人教A版高二下册选择性必修第三册7.1.2全概率公式 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教A版高二下册选择性必修第三册7.1.2全概率公式 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 556.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-31 22:17:58 | ||
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文档简介
人教A版高二下册选择性必修第三册7.1.2全概率公式教学设计
课题 7.1.2 全概率公式
课型 新授课 课时 2
学习目标 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及其简单应用.
学习重点 利用全概率公式计算概率，全概率公式及其应用.
学习难点 理解全概率公式:理解完备事件组的含义和作用。理解全概率公式的推导过程。 应用全概率公式:准确划分完备事件组。选择合适的条件概率进行计算。 解决实际问题:将实际问题抽象为概率模型。理解题意，准确设定事件和条件。
学情分析 一、学生已有知识基础 已掌握条件概率的概念和计算方法。理解互斥事件和独立事件的概念。具备一定的分类讨论思想。 对条件概率的理解可能不够深入，影响全概率公式的应用。对复杂事件的分析能力有限，难以准确划分完备事件组。对公式的推导过程可能缺乏理解，导致记忆困难。 二、学生认知特点 抽象思维发展:高中生抽象逻辑思维逐渐成熟，能够理解全概率公式的推导过程。但对公式的内涵和应用场景可能理解不够透彻。 学习兴趣:部分学生对概率的实际应用感兴趣，如抽奖、天气预报等。但可能对理论推导和公式证明缺乏耐心。 学习习惯:部分学生习惯于机械记忆公式，缺乏主动思考和探究。部分学生缺乏将数学知识应用于实际问题的意识和能力。
核心知识 全概率公式、贝叶斯公式
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
环节一 创设情境，引入课题 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一个求复杂事件概率的问题． 思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是．但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如图7.1-2所示， 事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 环节二 观察分析，感知概念 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ． 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【设计意图】通过概念辨析，让学生深化对全概率公式的理解，并归纳总结出来全概率是用来解决“由因求果”类问题的。 例 4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥．根据题意得 ，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7． 【设计意图】总结全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B（结果事件）看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度 (即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 环节三 抽象概括，形成概念 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 解：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得 ，，， ，． 由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． ． 类似地，可得 ，． 环节四 辨析理解 深化概念 思考：例5中，的实际意义是什么 是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率．当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率．如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额． 将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式． *贝叶斯公式(Bayes formula)：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 ． 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯 (T. Bayes, 1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系． 标有*号的内容为选学内容，不作考试要求． 环节五 概念应用，巩固内化 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 分析：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”．为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示． 解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，． （1） ，． （2）． 环节六 归纳总结,反思提升 1.教师可以设置以下问题让学生思考： (1)全概率公式中将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么？ (2)应用全概率公式计算概率的步骤是什么？ (3)条件概率与贝叶斯公式有什么联系？ 2.本节课学习的概念有哪些？ (1)全概率公式． (2)贝叶斯公式． 3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方法归纳：化整为零、转化化归． 常见误区：事件拆分不合理或不全面． 课堂练习： 1、设1 000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为（ A ） A. 0.2 B. 0.8 C. 0.25 D. 0.75 2．某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为( C ) A. 0.285 B.0.3625 C.0.5275 D. 0.5 3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为( C ) A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88 学生思考问题，引出本节新课内容. 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课. 学生根据情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式. 利用情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式，培养学生探索的精神. 利用例题引导学生掌握并灵活运用全概率公式与贝叶斯公式解决实际相关计算问题. 加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题. 【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，结合集合，获得全概率概念与公式的过程，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能．设“任取一零件为次品”，“零件为第 i台车床加工”，如图7.1-3所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率． 【设计意图】会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 【设计意图】让学生理解贝叶斯公式是解决“执果寻因”类的问题，并理解其推导过程，培养学生分析问题的能力。 【设计意图】通过练习，巩固本节所学知识，培养学生学以致用、解决问题的能力，提高学生的数学运算、逻辑推理等能力，发展学生直观想象、数学建模的核心素养。 【设计意图】通过问题设计，让学生归纳总结本节课学 习的内容. 通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用. 通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
板书设计 §7.1.2 全概率公式 一、新知导入 三、例题讲解 二、新知讲解 四、课堂练习 1.全概率公式 五、拓展提高 2.贝叶斯公式 六、课堂总结 七、作业布置
作业设计 教材第53页习题7.1第5,7,8题. 【设计意图】让学生进一步巩固本节所学内容，提高学以致用、解决问题的能力。
教学反思 注重概念理解:具体例子和直观图示帮助学生理解全概率公式。引导学生理解完备事件组的含义和作用。 加强公式应用:设计层次递进的练习题，帮助学生掌握公式应用。引导学生总结不同类型题目的解题思路。 联系实际生活:选择贴近学生生活的例子，激发学习兴趣。引导学生运用全概率公式解决实际问题。 培养数学思维:鼓励学生独立思考，探究全概率公式的本质。引导学生体会数学的严谨性和逻辑性。 在讲解全概率公式之前，可以先复习条件概率和完备事件组的概念。通过具体的例子，引导学生理解全概率公式的推导过程和应用场景。设计不同类型的练习题，帮助学生掌握全概率公式的应用。鼓励学生将全概率公式应用于实际问题，提高解决问题的能力。 例如:可以使用抽奖、天气预报等生活中的例子来讲解全概率公式。可以设计一些与生活相关的练习题，例如计算某种疾病的患病率、某种产品的合格率等。可以引导学生利用全概率公式解决一些实际问题，例如预测天气、评估风险等。
课题 7.1.2 全概率公式
课型 新授课 课时 2
学习目标 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及其简单应用.
