浙江省温州市实验中学2024-2025学年九年级下学期数学寒假反馈试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025九下·温州开学考）实数0，，7，中，最大的实数是（ ）
A．0 B． C．7 D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：0，-8，7，-6这4个数中，最大的数是：7．
故答案为：C．
【分析】正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数，即可判断得出答案.
2．（2025九下·温州开学考）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：278000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．（2025九下·温州开学考）下列式子运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字母和指数不变，而不是，所以该选项错误；
B、同样依据合并同类项法则，，并非，该选项错误；
C、按照幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，此选项正确；
D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，不是，该选项错误．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
4．（2025九下·温州开学考）小王假期某天5次1分钟跳绳训练成绩分别为121，108，112，139，139，则这5次成绩的中位数是（ ）
A．121 B．112 C．139 D．108
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大进行排序为：108，112，121，139，139．
则中位数为121.
故答案为：A．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
5．（2025九下·温州开学考）关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故方程有两个不相等的实数根，
当时，，
∴不是方程的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据方程根的定义“使方程的左边等于右边的未知数的值就是方程的解”即可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可判断B、C、D三个选项.
6．（2025九下·温州开学考）如图，，为上两点，为直径．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵∠B和∠D都为弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠ADC=25°.
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=25°.
∴∠BOC=180°－25°×2=130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质得∠OCB，即可得到答案.
7．（2025九下·温州开学考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子总数为y两，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得等量关系：7×人数+4＝银子总数；9×人数－8=银子总数.
∵ 若设客人为x人，银子总数为y两，可列方程组 ：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到两个等量关系，再根据设的未知数，即可得到方程.
8．（2025九下·温州开学考）已知，是反比例函数图象上的点，且，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，是反比例函数图象上的点 ，
∴am=-2，bn=-2，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数(k≠0)图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得am=-2，bn=-2，然后根据有理数的乘法法则及m、n的正负可判断出a、b的正负，从而即可得出答案.
9．（2025九下·温州开学考）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，
设，
，
在中，，
解得：，
秋千绳索的长为，
故答案为：A．
【分析】设，则，在中，根据∠的余弦函数求解即可.
10．（2025九下·温州开学考）如图所示的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．射线交边于点P，Q，记的周长为，的周长为．若，则用含k的代数式表示的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设，
∵由四个全等的直角三角形和小正方形拼成大正方形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，由正方形及全等三角形的性质得，，，，，由∠BAF的正切函数推出，则，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，求得，由二直线平行，内错角相等得，，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，进而根据相似三角形周长的比等于相似比可得答案.
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·温州开学考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025九下·温州开学考）若，则 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，
∴分式方程的解为．
故答案为：4．
【分析】方程两边同时乘以x-2约去分母，将原方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可．
13．（2025九下·温州开学考）甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 1，2 2，2 2，3
3 1，3 2，3 3，3
由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
故答案为：．
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数，由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，从而由概率公式即可求解．
14．（2025九下·温州开学考）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
15．（2025九下·温州开学考）如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质得到：，，，，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质推出，，由二直线平行，内错角相等推出，由折叠的性质得到，，，，，，则，由等角对等边得BF=DF；结合角平分线的定义可推出，从而由内错角相等，两直线平行判定，推出；根据有三个角是直角的四边形是矩形及一组邻边相等的矩形是正方形判定四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，求出，据此求解即可得到的长．
16．（2025九下·温州开学考）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 ．
【答案】41
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，当，代入，
得
∴中间大桥洞最高点对应的值为
把代入，
解得：，
则中间大桥洞的宽度为，
设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为
∴
又∵
∴
解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为
故答案为：41．
【分析】首先把x=0代入算出y=36，即桥面的最高点，结合每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4mm，从而得出中间大桥洞最高点对应的y的值为32， 把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，设大圆弧所在圆的圆心为O，半径为R，圆心O到弦的距离为d，再根据勾股定理得到，计算即可求出．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025九下·温州开学考）
（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：原式=
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂的指数和立方根的定义以及绝对值的定义进行化简，再合并即可；
（2）先去括号，再合并同类项，即可得到答案.
