上海市杨浦高级中学2024_2025学年高一下学期开学摸底（3月） 数学试卷（含解析）

上海市杨浦高级中学2024 2025学年高一下学期开学摸底（3月）数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1．集合，则 .
2．函数的定义域为 .
3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为 ．
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为 .
5．代数式可化为的形式，此时 .
6．已知函数是偶函数，则 ．
7．已知，则 ．（用a和b表示）
8．关于的不等式的解集为，则实数 .
9．已知函数的最小值为，则的取值范围为 .
10．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则 ．
11．以下四个命题中真命题的序号是 .
①若角，满足，，则角，终边关于原点对称；
②在三角形中，若，则三角形是等边三角形；
③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件；
④已知，则.
12．设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 .
二、单选题（本大题共4小题）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若，且，则幂函数与角的终边（ ）
A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有1个交点 D．至少有2个交点
15．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
（单位：km/h） …
（单位：m） …
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
18．（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值；
（2）已知，且，求及.
19．如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.
(1)若，，求的值；
(2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.
20．漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本)
(1)写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；
(2)求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值.
21．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数的值域为，求的取值范围；
（3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】
【详解】因为集合，则.
2．【答案】且
【详解】由题知且，解得且，
所以函数的定义域为且，
3．【答案】
【详解】由题意可知，扇形的面积为.
4．【答案】/
【详解】,
5．【答案】
【详解】
，
所以.
6．【答案】5
【解析】利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到.
【详解】解：函数是偶函数，
或
偶函数的图象关于轴对称，
7．【答案】
【详解】因为，则，
所以.
8．【答案】1
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，所以，
所以，
9．【答案】
【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值；
故需满足，得，
函数，，若函数的最小值为，
则且，解得：
综上可知，.
10．【答案】或.
【详解】不等式与不等式为对偶不等式，
设不等式的对应方程两个根为、，
则不等式对应方程两个根为：、
所以
即：因为，所以或
11．【答案】②③
【详解】对于①，当为偶数时，角终边重合，故①错误；
对于②，因为
所以
则
当且仅当时，
，
即当时，有.
即三角形是等边三角形，故②正确；
对于③，当时，，
角终边在第三、四象限或在轴负半轴上，故③正确；
对于④，因，且，
则，
则，
故，故④错误.
12．【答案】4
【详解】试题分析：
当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组.
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
13．【答案】A
【详解】若，则成立；
若，则或，故不一定成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14．【答案】A
【详解】因为，故在第三象限或第四象限，
由，可知在第一象限或第四象限，
故在第四象限，又幂函数的图象不经过第四象限，
故幂函数与角的终边（不包含原点）不可能有交点，
故选A
15．【答案】D
【详解】解：，故恒成立；
：由于由于函数在，单调递减，在，单调递增
当时，，即，
当，，即，
当，．
故恒成立；
：由于．故恒成立；
：若，则该不等式不成立，故不恒成立
故选．
16．【答案】C
【详解】由题意可得，则，
即，对称轴在轴左侧，知该函数在上单调递增，
又，，，
若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为，
①不成立；
又的最小正整数的值为，
可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．
故选C．
17．【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由，，可得，，
又由，；
（2）由两角差的正切公式得，
因此，.
18．【答案】（1）；（2），
【详解】（1）由题意可知：，解得：或，
且，
又因为，即，
整理得，解得或(舍去)，
所以.
（2）因为，且，
即，可得，
由，可知，，
又因为，且，
可得，
所以
.
故，.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，则，
又，则，又，
所以.
（2）因为，、在单位圆上，
则，，，所以，，
则，
即.
20．【答案】(1)
(2)2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元
【详解】（1）解：由题意可知：
当时，，
当时，
.
（2）由，
①当时，
当时，取得大值，最大值为85，
②当时，，
当且仅当即时，取得最大值50，
由①②可得:当时，取得最大值150，
综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元.
21．【答案】（1）（2）（3）
【详解】(1) 时，不等式等价于,
所以,所以,所以,
所以不等式的解集为.
(2) 因为函数的值域为,即的值域为,故能够取到一切大于0的实数,
当时,,不符合题意;
当时,
不符合题意,
当时, 根据二次函数的图象和性质可得,解得;
综上所述: 的取值范围是.
(3) 关于的方程的解集中恰好只有一个元素,
所以的解集中恰好只有一个元素,
即且的解集中恰好只有一个元素,
所以,即,
①当时,解得,此时 ,满足题意;
②当时, ,此时也满足题意;
③当且时,两根为,,
当时,由 得,
当时,由得,
因为和只能取一个值,
所以只能取,所以且,
解得.
综上所述:的取值范围是.