浙江省温州市温州市第二中学2024学年第二学期九年级数学开学综合素质检测试题卷
1．（2025九下·温州开学考）在下列数中，最小的数是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
2．（2025九下·温州开学考）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·温州开学考）2024年我国新能源汽车产量超过12880000辆，其中12880000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·温州开学考）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·温州开学考）若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·温州开学考）某车间20名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数，中位数分别是（ ）
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．6，6
7．（2025九下·温州开学考）如图是以点为圆心，分别以OA，OB的长为半径的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九下·温州开学考）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·温州开学考）如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点是正方形ABCD的中心，连接AO交BE于点，连接DF．记的面积，正方形ABCD的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·温州开学考）化简 ．
12．（2025九下·温州开学考）如图，一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个．
13．（2025九下·温州开学考）如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ．
14．（2025九下·温州开学考）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
3 4 5 6 7 8 …
-31 14 41 50 41 …
则表格中的值是 .
15．（2025九下·温州开学考）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点．若，则的值是 ．
16．（2025九下·温州开学考）如图，内接于是的直径，是的内心，连接CI，并延长交于点，若，则 ．
17．（2025九下·温州开学考）计算：
（1）
（2）
18．（2025九下·温州开学考）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
19．（2025九下·温州开学考）如图，在中，于．
（1）求AC的长．
（2）若的面积为4，求的正弦值．
20．（2025九下·温州开学考）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（）水油分离实验，（）太空拋物实验.观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图.
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率.
21．（2025九下·温州开学考）如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线MN，交边AB于点，交边BC于点，过点作交MN于点，连接BE．
（1）求证：．
（2）若四边形ACED是菱形，求的度数．
22．（2025九下·温州开学考）已知张华家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.图中轴表示时间，轴表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张华离开家的时间（min） 1 4 13 30
张华离家的距离（km） ▲ 0.6 ▲ ▲
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ▲ ．
（2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？
23．（2025九下·温州开学考）已知拋物线．
（1）若抛物线经过点，求该拋物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该拋物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上，求证：．
24．（2025九下·温州开学考）如图1，点在矩形ABCD的边AD上，连结BE，CE．作点关于BE的对称点，当点在EC上时，分别在BE，BC上取点G，H，使．
（1）求证：．
（2）①若，求的余弦值．
②若与相似，求EG的长．
（3）如图2，连结CG交FH于点，若，求的值．（用含的代数式表示，直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-1＜0＜＜π，
∴ 最小的数是-1.
故答案为：B.
【分析】根据负数＜0＜正数即可求得.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两条边的长度分别是和
∴第三条边的长度
即第三条边的长度
只有B选项在此范围内，
故选B
【分析】
利用三角形的三边关系定理，先求出较大边与较小边的和与差的值，下来只要判定所给选项的长度在上述两个数据之间即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12880000=1.288×107.
故答案为：B.
【分析】将大于10的数表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，即可求得.
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ m＞1，∴ 2m＞2，m-1＞0，-m＜-1， ，故A，B，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质1可判断B，根据不等式的性质2可判断A和D，根据不等式的性质3可判断C.
6．【答案】A
【知识点】中位数；众数
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴=S扇形AOD-S扇形BOC=.
故答案为：D.
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，
∴与位似比是1：3，
即，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质即可求得.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：如图，分别过点、作轴，轴，垂足分别为于点、，再延长交的延长线于点
∵ 点，在反比函数的图象上 且，的纵坐标分别是和，
∴，，
∴、
∴
由反比例函数的几何意义可得，
∴，
故选：．
【分析】
由反比例函数图象上点的坐标特征可分别求出A、B两点坐标，则可分别过B、A作y轴的垂线和平行线构造矩形PCOD，显然P点坐标可知，则直角三角形PAB两直角边可求，再由反比例函数的几何意义借助矩形面积和和三角形PAB的面积即可求得三角形OAB的面积．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O是正方形ABCD的中心，∴ AOC三点共线，设AD=2x，则AF=x，∴ AC=
则，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得AC=，根据三角形的面积公式求得，再求出即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
12．【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设涂上红色的小扇形有x个，
则 =，
∴ x=3.
