小升初数学专项提优训练：循环小数
一、循环小数与分数的互化
1．（【小白鸥-情境题】数学苏教版五上主题情境 第五单元 16 第五单元复习练） 纯循环小数是从十分位开始循环的小数。纯循环小数化为分数，分数的分子是循环节组成的数，循环节有几位数字，转化的分母就有几个9。纯循环小数的整数部分作为带分数的整数部分。如：纯循环小数2.45，小数的整数部分2作为带分数的整数部分，循环节45 作为分子，循环节有2个数字，所以分母有2个9，即分母为99，所以
（1）补全下面的证明过程：
=①
②
由②-①得
所以 。
（2）将下面的纯循环小数化成分数。
2．（一中） 循环小数化分数： = ， =
3．（2023.10.7·十一中）纯循环小数 写成最简分数时， 分子和分母的和是58 ， 则三位数 。
二、循环小数计算
4．（2024.3.6·鲁巴）
5．（2022六上·竞赛）计算： （结果写成分数形式）
6．（2023.11.3·十一中）
7．（一中）
8．（宏帆八中）辉辉将乘以一个数时，把看成了1.23，使乘积比正确结果减少0.3，正确结果是 。
三、循环小数与周期问题的结合
9．（2024·都昌）无限循环小数0.33453345……的小数点后第15位上的数字是 ，第30位上的数字是 。
10．16÷37=0.432432…
（1）商的小数点后第 725 位上的数字是多少？
（2）商的小数部分前 100 个数字之和是多少？
11． 一个循环小数是9.5604604…，它的小数部分第2024 位上的数字是几？
12．（【实验班提优训练】数学五下学霸攻略 4分数的意义和性质）把化成小数后，小数点后面第2019位数字是几？小数部分前2019个数字之和是多少？
13．（2024·广州）循环小数和0.432相乘，乘积也是一个循环小数，它的小数点后第2016位是( )。
A．1 B．3 C．6 D．9
14．（2022六上·竞赛） 和化成循环小数后第100位上的数字之和是 。
15．（2022六上·竞赛）真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a是多少？
答案解析部分
1．【答案】（1）；5；
（2）
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
2．【答案】；
【知识点】循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【解答】解：由于是纯循环小数，直接应用公式：，
由于是混循环小数，应用公式：；
故答案为：；。
【分析】循环小数化为分数需要使用特定的公式。对于纯循环小数（即从第一位开始循环），公式为：，对于混循环小数（即从第二位或之后开始循环），公式为：，其中，abc是循环节的数字，a是循环节前的数字（对于纯循环小数，a为0）。
3．【答案】567
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：这个循环小数可写成分数形式是，999=3×3×3×37，因为分子和分母的和是 58 ，所以分母只能是37和27，由于 纯循环小数 写成最简分数时， 分母大于分子，是真分数，所以分母为37，分子为58-37=21；此最简分数为
，所以所求的三位数是567.
故答案为：567。
【分析】纯循环小数都可以写成分母是99...（9的个数等于循环节的位数），循环节是分子的分数；根据这一特点将这个循环小数写成分数形式，并求出分母的两位数的因素，再根据题意即可求解。
4．【答案】
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】将无限循环小数转换为分数形式，然后进行加法运算。
5．【答案】
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】把原式的小数都转化为分数，再进行通分计算即可。
6．【答案】解：原式
【知识点】循环小数的认识；同分母分数加减法
【解析】【分析】先把循环小数化成分数，求和，即可得出答案.
