第三章 概率的进一步认识 能力提优卷(含详解) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识
时间:60分钟　　满分:100分
一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.小麦和小梁做游戏,先是各自背着对方在纸上写一个正整数,然后都拿给对方看,他们约定:若两人写的都是奇数或都是偶数,则小麦胜;若两人所写的数一个是奇数,另一个是偶数,则小梁获胜.那么这个游戏 (　　)
A.对小麦有利 B.对小梁有利
C.对双方公平 D.无法确定对谁有利
2.如图,小球从A入口往下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等,则小球从E出口落出的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照,他的爸爸妈妈相邻的概率是 (　　)
A. B. C. D.
4.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出一个球,两次都摸出白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
5.如图①所示,平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他采用了以下办法:用一个长为5 m,宽为4 m的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线或长方形区域外不计入实验结果).他将若干次有效实验的结果绘制成了图②所示的折线统计图,由此他估计不规则图案的面积为 (　　)
A.6 m2 B.7 m2 C.8 m2 D.9 m2
6.我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要小的三位数定义为“凹数”.如859就是一个“凹数”.如果十位上的数字为2,那么从1,3,4,5中任选两个数字,能与2组成“凹数”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,20分)
7.在一个布袋里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1个球.将2个红球分别记为红Ⅰ,红Ⅱ,两次摸球的所有可能的结果如表所示:
　　　第二次 第一次　　　 白 红Ⅰ 红Ⅱ
白 白,白 白,红Ⅰ 白,红Ⅱ
红Ⅰ 红Ⅰ,白 红Ⅰ,红Ⅰ 红Ⅰ,红Ⅱ
红Ⅱ 红Ⅱ,白 红Ⅱ,红Ⅰ 红Ⅱ,红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是　　　　　.
8.如图,创新广场上铺设了一种新颖的石子图案,它由五个过同一点且半径不同的圆组成,其中阴影部分铺黑色石子,其余部分铺白色石子.小鹏在规定地点随机向图案内投掷小球,每个小球都能落在图案内,经过多次试验,发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别是0.04,0.2,0.36.如果最大圆的半径是1 m,那么铺黑色石子区域的总面积为　　　　　m2.(π≈3.14,结果精确到0.01)
9.甲、乙两个家庭各自随机选择到庐山、井冈山、三清山三个风景区中的一个风景区旅游,假设这两个家庭选择到哪个风景区旅游不受任何因素影响,上述三个风景区中的每一个被选到的可能性相同.若甲、乙两个家庭选择到上述三个风景区中的同一个风景区旅游的概率为P,则P=　　　　　.
10.将一副扑克牌中的红桃K和黑桃A(各一张)都从中间剪开,分成四块,这四块背面完全一样,将它们背面朝上,洗匀后,任取两块,恰好能拼成一张完整的牌的概率是　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,共50分)
11.(8分)某市人口有100万人,随机地调查了2500人,发现其中每天买晚报的有400人.
(1)求在该市随便问一个人他买晚报的概率;
(2)请你估计这份报纸的发行量是每天多少份.
12.(8分)某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动,凡当天在该超市购物的顾客,均有一次抽奖的机会,抽奖规则如下:将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形,分别标上1,2,3,4四个数字,抽奖者连续转动转盘两次,每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字(指针指在分界线时重转),当两次所得数字之和为8时,返现金20元;当两次所得数字之和为7时,返现金15元;当两次所得数字之和为6时,返现金10元.某顾客参加一次抽奖,能获得返还现金的概率是多少
13.(10分)王老师将一个黑球和若干个白球(球除颜色外其他均相同)放入一个不透明的口袋并搅匀,让学生进行摸球试验,每次从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,下表是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30
(1)补全表中的有关数据,根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是　　　　　;
(2)估计袋中白球的个数为　　　　　;
(3)在(2)的条件下,若小强同学有放回地连续两次摸球,用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率.
14.(12分)某校九年级共有6个班,需从中选出两个班参加一项重大活动,九(1)班是先进班集体必须参加,再从另外5个班中选出一个班.九(4)班同学建议用如下方法选班:从装有编号为1,2,3的三个白球的A袋中摸出一个球,再从装有编号也为1,2,3的三个红球的B袋中摸出一个球(两袋中球的大小、形状与质地完全一样),摸出的两个球编号之和是几就由几班参加.
(1)请用列表或画树状图的方法,求选到九(4)班的概率.
(2)这一建议公平吗 请说明理由.
15.(12分)在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字-1,-2,-3,-4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x,放回盒子摇匀,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)用列表或画树状图的方法表示出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=x-1的图象上的概率;
(3)求小强、小华各取一次小球所确定的数x,y满足y>x-1的概率.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6
C C D A B C
1.C　【解析】由树状图法可知,共有4种等可能的结果,其中都是奇数(或偶数)和一奇一偶各两种,故对双方公平.