故答案为：3.
【分析】根据概率的定义列出方程，计算即可求得.
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于的分式方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再进行验根，若整式方程的解使最简公分母等于0，则这个根是增根应舍去，最后再根据验根的情况写出原分式方程的根或无解．
14．【答案】14
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据（5， 41）和（7， 41）可知对称轴为x==6，
∴ x=8和x=5对应的函数值相同，即m=14.
故答案为：14.
【分析】根据二次函数的对称性，即可求得.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
16．【答案】5
【知识点】内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：连接BI，BD，OD，过I作⊥AC，IF⊥BC，IG⊥AB，如图，
∵ I是△ABC的内心，
∴ IE=IF=IG，
∴ CE=CF，BF=BG，AE=AG，
∵ AB为直径，
∴ 四边形CEIF为正方形，
∵ CI=2，∴ CF=CE=，
设AG=x，设AB=，AC=+x，
由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即，
解得x=，
∴ AB=5，
∵ I是△ABC的内心，
∴ ∠ACD=∠BCD=45°，∠CBI=∠ABI，
∴ ∠ABD=45°，
∵ ∠BID=∠BCD+∠CBI，∠DBI=∠ABD+∠ABI，
∴ ∠BID=∠DBI，
∴ ID=BD，
在Rt△BOD中，BD=.
故答案为：5.
【分析】根据三角形的内心和勾股定理求得AB的长，根据圆周角定理的推论∠ABD=45°，根据三角形的外角的性质推出△BDI为等腰三角形可得ID=BD，再根据勾股定理求得BD即可.
17．【答案】（1）解：原式=2+1-2=1
（2）解：原式==1
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和开立方计算求值即可；
（2）先通分化简括号内的，再将除法转化为乘法计算即可.
18．【答案】（1）解： Δ =22-4×1×（-1）=8＞0，
∴ x=，
∴ x1=-1+，x2=-1-
（2）解：
解①得，x＜3，
解②得，x＞2，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）先分别解两个不等式的解集，再求其交集即可.
19．【答案】（1）解：∵ AD⊥BC，
∴ 在Rt△ACD中，tanC=，AD=2，
∴，即CD=3，
∴ AC=
（2）解：∵ △ABC的面积为4，
∴，
∵ AD=2，
∴ BC=4，
∵CD=3，
∴ BD=BC-CD=4-3=1，
∴ AB=，
∴sin∠B=
【知识点】三角形的面积；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据正切值先求得CD，根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）根据三角形的面积公式求得BC，可得BD和AB，再根据正弦的定义求值即可.
20．【答案】（1）50
（2）解：50-20-10-5=15（名），即15名学生喜爱实验C，
补齐条形统计图如下
（3）解：树状图：
共有12种等可能结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果数是8种，
∴ P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）5÷10％=50，即共调查了50名学生；
故答案为：50.
【分析】（1）根据喜爱实验D的人数与其所占百分比的比值，即可求得；
（2）用总人数减去喜爱实验A、B和D的人数求得喜爱实验C的人数，再补齐条形统计图即可；
（3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可.
21．【答案】（1）∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CF=FB，
∵CE∥DB，
∴∠ECF=∠DBF，
∵∠EFC=∠DFB ，
∴△EFC≌△DFB（AAS）
（2）∵△EFC≌△DFB，
∴CE=DB，
∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CD=DB，CE=EB，
∴CE=CD=DB=EB，
∵ 四边形ACED为菱形，
∴CE=ED
∴CE=ED=CD，DB=DE=EB
∴△CED和△DEB为等边三角形，
∴ ∠CED=∠DEB=60°
∴ ∠CEB=120°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的定义可得CF=FB，根据平行线的性质可得∠ECF=∠DBF，根据ASA判定△EFC≌△DFB即可；
（2）根据全等三角形的性质可得CE=DB，根据垂直平分线的性质可得CD=DB，CE=EB，根据菱形的性质可得CE=ED，根据等边三角形的判定与性质可得∠CED=∠DEB=60°，即可求得.
