苏教版高中数学必修第二册-9.3.1平面向量基本定理-专项训练（含解析）

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苏教版高中数学必修第二册-9.3.1平面向量基本定理-专项训练
[A　基础达标]
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　)
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
3．已知e1，e2为基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3
C．－2 D．3
4．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝－
5．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，＝，＝，连接AC，MN交于P点．若＝λ，则λ的值为(　　)
A． B．
C． D．
6．已知a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋ub，求λ，u的值．
10．已知e，f为两个不共线的向量，在四边形ABCD中，已知＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
[B　能力提升]
11．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ
D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
12.如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)
A．　　 B．
C．1 D．2
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝__________．
14.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
[C　拓展探究]
15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选D．不共线的两个向量可以作为平面的一组基底．
对于A，e2－e1＝－(e1－e2)不满足；对于B，2e1－e2＝2(e1－e2)不满足；
对于C，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)不满足；故选D．
2．解析：选A．因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A．
3．解析：选A．＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2).又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2.
4．解析：选ABD．＝＋＝＋，A正确；
＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；
＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；
＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．
故选ABD．
5．解析：选C．因为＝，＝，
所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.
因为M，N，P三点共线．
所以λ＋λ＝1.
解得λ＝.
6．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．解析：＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0.所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．解析：因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋.
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
9．解：(1)证明：假设a＝λb (λ∈R)，由e1，e2不共线，得
所以λ不存在，故a，b不共线，可以作为一组基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋ub，得4e1－3e2＝λa＋ub＝λ(e1－2e2)＋u(e1＋3e2)
＝(λ＋u)e1＋(－2λ＋3u)e2，
所以解得
10．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)
＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2，
所以与同方向且的长度为的长度的2倍．
所以在四边形ABCD中，AD∥BC且AD≠BC.
所以四边形ABCD是梯形．
[B　能力提升]
11．解析：选BC．由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确．
故选BC．
12.解析：选C．由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)
＝＋＝＋.
因为＝x＋y，所以x＋y＝＋.
因为与不共线，所以由平面向量基本定理得
所以3x－2y＝3×－2×＝1.故选C．
13．解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝ λ＝－λ＋λ，
所以则＝.
答案：
14.解析：由题意得＝a＋b(a，b∈(0，＋∞)且00).由－aλ<0，得x∈(－∞，0).
又由＝x＋y，知0当x＝－时，有0<－＋y<1，解得答案：(－∞，0)　
[C　拓展探究]
15.解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b.
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
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