18．（2025九下·温州开学考）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，）
【答案】解：如图，过点作于点，
则四边形为矩形，
（米），
在中，，
（米）．
在中，，
（米）．
（米）．
答：亚帆灯塔的高的值为14米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【分析】由于DC的高度和塔底部处的俯角已知，可过点D作塔身AB的垂线段DE，则塔身AB的一部分BE可知，解直角三角形BDE可得DE长，再解直角三角形ADE即可求得塔身AB的剩余部分AE长即可．
19．（2025九下·温州开学考）如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接．
（1）请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ▲ ， ▲ ；（不添加字母和线段）
（2）若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件）
【答案】（1）垂直平分；（答案不唯一）
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵MN垂直平分BC，
∴BE=CE.
∴∠B=∠BCE.
∴∠A=∠ACE.
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由作图可得：直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴MN垂直平分BC，
∵点E为直线MN上一点，
∴BE=CE.
故答案为：MN垂直平分BC；BE=CE.
【分析】（1）根据作图痕迹可得直线MN是线段BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可即可得到结论：
（2）由直角三角形两锐角互余和角的和差得∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.由线段垂直平分线的性质得B=∠BCE，继而可得∠A=∠ACE，即可得到结论.
20．（2025九下·温州开学考）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x为在校锻炼时间）：A组：；B组：；C组：；D组：．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受调查学生的总人数为 人，A组的人数是 人．
（2）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，每天在校体育锻炼时间达到国家规定的人数约有多少？
【答案】（1）250；50
（2）解：10000×（48%+8%）=5600（人）
故达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得：总人数为：60÷24%=250（人）.
A组的人数为：250－60－120－20=50（人）.
故答案为：250；50.
【分析】（1）用B组人数÷所占百分比即可得总人数，用总人数－各组的人数即可得到A组的人数.
（2）用10000ד中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”的人数占比，即可得到答案.
21．（2025九下·温州开学考）如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点O为对角线BD的中点，
∴OB=OD.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（SAS）
∴∠ODE=∠OBF.
∴AD//BC，
又∵AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD//BC，于点E，
∴EF⊥BC，
∴∠OFC=90°.
∴∠FOC+∠FCO=90°.
∵∠ODE=∠OBF，∠FOC=∠ODA，
∴∠FOC=∠OBF.
∴∠OBF+∠FCO=90°，即OC⊥BD.
∴OC为BD的垂直平分线，
∴BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵菱形ABCD，
∴BC=BA=1.
∵OD=OB，OE=OF，BD=3EF
∴OB=3OF.
∵OC⊥BD，
∴∠OFC=∠COB=90°，
又∵∠FOC=∠OBF，
∴△OFC∽△BOC.
∴，
∴.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；四边形的综合；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△DOE≌△BOF，可得∠ODE=∠OBF，继而可得AD//BC，于是可利用平行四边形的定义证得“四边形ABCD是平行四边形”.再证明EF⊥BC，结合，可证得OC⊥BD，即可得OC垂直平分BD，于是可根据垂直平分线的性质得BC=CD，即可得到结论．
（2）由可得OB=3OF.证明△OFC∽△BOC，即可利用相似三角形的性质得到结论.
