第一章 特殊的平行四边形 能力提优卷(含详解) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章　特殊的平行四边形
时间:60分钟　　满分:100分
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
1.若矩形一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交所成的锐角是 (　　)
A.20° B.40° C.80° D.100°
2.为了解居民的日常生活所需,社区成立了服务站,如图所示的是某社区辖区内的A,B,C三个小区位置示意图,其中AB=1000 m,BC=600 m,AC=800 m,如果要求服务站到三个小区的距离相等,那么服务站设立的位置应在 (　　)
A.AB的中点处 B.BC的中点处
C.AC的中点处 D.∠C的平分线与AB的交点处
3.下列关于 ABCD的叙述,正确的是 (　　)
A.若AB⊥BC,则 ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则 ABCD是正方形
C.若AC=BD,则 ABCD是矩形 D.若AB=AD,则 ABCD是正方形
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32,则OE的长为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
5.如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于 (　　)
A.1 B. C. D.
6.如图,在矩形ABCD中,M为AD边的中点,P为BC边上一点,PE⊥MC,PF⊥MB,当BC=2AB时,四边形PEMF是 (　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.以上都不对
7.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠ACB=15°,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,若菱形ABCD的面积为4,则菱形的边长为 (　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
8.如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A、B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N,下列结论:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2.其中正确的是 (　　)
A.①②③ B.①② C.②③ D.③
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
9.已知菱形的周长为20 cm,两邻角的比为2∶1,则较短的对角线长为　　　　cm.
10.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B(3,5),若锁定OA,向左推矩形OABC,使点B落在y轴的点B'的位置,则点C的对应点C'的坐标为　　　　.
11.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是　　　　.
12.平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A(10,0),点C(0,3),点D是OA的中点,点P是BC边上的一个动点,当△POD是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为　　　　　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共52分)
13.(6分)如图,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.
14.(8分)定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形.
(1)下面四边形是垂等四边形的是　　　　.(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.
(2)图形判定:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,过点D作BD垂线交BC的延长线于点E,且∠DBC=45°,证明:四边形ABCD是垂等四边形.
15.(8分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△DOE≌△BOF.
(2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长.
16.(8分)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E.
(1)求证:△AFE≌△CDE.
(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
17.(10分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB>90°,∠ABC的平分线交AC于点D,E是AB上一点,且BE=BC,CF∥ED交BD于点F,连接EF,ED.
(1)求证:四边形CDEF是菱形.
(2)当∠ACB=　　　　　度时,四边形CDEF是正方形,请给予证明.
18.(12分)在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,分别过点E,F作EG∥DF,GF∥AD.
(1)如图1,求证:四边形EDFG是菱形.
(2)如图2,连接AG,DG,DG与EF相交于点O,若∠AGD=90°,求证:AD=2AB.
(3)如图3,连接DG交EF于点O,连接OC,若∠ABC=90°,AB=6,BC=10,求OC的长.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B B C A A
1.C　【解析】根据矩形对角线互相平分且相等结合三角形的外角性质即可求得两条对角线相交所成的锐角等于40°+40°=80°.
2.A　【解析】∵AB=1000 m,BC=600 m,AC=800 m,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∴斜边AB上的中点到三角形的三个顶点距离相等.
3.C　【解析】∵AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形,可知选项C正确.
4.B　【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.又∵菱形ABCD的周长为32,∴AB=8.∵AC⊥BD,E为AB的中点,∴OE=AB=4.
5.B　【解析】由正方形的轴对称性可知,阴影部分的面积为正方形面积的一半,即×12=.
6.C　【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM,∴AM=DM.∵BC=2AB,∴AB=AM=DM=DC,∴∠AMB=∠DMC=45°,∴∠BMC=90°.又PF⊥MB,PE⊥MC,∴∠PEM=∠PFM=90°=∠EMF.∴四边形PEMF是矩形.
7.A　【解析】∵四边形ABCD是菱形,AD∥BC,∠ACB=15°,∴∠BCD=2∠ACB=30°,∴∠CDE=∠BCD=30°.∵CE⊥AD,∴在Rt△DCE中,CD=2CE.∵菱形ABCD的面积为4,即AD·CE=4,∴2CE·CE=4,∴CE=,∴AD=2CE=2.
8.A　【解析】①∵正方形ABCD,∴∠APE=∠AME=45°,∵PM⊥AE,∴∠AEP=∠AEM=90°,∵AE=AE,∴△APE≌△AME(ASA),故①正确;②过点N作NQ⊥AC于点Q,则四边形PNQE是矩形,∴PN=EQ.∵正方形ABCD,∴∠PAE=∠MAE=45°.∵PM⊥AE,∴∠PEA=90°,∴∠PAE=∠APE,∴AE=PE,同理得NQ=CQ.∵△APE≌△AME,∴PE=ME,∴PE=ME=NQ=CQ.∴PM=AE+CQ.∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立,故②正确;③∵正方形ABCD,∴AC⊥BD,∴∠EOF是直角.∵过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E、F,∴∠PEO和∠PFO是直角,∴四边形PFOE是矩形,∴PF=OE.在Rt△PEO中,有PE2+OE2=PO2,∴PE2+PF2=PO2,即PE2+PF2=PO2成立,故③正确.