22．【答案】（1）①0.15，0.6，1.5；②0.075
（2）解：如图，
设张华的爸爸离家的距离与张华出发时间之间的关系为AB，
设AB的解析式为y=ax+b，将A（8，0）和B（28，1.5）代入，解得
即y=0.075x-0.6；
设CD的解析式为y=cx+d，将C（19，0.6）和D（25，1.5）代入，
解得
即y=0.15x-2.25；
解得
即点E（22，1.05），
即两人相遇时离家的距离是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①1min时离家距离：6÷4×1=1.5（km），
看图可知，13min时离家距离：0.6km；30min时离家距离：1.5km；
②1.5÷20=0.075km/min；
故答案为：（1）①0.15，0.6，1.5；②0.075；
【分析】（1）①先求出张华步行速度，再结合图象即可求得；②根据速度=路程÷时间，即可求得；
（2）先画出张华的爸爸的距离与张华出发时间的图象，再根据待定系数法分别求出AB和CD的解析式，再求交点即可.
23．【答案】（1）解：36a-6b+4=4，∴ b=6a，
∴ 对称轴为直线；
（2）解：点 先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后为点（-1，-1），
将（-1，-1）和（-3，-5）代入，
得解得，
∴
（3）解：∵，∴a，
∴，
将（-1，p），(2，q)分别代入抛物线解析式
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点（-6，4）代入解析式，再求对称轴即可；
（2）先确定平移后的点坐标为（-1，-1），将点（-1，-1）和（-3，-5）代入解析式，求得a和b的值即可；
（3）根据对称轴求得b=-3a，再将代入解析式，求得p和q，再计算pq的乘积即可求得.
24．【答案】（1）证明：∵点A关于BE对称点为F，
∴AB=BF， ∠ABE =∠FBE，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD， ∠A=∠ABC=∠D=90°， AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
又∵AB=BF， AB=CD，
∴BF=CD
∵∠ABE=∠FBE， ∠AEB =∠EBC
∴∠FBE=∠AEB，
∴EF=BF，
∴EF=CD，
在△EFC和△DCE中
，
∴△EFC≌△DCE (ASA)
∴EC = BC
（2）解：①设EG =3x， 则BG =4x， BE =7x，
∵∠EGF =∠BGH， ∠AEB=∠EBC，
∴△EGF~△BGH，
∴，
设EF=3y， 则BH=4y，
∵GF⊥FH， ∠EFC =90°
∴∠EFG+∠CFH=90°， ∠CFH+∠FHC=90°
∴∠EFG=∠FHC，
又∵∠AEB =∠EBC， ∠EGF =∠BGH，
∴∠EFG=∠BHG， ∠BHG =∠FHC且∠ABC =∠EFC = 90°， BC = EC，
∴△BCH≌△ECF (AAS)，
∴CH =EF=3y， BC= 7y，
在Rt△EFG中，
在Rt△BGH中， ，
在Rt△FGH中，；
②∵∠CFH =∠EFG， ∠EFG=∠FHC，
∴△EFG~△FHC，
∴，
设EG = m，则 ，
∵△EGF~△BGH，
设 则 ，
又∵△BCH≌△ECF，
∴CH=EF=1，
在Rt△EFG中 ，
∵，即 ，
解得 即
（3）解：如图：过点F作FP∥BC交BE于点P，
∵FP∥BC，
∴△EFP~△EBC
∴，
又∵EC= BC，
∴EF = FP，
∵FP∥BC，
∴∠PFG=∠BHG，
又∵∠EGF =∠BGH，
∴△EGF~△BGH， △FPM~△HBM
∴，
∵，
把 和EF = FP代入得： ，解得BH =k
设EF = FP =a
∵△EFP ~△EBC， BC = EC，
∴
∴
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】 (1)要证明 可通过证明三角形全等，利用矩形的性质和对称点的性质得到全等的条件。
(2) ①已知 要求 的余弦值，可通过设未知数，利用相似三角形的性质求出相关线段的关系，再根据余弦的定义求解。
②已知 以及 ，可根据相似三角形的性质列出比例式，进而求出EG的长。
(3)通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质以及已知的比例关系 逐步推导得出 与k的关系。
1 / 1浙江省温州市温州市第二中学2024学年第二学期九年级数学开学综合素质检测试题卷
1．（2025九下·温州开学考）在下列数中，最小的数是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-1＜0＜＜π，
∴ 最小的数是-1.