7．【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算；循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【分析】首先将循环小数改写成同分母分数，然后按照同分母分数加减法进行计算，再按照分数除法法则进行计算即除以一个分数等于乘这个分数的倒数，能约分先约分，最后计算结果。
8．【答案】111
【知识点】小数的四则混合运算；循环小数的认识
【解析】【解答】解：根据题意
设另一个乘数为a，则
则正确结果是：
。
故答案为：111。
【分析】根据题意设另一个乘数为a，由看成了1.23，乘积比正确结果减少0.3列方程，解出a的值，最后计算出正确的乘积即可。
9．【答案】4；3
【知识点】循环小数的认识；基本排列周期
【解析】【解答】解：15÷4=3（组）······3（个），小数点后第15位上的数字是4；
30÷4=7（组）······2（个），第30位上的数字是3。
故答案为：4；3。
【分析】这个循环小数的循环节是3345，按照“3345”4个数字为一组循环，小数点后第15位上的数字循环了3组，剩余3个，则是4；第30位上的数字循环了7组，剩余2个，则是3。
10．【答案】（1）解：0.432432…的循环节是 432，725 ÷ 3 =241（组）……2（个），第725位上的数字是3。
（2）解：100÷3=33（组）……1（个）
4+3+2=9 9×33+4=301
【知识点】循环小数的认识；数列周期规律；循环小数的巧算
【解析】【分析】（1）先找出循环小数的循环节是几个为一组，再用除法求出有多少组这样的循环节，还余几个。
（2）求出有多少组这样的循环节，还余几个，再用组数乘三个数的和并加上余下的数。
11．【答案】解：(2024-1)÷3=674(组)……1(个)
答：它的小数部分第2024 位上的数字是6。
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
【解析】【分析】这个小数的循环节是604，小数的十分位上是5，不是循环节，2024—1=2023，2023÷3=674(组)……1(个)，它的小数部分第2024 位上的数字是6。
12．【答案】= 2019÷6=336(组) ……3(个)
7+1+4+2+8+5=27
336×27+7+ 1+4= 9084．
小数点后面第2019位数字是4，小数部分前2019个数字之和是9084。
【知识点】分数与小数的互化；数列周期规律；循环小数的巧算
13．【答案】B
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
【解析】【解答】解：根据题意，可得
=
=
=
循环小数为：，循环节为“63”。
第2016位数字为：2016 2=2014
2014÷2=1007，余数为0。
因此，第2016位数字是循环节中的最后一位，即3。
故答案为：B
【分析】先将循环小数 化成分数：，然后再根据题意，，然后化简，再化成循环小数：，确定循环节“63”，确定第2016位的数字2014，在循环节中，2014除以循环节的长度（即2），得到1007余0，据此即可判断循环节中最后一位数
14．【答案】9
【知识点】循环小数的巧算
【解析】【解答】解：因为 ，
两个分数的和为1，这意味着这两个循环小数小数部分各个位上的和都是9 (因为9是9的循环小数表示)。
因此，小数点后第100位上的数字之和也是9。
故答案为：9
【分析】如果将 和 转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算发现 ，而 ，则第100位上的数字和为9。
15．【答案】解：我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1+4+2+8+5+7和一个不完整1+4+2+8+5+7组成。
9039÷（1+2+4+5+7+8）=334…2，而21=27-6，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为，所a=6。
【知识点】循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【分析】先把所有的真分数写成小数，观察结果的小数部分的数字都有1、2、4、5、7、8，先把它们加起来，然后用续若干个数字之和除以这6个数字之和，根据余数和这6个数字的关系作答即可。
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一、循环小数与分数的互化
1．（【小白鸥-情境题】数学苏教版五上主题情境 第五单元 16 第五单元复习练） 纯循环小数是从十分位开始循环的小数。纯循环小数化为分数，分数的分子是循环节组成的数，循环节有几位数字，转化的分母就有几个9。纯循环小数的整数部分作为带分数的整数部分。如：纯循环小数2.45，小数的整数部分2作为带分数的整数部分，循环节45 作为分子，循环节有2个数字，所以分母有2个9，即分母为99，所以
（1）补全下面的证明过程：
=①
②
由②-①得
所以 。
（2）将下面的纯循环小数化成分数。
【答案】（1）；5；
（2）
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
2．（一中） 循环小数化分数： = ， =
【答案】；
【知识点】循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【解答】解：由于是纯循环小数，直接应用公式：，
由于是混循环小数，应用公式：；
故答案为：；。
【分析】循环小数化为分数需要使用特定的公式。对于纯循环小数（即从第一位开始循环），公式为：，对于混循环小数（即从第二位或之后开始循环），公式为：，其中，abc是循环节的数字，a是循环节前的数字（对于纯循环小数，a为0）。
3．（2023.10.7·十一中）纯循环小数 写成最简分数时， 分子和分母的和是58 ， 则三位数 。
【答案】567
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：这个循环小数可写成分数形式是，999=3×3×3×37，因为分子和分母的和是 58 ，所以分母只能是37和27，由于 纯循环小数 写成最简分数时， 分母大于分子，是真分数，所以分母为37，分子为58-37=21；此最简分数为
，所以所求的三位数是567.
故答案为：567。
【分析】纯循环小数都可以写成分母是99...（9的个数等于循环节的位数），循环节是分子的分数；根据这一特点将这个循环小数写成分数形式，并求出分母的两位数的因素，再根据题意即可求解。
二、循环小数计算
4．（2024.3.6·鲁巴）
【答案】
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】将无限循环小数转换为分数形式，然后进行加法运算。
5．（2022六上·竞赛）计算： （结果写成分数形式）
【答案】
【知识点】循环小数的认识
【解析】【解答】解：
故答案为：。
【分析】把原式的小数都转化为分数，再进行通分计算即可。
6．（2023.11.3·十一中）
【答案】解：原式
【知识点】循环小数的认识；同分母分数加减法
【解析】【分析】先把循环小数化成分数，求和，即可得出答案.
