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8.2一元线性回归模型及其应用3---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1.求经验回归方程的步骤
2.解决非线性回归模型的应用问题的关键是对非线性回归函数模型作变换，一般思路是换元，化非线性为线性，进而应用线性回归的方法进行求解．如
①若＝＋，设t＝，则＝＋t；
②若满足对数式：＝＋ln x，设t＝ln x，则＝＋t；
③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数得ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，＝ln c1，＝c2，则＝＋x.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（ ）.
X
Y
A． B．
C． D．
2.有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的两变量x，y正相关
B．相关系数r的绝对值更接近于0
C．残差平方和变大
D．变量x与变量y相关性变强
3.下列命题中
①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归直线一定经过样本中心点.
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
4.某商品的广告支出费用单位：万元与销售量单位：万件之间的对应数据如表所示：
广告支出费用x 5
销售量y 15 18
根据表中数据可得回归直线方程为，则第三个样本点对应的残差为（ ）
A． B． C． D．
5.已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，
2 4 6 8
5 13
则下列说法正确的是（ ）
A． B．变量与是负相关关系
C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点
6.下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）
A．回归直线一定过样本中心
B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
多选题
7.已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（ ）．
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数变大
D．若经验回归直线过点，则其经验回归方程为
8.下列说法正确的是（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B．决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
C．样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系
D．经验回归方程相对于点的残差为
填空题
9.由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 .
10.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ．
解答题
11近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：，．
12.．随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.
年份代码
中国健身器材市场规模
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；
(2)（选做题）数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A D C BCD ABD
9.【答案】
10.【答案】/
11.【答案】(1)适宜 (2) (3)99.25亿元．
12.【答案】(1) (2)分布列见解析，
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8.2一元线性回归模型及其应用---自检定时练--详解版
单选题
1．观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（ ）.
X
Y
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用回归直线方程过样本中心点即可求解.
【详解】由表中数据可得，，
所以样本中心点为，代入选项中检验B正确.
故选：B.
2.有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的两变量x，y正相关
B．相关系数r的绝对值更接近于0
C．残差平方和变大
D．变量x与变量y相关性变强
【答案】D
【分析】由图可知，两变量负相关，去掉B点后，回归直线效果更好，据此判断，即可求解．
【详解】由图可知，样本数据的两变量负相关，故A错误；
由图可知，点B相对其它点，偏离直线远，
故去掉B点后，回归直线效果更好，故BC错误，D正确．
故选：D.
3.下列命题中
①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归直线一定经过样本中心点.
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据变量间的相关关系以及回归直线定义和性质即可判断选项.
【详解】对于①，散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系，故错误；
对于②，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；
对于③，回归直线一定经过样本中心点，故正确.
故选：B
4.某商品的广告支出费用单位：万元与销售量单位：万件之间的对应数据如表所示：
广告支出费用x 5
销售量y 15 18
根据表中数据可得回归直线方程为，则第三个样本点对应的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得回归直线方程，再利用残差的定义求解.
【详解】解：由已知，，，
所以，
于是，，
因此，第三个样本点对应的残差为
故选：A
5.已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，
2 4 6 8
5 13
则下列说法正确的是（ ）
A． B．变量与是负相关关系
C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点
【答案】D
【分析】根据表格数据计算可得，再由样本中心点在回归直线上可得A错误，D正确，由回归方程的解析式可知变量与是正相关关系，且增量变化不为定值，可得BC错误.
【详解】对于A，易知，
又样本中心点在回归方程上，即,
所以，解得，即A错误；
对于B，由可知随着的增大而增大，因此变量与是正相关关系，即B错误；
对于C，由回归方程可知增加1个单位，的估计值增加3个单位左右，因此C错误；
对于D，回归方程必过样本中心点，即必过点，可得D正确.
故选：D
6.下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）
A．回归直线一定过样本中心
B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
【答案】C
【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D.
【详解】对于A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确；
对于B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；
对于C选项，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；
对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确.
故选：C.
多选题
7.已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（ ）．
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变小
C．决定系数变大
D．若经验回归直线过点，则其经验回归方程为
【答案】BCD
【分析】根据散点图的性质可知去掉E后相关性变强判断A选项；残差平方和以及决定系数判断BC选项；根据回归直线的求法和性质判断D.
【详解】对于选项A：由图可知，变量x与变量y是负相关，
且将数据去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，
所以r变小，故选项A错误；
对于选项B：将数据去掉后，变量x与变量y的相关性变强，
所以残差平方和变小，决定系数变大，故选项B，C正确；
对于选项D：设经验回归方程为，经计算得，
且，，可得，，
所以经验回归方程是，所以选项D正确．
故选：BCD．
8.下列说法正确的是（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B．决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
C．样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系
D．经验回归方程相对于点的残差为
【答案】ABD
【分析】本题利用回归分析的基本概念，样本相关系数的解释，决定系数的使用以及残差的计算即可求解.
【详解】对于A，使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，故A正确；
对于B，决定系数表示的是拟合效果，越大模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，当时，表示成对样本数据间的相关关系很小，并不是没有相关关系，故C错误；
对于D，残差为，故D正确.
填空题
9.由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 .
【答案】
【分析】求出的值，求出去除偏离点后，剩余数据的样本中心点的坐标，代入新的回归直线方程，求出的值，将代入新的回归直线方程，结合残差的定义可求得结果.
【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，，
去除偏离点后，剩余数据的中心点为，
则，，
将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，
所以，新的回归直线方程为，
当时，，
所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为.
故答案为：.
10.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ．
【答案】/
【分析】利用回归直线过样本中心点求解即得.
【详解】依题意，，
则，所以.
故答案为：
解答题
11近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：，．
【答案】(1)适宜
(2)
(3)99.25亿元．
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解.
【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型．
（2）由题意得：，，
，
所以．
（3）令，估计2025年的企业利润为99.25亿元
12.．随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.
年份代码
中国健身器材市场规模
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；
(2)（选做题）数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设，可得，结合参考数据及公式求，由此可得结论；
（2）由条件确定的可能取值，判断服从二项分布，再求其取各值的概率，由此可得分布列，再利用二项分布期望公式求期望.
【详解】（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，
因为，，，
所以.
把代入，得，
可得，.
所以，
即关于的回归方程为.
（2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且，
，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
.
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