二、填空题
9 10 11 12
5 (-3,4) 8 (4,3)、(1,3)、(9,3)
9.5　【解析】由菱形性质可知边长为5 cm,两邻角分别为120°和60°,则较短的对角线长与一组邻边组成等边三角形,∴较短的对角线长为5 cm.
10.(-3,4)　【解析】由题意,易得AB'=AB=5,OA=3,∴OB'=4.∴点C'的坐标为(-3,4).
11.8　【解析】如图,连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF.∵AC=BD=8,OE=OF==2,由勾股定理得DE===2,∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8.
12.(4,3)、(1,3)、(9,3)　【解析】过P作PM⊥OA于点M.
(1)当OP=OD=5时,
∵OP=5,CO=3,∴CP===4,∴P(4,3);
(2)当OD=PD=5时,
∵PD=DO=5,PM=3,∴MD===4,∴CP=1或CP'=9,
∴点P(1,3)或(9,3).
综上,满足题意的点P的坐标为(4,3)、(1,3)、(9,3).
三、解答题
13.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°.(2分)
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.(3分)
∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.(6分)
14.解:(1)④(2分)
(2)∵AC⊥BD,ED⊥BD,∴AC∥DE.
又∵AD∥BC,∴四边形ADEC是平行四边形,∴AC=DE.(4分)
又∵∠DBC=45°,∴△BDE是等腰直角三角形,
∴BD=DE,∴BD=AC,又∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是垂等四边形.(8分)
15.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,DO=BO,
∴∠EDO=∠FBO.
又∵EF⊥BD,∴∠EOD=∠FOB=90°.
在△DOE和△BOF中,∵∠EDO=∠FBO,DO=BO,∠EOD=∠FOB,
∴△DOE≌△BOF(ASA).(3分)
(2)由(1)可得,ED∥BF,ED=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵EF⊥BD,
∴四边形BFDE是菱形.
根据AB=6,AD=8,设AE=x,可得BE=ED=8-x.
在Rt△ABE中,根据勾股定理可得BE2=AB2+AE2.
即(8-x)2=x2+62,解得x=.
∴BE=8-=,
∴四边形BFDE的周长=×4=25.(8分)
16.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠D=90°.
由折叠,得AB=AF,∠B=∠F.
∴AF=CD,∠F=∠D.
又∵∠AEF=∠DEC,
∴△AFE≌△CDE.(AAS)(4分)
(2)由(1)知△AFE≌△CDE,∴AE=CE.
设AE=x,则CE=x,DE=8-x.
在△CDE中,由勾股定理得CD2+DE2=CE2,
∴42+(8-x)2=x2.
解得x=5,即AE=5.
∴S阴影=AE·CD=×5×4=10.(8分)
17.解:(1)证明:连接EC,交BD于点O.
∵BE=BC,BD平分∠ABC,
∴EO=CO,BD⊥CE,即BD垂直平分EC.
∴EF=FC,DE=CD.
∵CF∥DE,∴∠DFC=∠FDE.(2分)
∵CO=EO,∠FOC=∠FOE,
∴△FOC≌△DOE(AAS),
∴DE=CF,
∴EF=FC=CD=DE,
∴四边形CDEF是菱形.(5分)
(2)当∠ACB=120°时,四边形CDEF是正方形.(7分)
证明:∵BC=AC,∠ACB=120°,
∴∠ABC=∠BAC=30°.
又BD平分∠ABC,∴∠DBC=15°.
∵BD⊥CE,∴∠BOC=90°.
∴∠BCO=75°,∴∠DCO=45°.
∴∠CDO=45°,∴∠DCO=∠CDO.
∴OC=OD.(9分)
由(1)知四边形CDEF是菱形,
∴OC=OE,OD=OF.∴CE=DF.
∴四边形CDEF是正方形.(10分)
18.解:(1)证明:∵EG∥DF,GF∥AD,
∴四边形EDFG是平行四边形.
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CFB.
∵AD∥BC,∴∠CBF=∠DEF.
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠DEF=∠CFB,∴DE=DF.
∴四边形EDFG是菱形.(3分)
(2)证明:由(1)知四边形EDFG是菱形,
∴∠BOD=90°,GF∥AD.
∵∠AGD=90°,∴AG∥BF.
∴四边形AEFG是平行四边形,
∴AE=GF.
∵GF=DE,∴AD=2AE.
∵AD∥BC,∴∠CBF=∠AEB.
∵∠ABE=∠CBF,∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE,∴AD=2AB. (7分)
(3)∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°.
∴∠EDF=90°,∴菱形EDFG是正方形,∴∠CBF=45°.
∵∠FCB=90°,∴∠CFB=45°,
∴∠CBF=∠CFB,∴BC=CF=10.
如图,过点O作ON⊥DF于点N,
则ON=DN=2,∴CN=6+2=8.
∴OC===2.(12分)