22．（2025九下·温州开学考）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中线段分别表示甲、乙两人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后，甲行走多少时间与乙相遇？
（3）点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200米，求P，N两地的距离．
【答案】（1）解：设所在直线的表达式为：，
把代入，
得
解得：
∴
（2）解：设所在直线的表达式为：，
把代入，得
解得：
∴
解得
∴甲行走分钟与乙相遇．
（3）解： ①甲在乙前面200米
解得：，
把代入得
∴距离800米，
∴
∴距离200米；
②甲在乙后面200米
解得：，
把代入得
∴
∴距离米，
∴ P，N两地的距离为200米或米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线OA的解析式，直线BC与OA的解析式求解得出交点横坐标即可；
（3）分情况求解，甲在乙前面200米以及甲在乙后面200米，分别列式计算即可．
（1）解：设所在直线的表达式为：
把代入，
解得：
∴
（2）解：设所在直线的表达式为：
把代入，
解得：
∴
解得
∴甲行走分钟与乙相遇．
（3）解： 根据题意
①甲在乙前面200米
解得：，
把代入得
∴距离800米，
∴
∴距离200米．
②甲在乙后面200米
解得：，
把代入得
∴
∴距离米．
23．（2025九下·温州开学考）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．
（1）求原抛物线的函数表达式．
（2）已知点，在抛物线上．
①求证：；
②若，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，
∴．
∴．
∴原抛物线的函数表达式为；
（2）解：①证明：由（1）抛物线为，
∵点，在上，
∴，．
∴
．
∵对于任意的实数m都有，
∴；
②或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）②解：由①知，．
∵
∴，
∴，
∴或．
【分析】（1）首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“上加下减”可得新抛物线为，然后将点（1，5）代入新抛物线的解析式算出a的值，即可得到原抛物线的解析式；
（2）①把P、Q两点的坐标分别代入（1）所求的抛物线的解析式用含m的式子表示出y1与y2，然后计算y1+y2，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出结论；
②由可得，代入①中所求的y1与y2可得关于字母m的不等式组，求解即可.
（1）解：由题意得，
，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，
∴．
∴．
∴原抛物线的函数表达式为；
（2）①证明：由（1）抛物线为，
∵点，在上，
∴，．
∴
．
∵对于任意的实数m都有，
∴；
②解：由①知，．
∵
∴，
∴，
∴或．
24．（2025九下·温州开学考）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，，．
（1）求证：．
（2）若点为的中点．
①求证：．
②若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得，，结合已知推出，从而利用那个“AAS”可证，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）①由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，再根据全等三角形的对应边相等及等弧所对的弦相等证出，，即可得证；
②设，，得出，利用，得，得出，由等弧所对的圆周角相等及已知可推出，由内错角相等，两直线平行得出，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，进而根据相似三角形对应边成比例得出即可求解．
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省温州市实验中学2024-2025学年九年级下学期数学寒假反馈试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025九下·温州开学考）实数0，，7，中，最大的实数是（ ）
A．0 B． C．7 D．
2．（2025九下·温州开学考）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·温州开学考）下列式子运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025九下·温州开学考）小王假期某天5次1分钟跳绳训练成绩分别为121，108，112，139，139，则这5次成绩的中位数是（ ）
A．121 B．112 C．139 D．108
5．（2025九下·温州开学考）关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
6．（2025九下·温州开学考）如图，，为上两点，为直径．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·温州开学考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子总数为y两，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·温州开学考）已知，是反比例函数图象上的点，且，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·温州开学考）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·温州开学考）如图所示的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．射线交边于点P，Q，记的周长为，的周长为．若，则用含k的代数式表示的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·温州开学考）因式分解： .
12．（2025九下·温州开学考）若，则 ．
13．（2025九下·温州开学考）甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是 ．
14．（2025九下·温州开学考）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 ．
15．（2025九下·温州开学考）如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为 ．
16．（2025九下·温州开学考）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 ．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025九下·温州开学考）
（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2025九下·温州开学考）象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，）
19．（2025九下·温州开学考）如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接．
（1）请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ▲ ， ▲ ；（不添加字母和线段）
（2）若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件）
20．（2025九下·温州开学考）国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（x为在校锻炼时间）：A组：；B组：；C组：；D组：．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受调查学生的总人数为 人，A组的人数是 人．
（2）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，每天在校体育锻炼时间达到国家规定的人数约有多少？
21．（2025九下·温州开学考）如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）若，，求的长．
22．（2025九下·温州开学考）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中线段分别表示甲、乙两人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后，甲行走多少时间与乙相遇？
（3）点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200米，求P，N两地的距离．
23．（2025九下·温州开学考）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．
（1）求原抛物线的函数表达式．
（2）已知点，在抛物线上．
①求证：；
②若，直接写出m的取值范围．
24．（2025九下·温州开学考）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，，．
（1）求证：．
（2）若点为的中点．
①求证：．
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：0，-8，7，-6这4个数中，最大的数是：7．
故答案为：C．
【分析】正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数，即可判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：278000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字母和指数不变，而不是，所以该选项错误；
B、同样依据合并同类项法则，，并非，该选项错误；
C、按照幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，此选项正确；
D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，不是，该选项错误．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大进行排序为：108，112，121，139，139．
则中位数为121.