2.C　【解析】因为小球从A入口往下落到落出,一共有4条路径,即A→B→C→E,A→B→C→F,A→B→D→G,A→B→D→H,从E出口落出是其中的一种情况,所以对应概率是.
3.D　【解析】画树状图如下:
由树状图可知,一共有6种等可能的结果,而爸爸妈妈相邻的有4种,所以P(爸爸妈妈相邻)==.
4.A　【解析】画树状图如下:
可知共有9种等可能的结果,其中两次都摸到白球的情况有4种,∴P(两次都摸到白球)=.
5.B　【解析】观察图形可知,不规则图案的面积大约占长方形区域面积的0.35,即20×0.35=7 m2.
6.C　【解析】画树状图如下:
由树状图知,可以组成的三位数有321,421,521,123,423,523,124,324,524,125,325,425,共12种等可能的结果,其中是“凹数”的有423,523,324,524,325,425,共6种结果.∴从1,3,4,5中任选两个数字,能与2组成“凹数”的概率是=.
二、填空题
7 8 9 10
1.88
7.　【解析】根据表格可知,共有9种等可能的结果,两次摸出的球都是红球的有4种,
则两次摸出的球都是红球的概率为.
8.1.88　【解析】因为经过多次试验发现落在一、三、五环内的概率分别为0.04,0.2,0.36,所以小球落在阴影部分的概率为0.04+0.2+0.36=0.6,那么铺黑色石子区域的面积约是最大圆面积的60%,所以铺黑色石子区域的总面积约为0.6×π×12≈0.6×3.14≈1.88 m2.
9.　【解析】记到井冈山、庐山、三清山三个风景区旅游分别为A,B,C,
列表得:
　　甲 乙　　 A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两个家庭选择到上述三个风景区中的同一个风景区旅游的结果有3种,
所以甲、乙两个家庭选择到上述三个风景区中的同一个风景区旅游的概率P==.
10.　【解析】设两张红桃K和黑桃A剪开后分别记作K1,K2和A1,A2,列表如下:
　　第一次 第二次　　 K1 K2 A1 A2
K1 (K1,K2) (K1,A1) (K1,A2)
K2 (K2,K1) (K2,A1) (K2,A2)
A1 (A1,K1) (A1,K2) (A1,A2)
A2 (A2,K1) (A2,K2) (A2,A1)
由上表可知,共有12种等可能的结果,其中恰好能拼成一张完整的牌的结果有4种,∴P(恰好能拼成一张完整的牌)==.
三、解答题
11.解:(1)P(买晚报)==;(3分)
(2)100×=16万,
即可估计这份报纸的发行量是每天16万份.(8分)
12.解:画树状图如下:
(5分)
由树状图可知,共有16种等可能的结果,能获得返还现金的结果有6种,所以该顾客参加一次抽奖,能获得返还现金的概率P==.(8分)
13.解:(1)表中数据依次为0.26,0.25,0.25,概率为0.25;(2分)
(2)3;(4分)
(3)画树状图如下:
(8分)
由树状图可知,共有16种等可能的结果,两次都摸到白球的有9种结果,所以两次都摸出白球的概率为.(10分)
14.解:(1)画树状图如下:
(3分)
由树状图知,所有等可能的结果共9种,其中两球编号之和为4的结果有3种,
∴P(选到九(4)班)==.(5分)
(2)不公平.理由如下:(6分)
由(1)中树状图可知,P(选到九(2)班)=,P(选到九(3)班)=,P(选到九(4)班)=,P(选到九(5)班)=,P(选到九(6)班)=.
∵≠≠,∴这一建议不公平.(12分)
15.解:(1)列表如下:
-1 -2 -3 -4
-1 (-1,-1) (-1,-2) (-1,-3) (-1,-4)
-2 (-2,-1) (-2,-2) (-2,-3) (-2,-4)
-3 (-3,-1) (-3,-2) (-3,-3) (-3,-4)
-4 (-4,-1) (-4,-2) (-4,-3) (-4,-4)
由上表可知,共有16种等可能的结果.(4分)
(2)因为小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=x-1的图象上的有(-1,-2),(-2,-3),(-3,-4),共3种结果,所以该事件的概率是.(8分)
(3)因为小强、小华各取一次小球所确定的数x,y满足y>x-1的有(-1,-1),(-2,-1),(-2,-2),(-3,-1),(-3,-2),(-3,-3),(-4,-1),(-4,-2),(-4,-3),(-4,-4),共10种结果,所以该事件的概率为=.(12分)