7．（一中）
【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算；循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【分析】首先将循环小数改写成同分母分数，然后按照同分母分数加减法进行计算，再按照分数除法法则进行计算即除以一个分数等于乘这个分数的倒数，能约分先约分，最后计算结果。
8．（宏帆八中）辉辉将乘以一个数时，把看成了1.23，使乘积比正确结果减少0.3，正确结果是 。
【答案】111
【知识点】小数的四则混合运算；循环小数的认识
【解析】【解答】解：根据题意
设另一个乘数为a，则
则正确结果是：
。
故答案为：111。
【分析】根据题意设另一个乘数为a，由看成了1.23，乘积比正确结果减少0.3列方程，解出a的值，最后计算出正确的乘积即可。
三、循环小数与周期问题的结合
9．（2024·都昌）无限循环小数0.33453345……的小数点后第15位上的数字是 ，第30位上的数字是 。
【答案】4；3
【知识点】循环小数的认识；基本排列周期
【解析】【解答】解：15÷4=3（组）······3（个），小数点后第15位上的数字是4；
30÷4=7（组）······2（个），第30位上的数字是3。
故答案为：4；3。
【分析】这个循环小数的循环节是3345，按照“3345”4个数字为一组循环，小数点后第15位上的数字循环了3组，剩余3个，则是4；第30位上的数字循环了7组，剩余2个，则是3。
10．16÷37=0.432432…
（1）商的小数点后第 725 位上的数字是多少？
（2）商的小数部分前 100 个数字之和是多少？
【答案】（1）解：0.432432…的循环节是 432，725 ÷ 3 =241（组）……2（个），第725位上的数字是3。
（2）解：100÷3=33（组）……1（个）
4+3+2=9 9×33+4=301
【知识点】循环小数的认识；数列周期规律；循环小数的巧算
【解析】【分析】（1）先找出循环小数的循环节是几个为一组，再用除法求出有多少组这样的循环节，还余几个。
（2）求出有多少组这样的循环节，还余几个，再用组数乘三个数的和并加上余下的数。
11． 一个循环小数是9.5604604…，它的小数部分第2024 位上的数字是几？
【答案】解：(2024-1)÷3=674(组)……1(个)
答：它的小数部分第2024 位上的数字是6。
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
【解析】【分析】这个小数的循环节是604，小数的十分位上是5，不是循环节，2024—1=2023，2023÷3=674(组)……1(个)，它的小数部分第2024 位上的数字是6。
12．（【实验班提优训练】数学五下学霸攻略 4分数的意义和性质）把化成小数后，小数点后面第2019位数字是几？小数部分前2019个数字之和是多少？
【答案】= 2019÷6=336(组) ……3(个)
7+1+4+2+8+5=27
336×27+7+ 1+4= 9084．
小数点后面第2019位数字是4，小数部分前2019个数字之和是9084。
【知识点】分数与小数的互化；数列周期规律；循环小数的巧算
13．（2024·广州）循环小数和0.432相乘，乘积也是一个循环小数，它的小数点后第2016位是( )。
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】循环小数的认识；循环小数的巧算
【解析】【解答】解：根据题意，可得
=
=
=
循环小数为：，循环节为“63”。
第2016位数字为：2016 2=2014
2014÷2=1007，余数为0。
因此，第2016位数字是循环节中的最后一位，即3。
故答案为：B
【分析】先将循环小数 化成分数：，然后再根据题意，，然后化简，再化成循环小数：，确定循环节“63”，确定第2016位的数字2014，在循环节中，2014除以循环节的长度（即2），得到1007余0，据此即可判断循环节中最后一位数
14．（2022六上·竞赛） 和化成循环小数后第100位上的数字之和是 。
【答案】9
【知识点】循环小数的巧算
【解析】【解答】解：因为 ，
两个分数的和为1，这意味着这两个循环小数小数部分各个位上的和都是9 (因为9是9的循环小数表示)。
因此，小数点后第100位上的数字之和也是9。
故答案为：9
【分析】如果将 和 转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算发现 ，而 ，则第100位上的数字和为9。
15．（2022六上·竞赛）真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a是多少？
【答案】解：我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的1+4+2+8+5+7和一个不完整1+4+2+8+5+7组成。
9039÷（1+2+4+5+7+8）=334…2，而21=27-6，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为，所a=6。
【知识点】循环小数的认识；分数与小数的互化
【解析】【分析】先把所有的真分数写成小数，观察结果的小数部分的数字都有1、2、4、5、7、8，先把它们加起来，然后用续若干个数字之和除以这6个数字之和，根据余数和这6个数字的关系作答即可。
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