故答案为：A．
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故方程有两个不相等的实数根，
当时，，
∴不是方程的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据方程根的定义“使方程的左边等于右边的未知数的值就是方程的解”即可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可判断B、C、D三个选项.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵∠B和∠D都为弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠ADC=25°.
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=25°.
∴∠BOC=180°－25°×2=130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质得∠OCB，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得等量关系：7×人数+4＝银子总数；9×人数－8=银子总数.
∵ 若设客人为x人，银子总数为y两，可列方程组 ：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到两个等量关系，再根据设的未知数，即可得到方程.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，是反比例函数图象上的点 ，
∴am=-2，bn=-2，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数(k≠0)图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k可得am=-2，bn=-2，然后根据有理数的乘法法则及m、n的正负可判断出a、b的正负，从而即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，
设，
，
在中，，
解得：，
秋千绳索的长为，
故答案为：A．
【分析】设，则，在中，根据∠的余弦函数求解即可.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设，
∵由四个全等的直角三角形和小正方形拼成大正方形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，由正方形及全等三角形的性质得，，，，，由∠BAF的正切函数推出，则，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，求得，由二直线平行，内错角相等得，，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，进而根据相似三角形周长的比等于相似比可得答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，
∴分式方程的解为．
故答案为：4．
【分析】方程两边同时乘以x-2约去分母，将原方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 1，2 2，2 2，3
3 1，3 2，3 3，3
由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
故答案为：．
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数，由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，从而由概率公式即可求解．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质得到：，，，，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质推出，，由二直线平行，内错角相等推出，由折叠的性质得到，，，，，，则，由等角对等边得BF=DF；结合角平分线的定义可推出，从而由内错角相等，两直线平行判定，推出；根据有三个角是直角的四边形是矩形及一组邻边相等的矩形是正方形判定四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，求出，据此求解即可得到的长．
16．【答案】41
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，当，代入，
得
∴中间大桥洞最高点对应的值为
把代入，
解得：，
则中间大桥洞的宽度为，
设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为
∴
又∵
∴
解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为
故答案为：41．
【分析】首先把x=0代入算出y=36，即桥面的最高点，结合每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4mm，从而得出中间大桥洞最高点对应的y的值为32， 把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，设大圆弧所在圆的圆心为O，半径为R，圆心O到弦的距离为d，再根据勾股定理得到，计算即可求出．
17．【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：原式=
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂的指数和立方根的定义以及绝对值的定义进行化简，再合并即可；
（2）先去括号，再合并同类项，即可得到答案.
18．【答案】解：如图，过点作于点，
则四边形为矩形，
（米），
在中，，
（米）．
在中，，
（米）．
（米）．
答：亚帆灯塔的高的值为14米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【分析】由于DC的高度和塔底部处的俯角已知，可过点D作塔身AB的垂线段DE，则塔身AB的一部分BE可知，解直角三角形BDE可得DE长，再解直角三角形ADE即可求得塔身AB的剩余部分AE长即可．
19．【答案】（1）垂直平分；（答案不唯一）
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵MN垂直平分BC，
∴BE=CE.
∴∠B=∠BCE.
∴∠A=∠ACE.
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由作图可得：直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴MN垂直平分BC，
∵点E为直线MN上一点，
∴BE=CE.
故答案为：MN垂直平分BC；BE=CE.
【分析】（1）根据作图痕迹可得直线MN是线段BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可即可得到结论：
（2）由直角三角形两锐角互余和角的和差得∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.由线段垂直平分线的性质得B=∠BCE，继而可得∠A=∠ACE，即可得到结论.
20．【答案】（1）250；50
（2）解：10000×（48%+8%）=5600（人）
故达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得：总人数为：60÷24%=250（人）.