故答案为：B.
【分析】根据负数＜0＜正数即可求得.
2．（2025九下·温州开学考）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两条边的长度分别是和
∴第三条边的长度
即第三条边的长度
只有B选项在此范围内，
故选B
【分析】
利用三角形的三边关系定理，先求出较大边与较小边的和与差的值，下来只要判定所给选项的长度在上述两个数据之间即可．
3．（2025九下·温州开学考）2024年我国新能源汽车产量超过12880000辆，其中12880000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12880000=1.288×107.
故答案为：B.
【分析】将大于10的数表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，即可求得.
4．（2025九下·温州开学考）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
5．（2025九下·温州开学考）若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ m＞1，∴ 2m＞2，m-1＞0，-m＜-1， ，故A，B，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质1可判断B，根据不等式的性质2可判断A和D，根据不等式的性质3可判断C.
6．（2025九下·温州开学考）某车间20名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数，中位数分别是（ ）
日加工零件数 4 5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3
A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．6，6
【答案】A
【知识点】中位数；众数
7．（2025九下·温州开学考）如图是以点为圆心，分别以OA，OB的长为半径的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴=S扇形AOD-S扇形BOC=.
故答案为：D.
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
8．（2025九下·温州开学考）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，
∴与位似比是1：3，
即，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质即可求得.
9．（2025九下·温州开学考）如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：如图，分别过点、作轴，轴，垂足分别为于点、，再延长交的延长线于点
∵ 点，在反比函数的图象上 且，的纵坐标分别是和，
∴，，
∴、
∴
由反比例函数的几何意义可得，
∴，
故选：．
【分析】
由反比例函数图象上点的坐标特征可分别求出A、B两点坐标，则可分别过B、A作y轴的垂线和平行线构造矩形PCOD，显然P点坐标可知，则直角三角形PAB两直角边可求，再由反比例函数的几何意义借助矩形面积和和三角形PAB的面积即可求得三角形OAB的面积．
10．（2025九下·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点是正方形ABCD的中心，连接AO交BE于点，连接DF．记的面积，正方形ABCD的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵ 点O是正方形ABCD的中心，∴ AOC三点共线，设AD=2x，则AF=x，∴ AC=
则，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质可得AC=，根据三角形的面积公式求得，再求出即可.
11．（2025九下·温州开学考）化简 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
12．（2025九下·温州开学考）如图，一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个．
【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设涂上红色的小扇形有x个，
则 =，
∴ x=3.
故答案为：3.
【分析】根据概率的定义列出方程，计算即可求得.
13．（2025九下·温州开学考）如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于的分式方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再进行验根，若整式方程的解使最简公分母等于0，则这个根是增根应舍去，最后再根据验根的情况写出原分式方程的根或无解．
14．（2025九下·温州开学考）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
3 4 5 6 7 8 …
-31 14 41 50 41 …
则表格中的值是 .
【答案】14
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据（5， 41）和（7， 41）可知对称轴为x==6，
∴ x=8和x=5对应的函数值相同，即m=14.
故答案为：14.
【分析】根据二次函数的对称性，即可求得.
15．（2025九下·温州开学考）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点．若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
16．（2025九下·温州开学考）如图，内接于是的直径，是的内心，连接CI，并延长交于点，若，则 ．
【答案】5
【知识点】内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：连接BI，BD，OD，过I作⊥AC，IF⊥BC，IG⊥AB，如图，
∵ I是△ABC的内心，
∴ IE=IF=IG，
∴ CE=CF，BF=BG，AE=AG，
∵ AB为直径，
∴ 四边形CEIF为正方形，
∵ CI=2，∴ CF=CE=，
设AG=x，设AB=，AC=+x，
由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即，
解得x=，
∴ AB=5，
∵ I是△ABC的内心，
∴ ∠ACD=∠BCD=45°，∠CBI=∠ABI，
∴ ∠ABD=45°，
∵ ∠BID=∠BCD+∠CBI，∠DBI=∠ABD+∠ABI，
∴ ∠BID=∠DBI，
∴ ID=BD，
在Rt△BOD中，BD=.
