苏教版高中数学必修第二册-9.2.3向量的数量积-专项训练（含解析）

高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享
苏教版高中数学必修第二册-9.2.3向量的数量积-专项训练
[A　基础达标]
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　)
A．　　 B．　　
C．3 D．5
2．已知向量a，b的夹角为60°，a·b＝，＝3，则＝(　　)
A． B．1
C．3 D．2
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知非零向量m，n满足4＝3，cos 〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
5．P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
6．已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为，则向量(e2－e1)·e2的值为________．
7．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
8．已知平面向量a，b 满足·b＝2，且＝1，＝2，则＝__________．
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
[B　能力提升]
11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
12．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中＝1，则下列结论正确的有(　　)
A．·＝－
B．＋＝－
C．·＝·
D．在向量上的投影向量的模为
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．
14．在△ABC中，满足⊥，M是BC中点．
(1)若＝，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且＝＝，求·＋·的最小值．
[C　拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．解析：选B．a·b＝|a||b|cos 60°＝，又|b|＝3，所以|a|＝1.故选B．
3．解析：选C．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos 〈a，b〉＝3，所以cos 〈a，b〉＝－.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4．解析：选B．因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，所以tn·m＋n2＝0，
则t|n||m|cos 〈m，n〉＋|n|2＝0，因为4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，
所以t|n|·|n|·＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B．
5．解析：选D．由·＝·得，·(－)＝0，即·＝0，所以PB⊥CA.
同理，PA⊥BC，PC⊥AB，所以P是△ABC的垂心．
6．解析：由题意可知，(e2－e1)·e2＝e－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cos ＝22－1×2×cos ＝3.
答案：3
7．解析：因为·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
8．解析：因为|a|＝1，|b|＝2，·b＝a·b＋b2＝a·b＋22＝2，所以a·b＝－2，
所以|a＋b|2＝2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×＋22＝1，因此，|a＋b|＝1.
答案：1
9．解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a||b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，
所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝.
10．解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)由题意易知a·b＝|a||b|cos θ＝－1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0.
所以λ＝.
[B　能力提升]
11．解析：选D．由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
12．解析：选AB．题图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，
对于A：·＝1×1×cos ＝－，故正确．
对于B：＋＝＝－，故正确．
对于C：因为||＝||，||＝||，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于D：在向量上的投影向量的模为|||cos |≠，故错误．
故选AB．
13．解析：由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·＝·(－)
＝·(－)＝·＋2－2
＝||||cos 120°＋||2－||2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
14．解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，
则cos θ＝，
令||＝||＝a, cos θ＝＝.
(2)因为||＝||＝，所以||＝1，
设||＝x，则||＝1－x.
而＋＝2，
所以·＝2· ＝2||·||cos π＝2x2－2x＝22－.
当且仅当x＝时取得最小值， ·＋·的最小值是－.
[C　拓展探究]
15．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0.
由＝2，
得＝，＝＝－.
·＝·
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，所以18－·＝6.
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.
高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享