去的奇数是17 。
故答案为：17。
【分析】通过计算发现从1开始的奇数的和为个数的平方，由题意这些奇数的和大于2008，则这些数至少为45个，由，用，即可求得擦去的奇数。
15．【答案】解：三次过后，第四个福袋：2分，第五个福袋3分，第六个视袋4分......
当第一次掉落之前接了3个福袋，则1+1+1+1+1+1+2+3+4+5+6=26(分)，符合规则，共接到了11个福袋；若第一次掉之前接了8个福袋；1+1+1+2+3+4+5+6+1+1+1=26(分)，符合线则，共接到了11个福袋；
答：妙妙接到了11个福袋。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】 设妙妙总共接住的福袋数为n，且n > 3，那么她获得的总积分可以表示为前3个福袋的3分加上从第4个开始的额外积分。
额外得分构成一个等差数列：1， 2， 3， ...， (n-3)。此等差数列的和可以用公式 S =来计算，其中S是额外得分的总和。
妙妙的总得分由两部分组成：3个基础分 + 额外得分，即 3 + S = 26 。代入S的计算公式，解出答案即可。
16．【答案】解：（5×6×2＋6）÷6
=（60＋6）÷6
=66÷6
=11（人）
答：这队学生11人。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】每个学生摘苹果的个数排成一个等差数列：1、2、3······6，由平均每个学生摘6个苹果，可知6是这个等差数列的中间值，那么它前面和后面就各有5个数，即数列的项数是11，所以这队学生有11人。
1 / 1小升初数学专项提优训练：等差数列
一、等差数列（高斯求和）
1．数学家高斯用以下方法算出了答案。
你会用这种方法计算1+2+3+4+5+…+50吗？试试吧！
【答案】解：1+2+3+4+5+…+50
=(1+50)×(50÷2)
=51×25
=1275
【知识点】等差数列
【解析】【分析】题目要求用高斯求和法计算1到50的和。高斯的方法是将数列首尾配对，每对的和相等，再乘以对数。 需要确定配对后的和1+50=51以及配对的数量50÷2=25对，总和=配对的和×配对数量=51×25=1275.
二、计算题
2．用简便方法计算。
（1）2＋4＋6＋8+…＋100
（2）100-99+98-97＋…＋2-1
【答案】（1）解：2＋4＋6＋8+…＋100
=（2＋98）＋（4＋96）＋（6＋94）＋······（48＋52）＋（50＋100）
=100×24＋150
=2400＋150
=2550
（2）解：100-99+98-97＋…＋2-1
=（100-99）＋（98-97）＋······＋（2-1）
=1×50
=50
【知识点】加减法中的巧算；等差数列
【解析】【分析】（1）首项是2，末项是100，公差为2，和=（首项＋末项）×项数÷2；
（2）根据符号的规律，按“＋－”进行分组，然后按规律计算即可。
3．（2022六下·竞赛）计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200
【答案】解：项数=（200-105）÷5+1
=95÷5+1
=19+1
=20，
和=（105+200）×20÷2
=305×20÷2
=6100÷2
=3050。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】设首项为a1 ，末项为an，项数为n ，公差为d ，an=a1+（n-1）d，前n项和为Sn ，则Sn=（a1+an）×n÷2或Sn=na1+n（n-1）d÷2，本题据此进行解答。
4．（2021五上·成都开学考）求和。
2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35
【答案】解：2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35
=（2+35）×12÷2
=37×12÷2
=444÷2
=222
【知识点】等差数列
【解析】【分析】等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2。
5．计算：
(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)
【答案】解：原式=（1+1.2）×1+（1+1.2）×2+（1+1.2）×3+…+（1+1.2）×99+（1+1.2）×100
=（1+1.2）×（1+2+3+…+99+100）
= 2.2×[（1+100）×100÷2]
= 2.2×5050
=11110
【知识点】等差数列；提取公因式法
【解析】【分析】先注意观察算式中数据的特点，提取公因式：（1+1.2）×（1+2+3+…+99+100），最后再根据等差数列求和公式进行求解即可
6．（2024·广州）6.03+6.06+6.09+6.12+…+7.95
【答案】解：
【知识点】等差数列
【解析】【分析】观察式子，可知，该式子6.03， 6.06， 6.09， …， 7.95构成一个等差数列，公差为0.03，首项为6.03，末项为7.95，根据等差数列的求和公式，即可求解
7．（八中）计算：1- 3+6- 10+15 - 21+28 - ...+4950.