故答案为：5.
【分析】根据三角形的内心和勾股定理求得AB的长，根据圆周角定理的推论∠ABD=45°，根据三角形的外角的性质推出△BDI为等腰三角形可得ID=BD，再根据勾股定理求得BD即可.
17．（2025九下·温州开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2+1-2=1
（2）解：原式==1
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和开立方计算求值即可；
（2）先通分化简括号内的，再将除法转化为乘法计算即可.
18．（2025九下·温州开学考）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解： Δ =22-4×1×（-1）=8＞0，
∴ x=，
∴ x1=-1+，x2=-1-
（2）解：
解①得，x＜3，
解②得，x＞2，
∴
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）先分别解两个不等式的解集，再求其交集即可.
19．（2025九下·温州开学考）如图，在中，于．
（1）求AC的长．
（2）若的面积为4，求的正弦值．
【答案】（1）解：∵ AD⊥BC，
∴ 在Rt△ACD中，tanC=，AD=2，
∴，即CD=3，
∴ AC=
（2）解：∵ △ABC的面积为4，
∴，
∵ AD=2，
∴ BC=4，
∵CD=3，
∴ BD=BC-CD=4-3=1，
∴ AB=，
∴sin∠B=
【知识点】三角形的面积；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据正切值先求得CD，根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）根据三角形的面积公式求得BC，可得BD和AB，再根据正弦的定义求值即可.
20．（2025九下·温州开学考）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（）水油分离实验，（）太空拋物实验.观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图.
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率.
【答案】（1）50
（2）解：50-20-10-5=15（名），即15名学生喜爱实验C，
补齐条形统计图如下
（3）解：树状图：
共有12种等可能结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果数是8种，
∴ P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）5÷10％=50，即共调查了50名学生；
故答案为：50.
【分析】（1）根据喜爱实验D的人数与其所占百分比的比值，即可求得；
（2）用总人数减去喜爱实验A、B和D的人数求得喜爱实验C的人数，再补齐条形统计图即可；
（3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可.
21．（2025九下·温州开学考）如图，在中，，分别以点，点为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点，点，作直线MN，交边AB于点，交边BC于点，过点作交MN于点，连接BE．
（1）求证：．
（2）若四边形ACED是菱形，求的度数．
【答案】（1）∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CF=FB，
∵CE∥DB，
∴∠ECF=∠DBF，
∵∠EFC=∠DFB ，
∴△EFC≌△DFB（AAS）
（2）∵△EFC≌△DFB，
∴CE=DB，
∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CD=DB，CE=EB，
∴CE=CD=DB=EB，
∵ 四边形ACED为菱形，
∴CE=ED
∴CE=ED=CD，DB=DE=EB
∴△CED和△DEB为等边三角形，
∴ ∠CED=∠DEB=60°
∴ ∠CEB=120°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的定义可得CF=FB，根据平行线的性质可得∠ECF=∠DBF，根据ASA判定△EFC≌△DFB即可；
（2）根据全等三角形的性质可得CE=DB，根据垂直平分线的性质可得CD=DB，CE=EB，根据菱形的性质可得CE=ED，根据等边三角形的判定与性质可得∠CED=∠DEB=60°，即可求得.
22．（2025九下·温州开学考）已知张华家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.图中轴表示时间，轴表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张华离开家的时间（min） 1 4 13 30
张华离家的距离（km） ▲ 0.6 ▲ ▲
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ▲ ．
（2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？
【答案】（1）①0.15，0.6，1.5；②0.075
（2）解：如图，
设张华的爸爸离家的距离与张华出发时间之间的关系为AB，
设AB的解析式为y=ax+b，将A（8，0）和B（28，1.5）代入，解得
即y=0.075x-0.6；
设CD的解析式为y=cx+d，将C（19，0.6）和D（25，1.5）代入，
解得
即y=0.15x-2.25；
解得
即点E（22，1.05），
即两人相遇时离家的距离是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①1min时离家距离：6÷4×1=1.5（km），
看图可知，13min时离家距离：0.6km；30min时离家距离：1.5km；
②1.5÷20=0.075km/min；
故答案为：（1）①0.15，0.6，1.5；②0.075；
【分析】（1）①先求出张华步行速度，再结合图象即可求得；②根据速度=路程÷时间，即可求得；
（2）先画出张华的爸爸的距离与张华出发时间的图象，再根据待定系数法分别求出AB和CD的解析式，再求交点即可.
