苏教版高中数学必修第二册-9.2.2向量的数乘-专项训练（含解析）

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苏教版高中数学必修第二册-9.2.2向量的数乘-专项训练
[A　基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反　　 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
3．(多选)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值可以是(　　)
A．－1　　 B．
C．4 D．3
4．已知a，b是不共线的非零向量，＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
5．如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
7．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__________．
8．已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为__________．
9．已知任意两个非零向量a，b，若平面内O，A，B，C四点满足＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.请判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由．
10．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
[B　能力提升]
11．(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(　　)
A．＝2 B．＋＋＝0
C．＝＋＋ D．＝＝
12．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
13.如图，O为直线A0A2 021外一点，若A0，A1，…，A2 021中任意两相邻两点的距离相等，设OA0＝a，OA2 021＝b，用a，b 表示OA0＋OA1＋…＋OA2 021，其结果为__________．
14．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边的中点，O在线段DE上，且满足＋2＋3＝0，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．
[C　拓展探究]
15．设，不共线，且＝a＋bOB(a，b∈R).
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由.
参考答案
[A　基础达标]
解析：选C．当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C．
2．解析：选B．因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0.所以＝－.所以＝.故选B．
3．解析：选AD．因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
4．解析：选A．因为＝＋＋，所以＝＋＋＝2，
因为＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且||≠||，所以四边形ABCD是梯形，故选A．
5．解析：选C．因为＝＋＝＋＝＋＝＋＝－＋，
所以λ＝－，μ＝.故λ＋μ＝. 故选C．
6．解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0).
答案：－4
8．解析：＋＋＝－＋－＋－＝0，所以＝＋，因为D为△ABC的边BC中点，所以＝2，如图，D为AP的中点；
所以＝－2，又＝λ，所以λ＝－2.
答案：－2
9．解：A，B，C三点共线．理由如下：因为＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b，
所以＝－＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
同理＝－＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
所以＝2，所以∥，
所以向量与共线，
所以A，B，C三点共线．
10．解：(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
[B　能力提升]
11．解析：选ABC．如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG.
对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确；
对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确；
对于C，＝3＝3(－)＝3(－)＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确；
对于D，＝＝显然不正确．故选ABC．
12．解析：选AB．对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，
所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；
对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；
对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0则不能使a，b共线，故C不正确；
对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；
故选AB．
13.解析：如图：
由题意可知，A0A1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021＝A0A2 021，
所以OA0＋OA1＋OA2＋…＋OA2 021＝OA0＋(OA0＋A0A1)＋(OA0＋A0A2)＋…＋(OA0＋A0A2 021)＝OA0＋(OA0＋A0A2 021)＋(OA0＋A0A2 021)＋…＋(OA0＋×A0A2 021)＋(OA0＋A0A2 021)
＝2 022OA0＋(＋＋…＋)A0A2 021
＝2 022OA0＋1 011A0A2 021
＝2 022OA0＋1 011(OA2 021－OA0)
＝1 011(OA0＋OA2 021)＝1 011(a＋b).
答案：1 011(a＋b)
14．解：如图，
因为＋2＋3＝＋2＝2＋4＝0，
所以＝2，所以DE＝3DO.
又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO，
所以S△ABC＝4S△CDE＝4×3S△CDO＝12×S△BOC＝6S△BOC＝6×2＝12，即△ABC的面积为12.
[C　拓展探究]
15．解：(1)证明：当a＝，b＝时，
＝＋，
所以(－)＝(－)，
即2＝，
所以与共线，又与有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，
即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且，不共线，
则所以a＋b＝1(定值).
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