【答案】解：1-3+6-10+15-21+28-……+4950
=1-（1+2）+（1+2+3）-（1+2+3+4）+……+（1+2+3+……+99）
=1+3+5+……+99
=（1+99）×50÷2
=2500
【知识点】等差数列
【解析】【分析】观察算式中的每一项，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，……，4990=1+2+3+……+99，那么原式变为：1-（1+2）+（1+2+3）-（1+2+3+4）+……+（1+2+3+…+99），再进一步计算即可。
8．（2024.4.14·一外）
【答案】解：
=
=
=
=
【知识点】分数的巧算；等差数列；提取公因式法
【解析】【分析】首先将题目中括号内的结果算出，提取公因式后，发现括号内为首项为1、公差为1的等差数列，等差数列求和再与公因式相乘即可。
9．用合适的方法计算。
（1）125×80×11×250×4
（2）50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4
（3）2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024
（4）2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103
【答案】（1）解：125×80×11×250×4
=(125×80)×(250×4)×11
=10000×1000×11
=110000000
（2）解：50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4
=2×12
=24
（3）解： 2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024
=2024×(2023-2022)-2022×(2021-2020)
=2024-2022
=2
（4）解：2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103
=(2-3+4)+(5-6+7)+…+(98-99+100)+(101-102+103)
=(4+2-3)+(7+5-6)+…+(100+98-99)+(103+101-102)
=3+6+9+12+…+99+102
=(3+102)×34÷2
=3570÷2
=1785
【知识点】加减法中的巧算；等差数列；整数乘法交换律；整数乘法结合律
【解析】【分析】 (1)、125×80×11×250×4，根据乘法交换律与结合律简算；
(2)、50-48+46-44+42-40+…+10-8+6-4，将减号前后的数两两相减，每组数据的结果都为2，一共有12组，转化为计算12乘2的结果即可；
(3)、2024×2023-2021×2022+2022×2020-2022×2024，找到算式中相同因数，根据乘法分配简算；
(4)、2-3+4+5-6+7+…+98-99+100+101-102+103，将算式中的数3个为一组，合并计算后得到一个等差数列：3+6+9+12+…+99+102，再根据等差数列求和公式：（首数+末数）×个数÷2计算。
三、解决问题
10．求等差数列1，3，5，7，9，……的第15项和第100项。
【答案】a1=1，d=3-1=2，
第15项：1+(15-1)×2=29；
第100项：1+(100-1)×2=199
【知识点】等差数列
11．胜利小学会议室有20排座位，第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位……这个会议室共有多少个座位？
【答案】解：10+11+ 12+……+29
=( 10+ 29) ×20÷2
=39×20÷2
=780÷2
=390(个)
答：这个会议室一共有390个座位。
【知识点】等差数列；1000以内数的连加运算
【解析】【分析】根据题意可知，直接将20排座位的数量相加，计算时，可以根据等差数列求和公式：（首项+尾项）×项数÷2=总数量，求出座位总数。
12．有一串有规律的数：4、6、8、10、……、40，求这串数的平均数。
【答案】解：（40-4）÷2+1=19
(4+40) ×19÷2
=44×19÷2
=836÷2
=418
418÷19=22
答：这串数的平均数是22。
【知识点】等差数列；平均数问题
【解析】【分析】题中数列为首项是4，末项是40，公差是2的等差数列，根据项数=（首项-末项）÷公差+1，计算出项数，再根据数列的和=（首项+末项）×项数÷2，求出全部数字的和，再除以项数即可。
13．（2023·广州）在1~100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
【答案】解：(1+2+3+…+99+100)-(9+18+27+…+90+99)
=(1+100)×100÷2-9×(1+2+3+…+10+11)
=101×100÷2-9×(1+11)×11÷2
=5050-594
=4456
【知识点】等差数列；数字和问题；整除的性质及应用
14．（2022六下·竞赛）黑板上写有从1开始的一些连续奇数：
1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 。
【答案】
【知识点】等差数列；数列中的规律
【解析】【解答】解：记个连续奇数为1，3，5，7， ，（ ），
根据
可得这 个奇数之和等于 ，
因为 ，所以前45个奇数的和为2025，，所以擦去的奇数是17 。
故答案为：17。
【分析】通过计算发现从1开始的奇数的和为个数的平方，由题意这些奇数的和大于2008，则这些数至少为45个，由，用，即可求得擦去的奇数。
15．妙妙在玩接福袋的游戏，接到一个福袋可获得1分，连续接到3个福袋之后可以获得积分加成，之后每多接一个福袋多加1分，若有2个福袋没接到则游戏结束，妙妙获得了26分，她接到了多少个福袋？
【答案】解：三次过后，第四个福袋：2分，第五个福袋3分，第六个视袋4分......
当第一次掉落之前接了3个福袋，则1+1+1+1+1+1+2+3+4+5+6=26(分)，符合规则，共接到了11个福袋；若第一次掉之前接了8个福袋；1+1+1+2+3+4+5+6+1+1+1=26(分)，符合线则，共接到了11个福袋；
答：妙妙接到了11个福袋。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】 设妙妙总共接住的福袋数为n，且n > 3，那么她获得的总积分可以表示为前3个福袋的3分加上从第4个开始的额外积分。
额外得分构成一个等差数列：1， 2， 3， ...， (n-3)。此等差数列的和可以用公式 S =来计算，其中S是额外得分的总和。
妙妙的总得分由两部分组成：3个基础分 + 额外得分，即 3 + S = 26 。代入S的计算公式，解出答案即可。
16．（2023.12.16·巴蜀）一队学生去果园摘苹果，第一个进果园的学生摘1个苹果，第二个学生摘2个苹果，第三个学生摘3个苹果…依此类推，后面的学生都比他前面的学生多摘1个苹果，这样恰好这队学生把果园的苹果摘完，最后平均每个学生摘6个苹果，这队学生多少人
.
【答案】解：（5×6×2＋6）÷6
=（60＋6）÷6
=66÷6
=11（人）
答：这队学生11人。
【知识点】等差数列
【解析】【分析】每个学生摘苹果的个数排成一个等差数列：1、2、3······6，由平均每个学生摘6个苹果，可知6是这个等差数列的中间值，那么它前面和后面就各有5个数，即数列的项数是11，所以这队学生有11人。
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