23．（2025九下·温州开学考）已知拋物线．
（1）若抛物线经过点，求该拋物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该拋物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上，求证：．
【答案】（1）解：36a-6b+4=4，∴ b=6a，
∴ 对称轴为直线；
（2）解：点 先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后为点（-1，-1），
将（-1，-1）和（-3，-5）代入，
得解得，
∴
（3）解：∵，∴a，
∴，
将（-1，p），(2，q)分别代入抛物线解析式
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点（-6，4）代入解析式，再求对称轴即可；
（2）先确定平移后的点坐标为（-1，-1），将点（-1，-1）和（-3，-5）代入解析式，求得a和b的值即可；
（3）根据对称轴求得b=-3a，再将代入解析式，求得p和q，再计算pq的乘积即可求得.
24．（2025九下·温州开学考）如图1，点在矩形ABCD的边AD上，连结BE，CE．作点关于BE的对称点，当点在EC上时，分别在BE，BC上取点G，H，使．
（1）求证：．
（2）①若，求的余弦值．
②若与相似，求EG的长．
（3）如图2，连结CG交FH于点，若，求的值．（用含的代数式表示，直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵点A关于BE对称点为F，
∴AB=BF， ∠ABE =∠FBE，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD， ∠A=∠ABC=∠D=90°， AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
又∵AB=BF， AB=CD，
∴BF=CD
∵∠ABE=∠FBE， ∠AEB =∠EBC
∴∠FBE=∠AEB，
∴EF=BF，
∴EF=CD，
在△EFC和△DCE中
，
∴△EFC≌△DCE (ASA)
∴EC = BC
（2）解：①设EG =3x， 则BG =4x， BE =7x，
∵∠EGF =∠BGH， ∠AEB=∠EBC，
∴△EGF~△BGH，
∴，
设EF=3y， 则BH=4y，
∵GF⊥FH， ∠EFC =90°
∴∠EFG+∠CFH=90°， ∠CFH+∠FHC=90°
∴∠EFG=∠FHC，
又∵∠AEB =∠EBC， ∠EGF =∠BGH，
∴∠EFG=∠BHG， ∠BHG =∠FHC且∠ABC =∠EFC = 90°， BC = EC，
∴△BCH≌△ECF (AAS)，
∴CH =EF=3y， BC= 7y，
在Rt△EFG中，
在Rt△BGH中， ，
在Rt△FGH中，；
②∵∠CFH =∠EFG， ∠EFG=∠FHC，
∴△EFG~△FHC，
∴，
设EG = m，则 ，
∵△EGF~△BGH，
设 则 ，
又∵△BCH≌△ECF，
∴CH=EF=1，
在Rt△EFG中 ，
∵，即 ，
解得 即
（3）解：如图：过点F作FP∥BC交BE于点P，
∵FP∥BC，
∴△EFP~△EBC
∴，
又∵EC= BC，
∴EF = FP，
∵FP∥BC，
∴∠PFG=∠BHG，
又∵∠EGF =∠BGH，
∴△EGF~△BGH， △FPM~△HBM
∴，
∵，
把 和EF = FP代入得： ，解得BH =k
设EF = FP =a
∵△EFP ~△EBC， BC = EC，
∴
∴
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】 (1)要证明 可通过证明三角形全等，利用矩形的性质和对称点的性质得到全等的条件。
(2) ①已知 要求 的余弦值，可通过设未知数，利用相似三角形的性质求出相关线段的关系，再根据余弦的定义求解。
②已知 以及 ，可根据相似三角形的性质列出比例式，进而求出EG的长。
(3)通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质以及已知的比例关系 逐步推导得出 与k的关系。
1 / 1
