第一章 特殊的平行四边形 基础闯关卷(含答案)2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章　特殊的平行四边形
时间:60分钟　　满分:100分
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D两点,则直线CD为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 (　　)
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
2.如图所示,公路AC,BC互相垂直,点M为公路AB的中点,若测得AB的长为6 km,则湖泊两侧M,C两点间的距离为 (　　)
A.2.5km B.4.5km C.5km D.3km
3.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,若有下列条件:①AC=BD;②AC⊥BD;③AC与BD互相平分;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD;⑥正方形ABCD.则下列推理成立的是 (　　)
A.①④ ⑥ B.②④ ⑥ C.①② ⑥ D.①③ ⑤
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=12,BD=16,则菱形的高AE为 (　　)
A.9.6 B.4.8 C.10 D.5
5.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF分别交正方形AB,CD的两边AB,BC于点M,N,记△AOM的面积为S1,△CON的面积为S2,若正方形的边长AB=10,S1=16,则S2的大小为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
6.陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm,宽为3 cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,下图中有可能不合格的零件是 (　　)
7.如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心点O处,折痕为EF.若菱形ABCD的边长为8,∠B=120°,则EF的长是 (　　)
A.2 B.4 C.4 D.6
8.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,且∠ADE∶∠EDC=3∶2,则∠BDE的度数为 (　　)
A.36° B.18° C.27° D.9°
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件为　　　　(填一个即可).
10.如图,在正方形ABCD中,点F为CD边上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=25°,则∠AED的大小为　　　　度.
11.如图,点E是矩形ABCD边AD上一点,点F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,若AF=6,则GH的长为　　　　.
12.如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E(2,3),则点F的坐标为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共52分)
13.(6分)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为DC延长线、BC延长线上两点,AE,AF分别与BC,CD交于G,H两点,若∠E=∠F,求证:△ABG≌△ADH.
14.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,若点M,点N是BD上两点,且BM=DN,AC=2MO.求证:四边形AMCN是矩形.
15.(8分)如图,BN,CM分别是△ABC的两条高,点D,点E分别是BC,MN的中点.
(1)求证:DE⊥MN.
(2)若BC=10,MN=6,求DE的长.
16.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,过点D作DE∥AC且DE=AC,交BC于点O,连接CD,BE,CE.
(1)求证:四边形BECD是菱形.
(2)当AB和AC满足数量关系　　　　时,四边形BECD是正方形,请说明理由.
17.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M为AD的中点,过点M作MN∥BD交CD的延长线于点N.
(1)求证:四边形MNDO是平行四边形.
(2)请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时,四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形.
18.(12分)四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形,连接BG,DE.
(1)试判断BG与DE的关系.
(2)当AB=3,CE=2时,求BE2+DG2的值.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B A D C B B
7.B　【解析】如图,连接AC,BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD=BC,AC⊥BD,∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=8,∵点A沿EF折叠与点O重合,∴EF⊥AC,EF垂直平分AO,∵AC⊥BD,∴EF∥BD,∴点E,点F分别为AD,AB的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=BD=×8=4.
8.B　【解析】∵∠ADE∶∠EDC=3∶2,∴∠ADE=54°,∠EDC=36°,又∵DE⊥AC,∴∠DCE=90°-36°=54°,∴∠DOC=180°-2×54°=72°,∴∠BDE=180°-∠DOC-∠DEO=18°.
二、填空题
9 10 11 12
AB=BC(答案不唯一) 70 6 (-1,5)
12.(-1,5)　【解析】如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE,FO交于点O',∵点E(2,3),∴OH=2,EH=3,∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,∴△OGM≌△EOH(ASA),∴GM=OH=2,OM=EH=3,∴G(-3,2),∴O'(-,).∵点F与点O关于点O'对称,∴点F的坐标为 (-1,5).
三、解答题
13.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠E=∠BAG,∠F=∠DAH, (3分)
∵∠E=∠F,∴∠BAG=∠DAH.
在△ABG和△ADH中,
,
∴△ABG≌△ADH(ASA).(6分)
14.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形, (4分)
∵MO=NO,∴MN=2MO,
∵AC=2MO,∴MN=AC,
∴四边形AMCN是矩形. (8分)
15.解:(1)证明:如图,连接DM,DN.
∵BN,CM分别是△ABC的两条高,
∴BN⊥AC,CM⊥AB,∴∠BMC=∠CNB=90°,
∵点D是BC的中点,∴DM=DN=BC,
又∵点E为MN的中点,∴DE⊥MN.(5分)
(2)∵BC=10,∴DM=5,
∵点E是MN的中点,MN=6,
∴ME=3,
由勾股定理得DE==4.(8分)
16.解:(1)证明:∵DE∥AC,DE=AC,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE∥AD,CE=AD,
∵点D是AB的中点,∴AD=DB,∴CE=DB,
∵CE∥DB,∴四边形BECD是平行四边形,
∵DE∥AC,∠ACB=90°,
∴∠DOB=∠ACB=90°,即BC⊥DE,
∴ BECD是菱形.(4分)
(2)AB=AC,(5分)
理由如下:
∵∠ACB=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∵∠CBE=∠ABC,∴∠DBE=90°,
∴四边形BECD是正方形.(8分)
17.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵点M为AD的中点,∴OM是△ACD的中位线,
∴OM∥CD,即OM∥DN,
∵MN∥BD,∴四边形MNDO是平行四边形.(4分)
(2)由(1)知四边形MNDO是平行四边形,若四边形MNDO是菱形,只需OM=OD,而OM=CD=AB,OD=BD,
∴当AB=BD时,四边形MNDO是菱形;(6分)
若四边形MNDO是矩形,只需∠MOD=90°,而∠MOD=∠ABD,
∴当∠ABD=90°,即AB⊥BD时,四边形MNDO是矩形;(8分)
若四边形MNDO是正方形,需OM=OD,∠MOD=90°,∴当AB=BD,AB⊥BD时,四边形MNDO是正方形.(10分)
18.解:(1)如图,延长BG交DE于点H,
∵四边形ABCD是正方形,四边形CEFG是正方形,
∴DC=BC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°,
∴Rt△BCG≌Rt△DCE(HL).(3分)
∴BG=DE,∠GBC=∠EDC.
∵∠BGC+∠GBC=90°,∠BGC=∠DGH,
∴∠DGH+∠EDC=90°,∴∠DHG=90°,∴BG⊥DE.
∴BG与DE的关系是BG=DE且BG⊥DE.(6分)
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=DC=3,
∴BE=BC+CE=3+2=5.
∵四边形CEFG是正方形,∴CG=CE=2,
∴DG=DC-CG=3-2=1,
∴BE2+DG2=25+1=26.(12分)