福建省宁德市博雅培文学校2024_2025学年高一下学期3月月考 数学试题卷（含解析）

福建省宁德市博雅培文学校2024 2025学年高一下学期3月月考数学试题卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．在中，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
4．函数的大致图象为　　
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．，则（ ）
A． B．
C． D．
7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝（ ）
A．8 B．4
C．2 D．1
8．已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．图象的一条对称轴是直线
C．图象的一个对称中心是点
D．函数是偶函数
11．已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是偶函数
C．函数是周期函数
D．，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的周期为 .
13．已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ．
14．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求证：
16．已知
(1)说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出在上简图；
17．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.
(1)求；
(2)求的值.
18．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域；
(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
19．对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.
(1)若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.
参考答案
1．【答案】B
【详解】均是奇函数，是偶函数．
故选B.
2．【答案】A
【详解】时，成立，是充分的，但时，，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件．
故选A．
3．【答案】C
【详解】因为，则，
所以，，因为，故为钝角，
故为钝角三角形.
故选C.
4．【答案】A
【详解】函数，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
，排除B，
故选A．
5．【答案】B
【详解】因为，所以，函数的周期为1，
所以．
故选B．
6．【答案】C
【详解】因为，且在区间上为增函数，
所以，即；
又，故．
故选C.
7．【答案】C
【详解】因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以
故选C.
8．【答案】C
【详解】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选C
9．【答案】BCD
【详解】选项A：，故选项A不符合题意；
选项B：，故选项B符合题意；
选项C：，故选项C符合题意；
选项D：，故选项C符合题意.
故选BCD.
10．【答案】BD
【详解】由函数的部分图象知，，即，解得
过点，解得，
，选项A错误；
当时，的一条对称轴是直线，选项B正确；
令，解得的对称中心是，选项C错误；
，是定义域上的偶函数，选项D正确.
故选:BD.
11．【答案】ACD
【详解】令，则，所以，故A正确；
令，则，
所以，故是奇函数，故B错误；
令，则，
所以，
由B知是奇函数，所以，
所以是周期函数，故C正确；
当时，得，
则，
所以，
即，即，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】函数周期为.
13．【答案】0
【详解】∵函数的图象关于直线对称，
∴对任意的，有，则，即，
∴，即，
∴，
∴．
14．【答案】 /
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
图象如图：
则，
当时，；
当时，或，
当时，，
所以时，恒成立，整数的最小值为．
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，得，
即的定义域为；
（2）因为左边，
且，
，且，
所以.
16．【答案】(1)答案见解析；
(2)作图见解析.
【详解】（1）法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍；
法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍.
（2）令，利用的图象取点法画图；
列表如下
作在上的图如下：
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解；
（2）首先利用角的变换求，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，，，，
所以，，
；
（2），
，
，
由，得，，则，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1），
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，得，则，
所以在区间上的值域为.
（3）由，得，
又，
即的两个解为，且，
则，即，即，
则，
所以.
19．【答案】(1)不是，是；
(2)充分不必要条件，证明见解析；
(3)是，不是，理由见解析.
【详解】（1）函数，对一切实数不成立，
所以函数不是“2阶零和函数”；
取，，，
所以是“2阶零和函数”.
（2）“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：
若为2阶零和函数，则存在常数，使得，，
即，因此，即函数为周期函数；
反之函数为周期函数，
如，对，，为周期函数，
对任意正常数，，
因此函数不是2阶零和函数，
所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.
（3）函数是“3阶零和函数”，取，，
，
所以函数是“3阶零和函数”；
函数不是“3阶零和函数”，
假定函数是“3阶零和函数”，
则存在常数，，，
即
对成立，
则恒成立，
由，得，
因此，平方相加整理得，
则或，
由，同理得，
于是或，
则，或或或，
即，或或或，显然不成立，
因此不存在常数，使得，，
所以函数不是“3阶零和函数”.