小升初数学专项提优训练：换元法
一、换元法简便计算
1．（2024.9.1·一外）
二、计算题
2．（2024.9.1·西大附中）快速计算，直接填空
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
3．计算：
4．用换元法进行简算
（1）
（2）
5．计算：
6．(1+1.2+1.23+1.234)×(1.2+1.23+1.234+1.2345)-(1+1.2+1.23+1.234+1.2345)×(1.2+1.23+1.234)。
7．（2024.9.27·鲁能巴蜀）
8．（2024·广州）
9．（2024·广州）
10．（2024·广州）
11． （1---…-）×（++…+）-（1---…-）×（++…+）
12．计算：
13．
14．×
15．（2023·西附）
16．（鲁巴）
答案解析部分
1．【答案】解：设，则原式可化为
=
=
【知识点】换元法
【解析】【分析】观察题目可知：设，则原式可化为，计算即可得答案。
2．【答案】（1）9991
（2）
（3）3.996
（4）886
（5）903
【知识点】分数的巧算；等差数列；小数乘法运算律；换元法
【解析】【解答】解：（1）103×97
=(100+3)×(100-3)
=1002- 32
=10000-9
=9991；
（2）设，，则：
原式，
，
，
；
（3）199.9×19.98-199.8×19.97
=199.9×19.98-19.98×199.7
=19.98×（199.9-199.7）
=19.98×0.2
=3.996；
（4）
=1+
=1+
=1+
=1+
=886；
（5）
=903；
故答案为：（1）9991；（2）；（3）3.996；（4）886（5）903。
【分析】（1）根据平方差公式的运用，可把103看成是100+3，把97看成是100-3，即可得出结果；
（2）先设，，把a和b代入原式，进行化简即可；
（3）原式可变形为199.9×19.98-19.98×199.7，然后利用乘法分配律的逆运算进行简算即可；
（4）分母是2分子和为1分母是3分子和为1+2；分母是4分子和为1+2+3；……依次类推；分母是60分子和为1+2+3+…+59；根据公式：1+2+3+…+n=求出分子的和即可；
（5）观察等式，发现这是一个等差数列求和，首先确定项数，然后利用公式计算。
3．【答案】解：设 则
原式
【知识点】分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】设 则 ，然后代入原式进行化简即可求解
4．【答案】（1）解：设=a，=b，=c，
原式=a(b－c)＋b(c－a)＋c(a－b)
=ab－ac＋bc－ab＋ac－bc
=0
（2）解：设1＋＋＋=a，＋＋=b，
则a－b=1
原式=a×(b＋)－(a＋)×b
=ab＋－ab－b
=
=
【知识点】分数的巧算；换元法
【解析】【分析】（1）表达式的结构由三个分数的差的组合构成。因此，可以运用换元法来简化计算过程.
（2）先运用换元法，再根据乘法分配律将式子展开，进行化简即可求解。
5．【答案】令 则a-b=1。
【知识点】换元法
6．【答案】设A=1+1.2+1.23+1.234，
B=1.2+1.23+1.234。
原式=A×(B+1.2345)-(A+1.2345)×B
=A×B+1.2345×A-A×B-1.2345×B
=1.2345×(A-B)
=1.2345
【知识点】小数的巧算；换元法
【解析】【分析】观察算式，前后两个部分都含有1+1.2+1.23+1.234和1.2+1.23+1.234。为简便计算，设A=1+1.2+1.23+1.234，B=1.2+1.23+1.234后化简原算式。再利用乘法分配律提取相同公因数1.2345进行巧算。
7．【答案】解：设1.23+2.34＝A，1.23+2.34+3.45＝B，则
原式＝（2+A）×B－A×（2+B）
＝2B＋AB－2A－AB
＝2B－2A
＝2×（B－A）
＝2×[（1.23+2.34+3.45）－（1.23+2.34）]
＝2×3.45
＝6.9
【知识点】小数乘法混合运算；换元法
【解析】【分析】设1.23+2.34＝A，1.23+2.34+3.45＝B，代入到算式中，进行计算即可。
8．【答案】解：设
A+B=1×2+2×3+3×4+…+98×99+99×100
= [(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+…+(99×100×101-98×99×100)]
B-A=1×2+3×2+5×2+…+99×2=50×100=5000
【知识点】分数的巧算；换元法