A组的人数为：250－60－120－20=50（人）.
故答案为：250；50.
【分析】（1）用B组人数÷所占百分比即可得总人数，用总人数－各组的人数即可得到A组的人数.
（2）用10000ד中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”的人数占比，即可得到答案.
21．【答案】（1）证明：∵点O为对角线BD的中点，
∴OB=OD.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（SAS）
∴∠ODE=∠OBF.
∴AD//BC，
又∵AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD//BC，于点E，
∴EF⊥BC，
∴∠OFC=90°.
∴∠FOC+∠FCO=90°.
∵∠ODE=∠OBF，∠FOC=∠ODA，
∴∠FOC=∠OBF.
∴∠OBF+∠FCO=90°，即OC⊥BD.
∴OC为BD的垂直平分线，
∴BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵菱形ABCD，
∴BC=BA=1.
∵OD=OB，OE=OF，BD=3EF
∴OB=3OF.
∵OC⊥BD，
∴∠OFC=∠COB=90°，
又∵∠FOC=∠OBF，
∴△OFC∽△BOC.
∴，
∴.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；四边形的综合；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△DOE≌△BOF，可得∠ODE=∠OBF，继而可得AD//BC，于是可利用平行四边形的定义证得“四边形ABCD是平行四边形”.再证明EF⊥BC，结合，可证得OC⊥BD，即可得OC垂直平分BD，于是可根据垂直平分线的性质得BC=CD，即可得到结论．
（2）由可得OB=3OF.证明△OFC∽△BOC，即可利用相似三角形的性质得到结论.
22．【答案】（1）解：设所在直线的表达式为：，
把代入，
得
解得：
∴
（2）解：设所在直线的表达式为：，
把代入，得
解得：
∴
解得
∴甲行走分钟与乙相遇．
（3）解： ①甲在乙前面200米
解得：，
把代入得
∴距离800米，
∴
∴距离200米；
②甲在乙后面200米
解得：，
把代入得
∴
∴距离米，
∴ P，N两地的距离为200米或米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线OA的解析式，直线BC与OA的解析式求解得出交点横坐标即可；
（3）分情况求解，甲在乙前面200米以及甲在乙后面200米，分别列式计算即可．
（1）解：设所在直线的表达式为：
把代入，
解得：
∴
（2）解：设所在直线的表达式为：
把代入，
解得：
∴
解得
∴甲行走分钟与乙相遇．
（3）解： 根据题意
①甲在乙前面200米
解得：，
把代入得
∴距离800米，
∴
∴距离200米．
②甲在乙后面200米
解得：，
把代入得
∴
∴距离米．
23．【答案】（1）解：由题意得，，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，
∴．
∴．
∴原抛物线的函数表达式为；
（2）解：①证明：由（1）抛物线为，
∵点，在上，
∴，．
∴
．
∵对于任意的实数m都有，
∴；
②或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）②解：由①知，．
∵
∴，
∴，
∴或．
【分析】（1）首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“上加下减”可得新抛物线为，然后将点（1，5）代入新抛物线的解析式算出a的值，即可得到原抛物线的解析式；
（2）①把P、Q两点的坐标分别代入（1）所求的抛物线的解析式用含m的式子表示出y1与y2，然后计算y1+y2，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出结论；
②由可得，代入①中所求的y1与y2可得关于字母m的不等式组，求解即可.
（1）解：由题意得，
，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，
∴．
∴．
∴原抛物线的函数表达式为；
（2）①证明：由（1）抛物线为，
∵点，在上，
∴，．
∴
．
∵对于任意的实数m都有，
∴；
②解：由①知，．
∵
∴，
∴，
∴或．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得，，结合已知推出，从而利用那个“AAS”可证，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）①由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，再根据全等三角形的对应边相等及等弧所对的弦相等证出，，即可得证；
②设，，得出，利用，得，得出，由等弧所对的圆周角相等及已知可推出，由内错角相等，两直线平行得出，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，进而根据相似三角形对应边成比例得出即可求解．
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1