学习重点 利用全概率公式计算概率，全概率公式及其应用.
学习难点 理解全概率公式:理解完备事件组的含义和作用。理解全概率公式的推导过程。 应用全概率公式:准确划分完备事件组。选择合适的条件概率进行计算。 解决实际问题:将实际问题抽象为概率模型。理解题意，准确设定事件和条件。
学情分析 一、学生已有知识基础 已掌握条件概率的概念和计算方法。理解互斥事件和独立事件的概念。具备一定的分类讨论思想。 对条件概率的理解可能不够深入，影响全概率公式的应用。对复杂事件的分析能力有限，难以准确划分完备事件组。对公式的推导过程可能缺乏理解，导致记忆困难。 二、学生认知特点 抽象思维发展:高中生抽象逻辑思维逐渐成熟，能够理解全概率公式的推导过程。但对公式的内涵和应用场景可能理解不够透彻。 学习兴趣:部分学生对概率的实际应用感兴趣，如抽奖、天气预报等。但可能对理论推导和公式证明缺乏耐心。 学习习惯:部分学生习惯于机械记忆公式，缺乏主动思考和探究。部分学生缺乏将数学知识应用于实际问题的意识和能力。
核心知识 全概率公式、贝叶斯公式
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
环节一 创设情境，引入课题 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一个求复杂事件概率的问题． 思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是．但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如图7.1-2所示， 事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得 ． 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 环节二 观察分析，感知概念 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ． 我们称上面的公式为全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【设计意图】通过概念辨析，让学生深化对全概率公式的理解，并归纳总结出来全概率是用来解决“由因求果”类问题的。 例 4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥．根据题意得 ，， 由全概率公式，得 ． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7． 【设计意图】总结全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B（结果事件）看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度 (即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 环节三 抽象概括，形成概念 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 解：设“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥．根据题意得 ，，， ，． 由全概率公式，得 ． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率． ． 类似地，可得 ，． 环节四 辨析理解 深化概念 思考：例5中，的实际意义是什么 是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率．当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率．如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额． 将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式． *贝叶斯公式(Bayes formula)：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 ． 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯 (T. Bayes, 1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系． 标有*号的内容为选学内容，不作考试要求． 环节五 概念应用，巩固内化 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 分析：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”．为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示． 解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，． （1） ，． （2）． 环节六 归纳总结,反思提升 1.教师可以设置以下问题让学生思考： (1)全概率公式中将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么？ (2)应用全概率公式计算概率的步骤是什么？ (3)条件概率与贝叶斯公式有什么联系？ 2.本节课学习的概念有哪些？ (1)全概率公式． (2)贝叶斯公式． 3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方法归纳：化整为零、转化化归． 常见误区：事件拆分不合理或不全面． 课堂练习： 1、设1 000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为（ A ） A. 0.2 B. 0.8 C. 0.25 D. 0.75 2．某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为( C ) A. 0.285 B.0.3625 C.0.5275 D. 0.5 3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为( C ) A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88 学生思考问题，引出本节新课内容. 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课. 学生根据情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式. 利用情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式，培养学生探索的精神. 利用例题引导学生掌握并灵活运用全概率公式与贝叶斯公式解决实际相关计算问题. 加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题. 【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，结合集合，获得全概率概念与公式的过程，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能．设“任取一零件为次品”，“零件为第 i台车床加工”，如图7.1-3所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率． 【设计意图】会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 【设计意图】让学生理解贝叶斯公式是解决“执果寻因”类的问题，并理解其推导过程，培养学生分析问题的能力。 【设计意图】通过练习，巩固本节所学知识，培养学生学以致用、解决问题的能力，提高学生的数学运算、逻辑推理等能力，发展学生直观想象、数学建模的核心素养。 【设计意图】通过问题设计，让学生归纳总结本节课学 习的内容. 通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用. 通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
板书设计 §7.1.2 全概率公式 一、新知导入 三、例题讲解 二、新知讲解 四、课堂练习 1.全概率公式 五、拓展提高 2.贝叶斯公式 六、课堂总结 七、作业布置
作业设计 教材第53页习题7.1第5,7,8题. 【设计意图】让学生进一步巩固本节所学内容，提高学以致用、解决问题的能力。
教学反思 注重概念理解:具体例子和直观图示帮助学生理解全概率公式。引导学生理解完备事件组的含义和作用。 加强公式应用:设计层次递进的练习题，帮助学生掌握公式应用。引导学生总结不同类型题目的解题思路。 联系实际生活:选择贴近学生生活的例子，激发学习兴趣。引导学生运用全概率公式解决实际问题。 培养数学思维:鼓励学生独立思考，探究全概率公式的本质。引导学生体会数学的严谨性和逻辑性。 在讲解全概率公式之前，可以先复习条件概率和完备事件组的概念。通过具体的例子，引导学生理解全概率公式的推导过程和应用场景。设计不同类型的练习题，帮助学生掌握全概率公式的应用。鼓励学生将全概率公式应用于实际问题，提高解决问题的能力。 例如:可以使用抽奖、天气预报等生活中的例子来讲解全概率公式。可以设计一些与生活相关的练习题，例如计算某种疾病的患病率、某种产品的合格率等。可以引导学生利用全概率公式解决一些实际问题，例如预测天气、评估风险等。