【解析】【分析】利用换元法分别用B和A表示原式的分子和分母；分别计算出B-A和B+A的值，则分子B=（A+B）+（B-A），分母A=（A+B）-（B-A），代入原式求解。
9．【答案】解：设
【知识点】分数的巧算；分数乘法与分数加减法的混合运算；含字母式子的化简与求值；换元法
【解析】【分析】观察算式，用代数a和b代替题目中的重复部分；对含字母的算式进行化简，再将a和b换成相应的分数算式，进行运算即可。
10．【答案】解：设 则B-A
=(1+A)×B-(1+B)×A
=B+AB-A-AB
=B-A
【知识点】换元法
【解析】【分析】设则B-A ，代入原式，即可求解
11．【答案】 解：设，，则
原式=(1-a)×b-(1-b)×a
=b-ab-a+ab
=b-a
【知识点】分数的巧算；分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】此题算式中出现部分重复，可运用换元法进行化简计算即可
12．【答案】解：设 则
原式
【知识点】分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】设 则 ，然后代入原式后，进行化简即可求解
13．【答案】解：设，则a-b=1
原式
【知识点】换元法
【解析】【分析】考虑假设法，设，据此原式，然后可得 ，提取公因式后得，再考虑a－b＝1，据此解答即可。
14．【答案】解：设
原式
【知识点】换元法
【解析】【分析】考虑设，把原式化简成，然后把括号相乘后，再去括号计算即可。
15．【答案】解：设
-
【知识点】换元法
【解析】【分析】将代入，然后根据乘法分配律化简，即可得到答案。
16．【答案】 解：设，
设。
原式=。
=，
=，
=，
=。
因为：，
，
所以，。
答：原式的结果为。
【知识点】换元法
【解析】【分析】为了简化原式的计算，首先设定未知数，将原式中的重复部分用字母表示。然后将原式进行代换，用字母表示原式中的各个部分。接着进行逐步化简，将原式中的字母进行运算，逐步简化原式。最后得到原式的简化结果，并作为答案。
1 / 1小升初数学专项提优训练：换元法
一、换元法简便计算
1．（2024.9.1·一外）
【答案】解：设，则原式可化为
=
=
【知识点】换元法
【解析】【分析】观察题目可知：设，则原式可化为，计算即可得答案。
二、计算题
2．（2024.9.1·西大附中）快速计算，直接填空
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1）9991
（2）
（3）3.996
（4）886
（5）903
【知识点】分数的巧算；等差数列；小数乘法运算律；换元法
【解析】【解答】解：（1）103×97
=(100+3)×(100-3)
=1002- 32
=10000-9
=9991；
（2）设，，则：
原式，
，
，
；
（3）199.9×19.98-199.8×19.97
=199.9×19.98-19.98×199.7
=19.98×（199.9-199.7）
=19.98×0.2
=3.996；
（4）
=1+
=1+
=1+
=1+
=886；
（5）
=903；
故答案为：（1）9991；（2）；（3）3.996；（4）886（5）903。
【分析】（1）根据平方差公式的运用，可把103看成是100+3，把97看成是100-3，即可得出结果；
（2）先设，，把a和b代入原式，进行化简即可；
（3）原式可变形为199.9×19.98-19.98×199.7，然后利用乘法分配律的逆运算进行简算即可；
（4）分母是2分子和为1分母是3分子和为1+2；分母是4分子和为1+2+3；……依次类推；分母是60分子和为1+2+3+…+59；根据公式：1+2+3+…+n=求出分子的和即可；
（5）观察等式，发现这是一个等差数列求和，首先确定项数，然后利用公式计算。
3．计算：
【答案】解：设 则
原式
【知识点】分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】设 则 ，然后代入原式进行化简即可求解
4．用换元法进行简算
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=a，=b，=c，
原式=a(b－c)＋b(c－a)＋c(a－b)
=ab－ac＋bc－ab＋ac－bc
=0
（2）解：设1＋＋＋=a，＋＋=b，
则a－b=1
原式=a×(b＋)－(a＋)×b
=ab＋－ab－b
=
=
【知识点】分数的巧算；换元法
【解析】【分析】（1）表达式的结构由三个分数的差的组合构成。因此，可以运用换元法来简化计算过程.
（2）先运用换元法，再根据乘法分配律将式子展开，进行化简即可求解。
5．计算：
【答案】令 则a-b=1。
【知识点】换元法
6．(1+1.2+1.23+1.234)×(1.2+1.23+1.234+1.2345)-(1+1.2+1.23+1.234+1.2345)×(1.2+1.23+1.234)。
【答案】设A=1+1.2+1.23+1.234，
B=1.2+1.23+1.234。
原式=A×(B+1.2345)-(A+1.2345)×B
=A×B+1.2345×A-A×B-1.2345×B
=1.2345×(A-B)
=1.2345
【知识点】小数的巧算；换元法
【解析】【分析】观察算式，前后两个部分都含有1+1.2+1.23+1.234和1.2+1.23+1.234。为简便计算，设A=1+1.2+1.23+1.234，B=1.2+1.23+1.234后化简原算式。再利用乘法分配律提取相同公因数1.2345进行巧算。
7．（2024.9.27·鲁能巴蜀）
【答案】解：设1.23+2.34＝A，1.23+2.34+3.45＝B，则
原式＝（2+A）×B－A×（2+B）
＝2B＋AB－2A－AB
＝2B－2A
＝2×（B－A）
＝2×[（1.23+2.34+3.45）－（1.23+2.34）]
＝2×3.45
＝6.9
【知识点】小数乘法混合运算；换元法
【解析】【分析】设1.23+2.34＝A，1.23+2.34+3.45＝B，代入到算式中，进行计算即可。
8．（2024·广州）
【答案】解：设
A+B=1×2+2×3+3×4+…+98×99+99×100
= [(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+…+(99×100×101-98×99×100)]
B-A=1×2+3×2+5×2+…+99×2=50×100=5000
【知识点】分数的巧算；换元法
【解析】【分析】利用换元法分别用B和A表示原式的分子和分母；分别计算出B-A和B+A的值，则分子B=（A+B）+（B-A），分母A=（A+B）-（B-A），代入原式求解。
9．（2024·广州）
【答案】解：设
【知识点】分数的巧算；分数乘法与分数加减法的混合运算；含字母式子的化简与求值；换元法
【解析】【分析】观察算式，用代数a和b代替题目中的重复部分；对含字母的算式进行化简，再将a和b换成相应的分数算式，进行运算即可。
10．（2024·广州）
【答案】解：设 则B-A
=(1+A)×B-(1+B)×A
=B+AB-A-AB
=B-A
【知识点】换元法
【解析】【分析】设则B-A ，代入原式，即可求解
11． （1---…-）×（++…+）-（1---…-）×（++…+）
【答案】 解：设，，则
原式=(1-a)×b-(1-b)×a
=b-ab-a+ab
=b-a
【知识点】分数的巧算；分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】此题算式中出现部分重复，可运用换元法进行化简计算即可
12．计算：
【答案】解：设 则
原式
【知识点】分数乘法与分数加减法的混合运算；换元法
【解析】【分析】设 则 ，然后代入原式后，进行化简即可求解
13．
【答案】解：设，则a-b=1
原式
【知识点】换元法
【解析】【分析】考虑假设法，设，据此原式，然后可得 ，提取公因式后得，再考虑a－b＝1，据此解答即可。
14．×
【答案】解：设
原式
【知识点】换元法
【解析】【分析】考虑设，把原式化简成，然后把括号相乘后，再去括号计算即可。
15．（2023·西附）
【答案】解：设
-
【知识点】换元法
【解析】【分析】将代入，然后根据乘法分配律化简，即可得到答案。
16．（鲁巴）
【答案】 解：设，
设。
原式=。
=，
=，
=，
=。
因为：，
，
所以，。
答：原式的结果为。
【知识点】换元法
【解析】【分析】为了简化原式的计算，首先设定未知数，将原式中的重复部分用字母表示。然后将原式进行代换，用字母表示原式中的各个部分。接着进行逐步化简，将原式中的字母进行运算，逐步简化原式。最后得到原式的简化结果，并作为答案。
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