(共29张PPT)
4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 一元一次不等式的概念
基础过关练
1.(2024山东枣庄滕州月考)下列各式:①x<5;②x(x-5)<5;③ <
5;④2x+y<5+y;⑤a-2<5,⑥x≤ .其中是一元一次不等式的有
( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
解析 ①x<5,是一元一次不等式;②将x(x-5)<5整理得x2-5x< 5,不是一元一次不等式;③ <5中分母含有未知数,不是一元
一次不等式;④将2x+y<5+y整理得2x<5,是一元一次不等式; ⑤a-2<5,是一元一次不等式;⑥x≤ ,不是一元一次不等式.
故选B.
2.(易错题)(2024宁夏中卫沙坡头月考)已知(k+3)x|k|-2+5
A.3 B.-3 C.±3 D.无法确定
A
解析 ∵(k+3)x|k|-2+5易错警示
本题容易出现的错误是忽略x的系数不等于零.
知识点2 一元一次不等式的解法
3.(2024陕西中考)不等式2(x-1)≥6的解集是 ( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
D
解析 去括号得2x-2≥6,移项得2x≥6+2,
合并同类项得2x≥8,系数化为1得x≥4.
所以不等式2(x-1)≥6的解集是x≥4.故选D.
4.(2024河北唐山滦南期末)不等式2x-3≥6x+1的解集在数轴 上表示正确的是( )
D
解析 移项得2x-6x≥3+1,合并同类项得-4x≥4,
系数化为1得x≤-1,将解集在数轴上表示如图:
故选D.
5.(2024黑龙江齐齐哈尔铁锋期末)不等式 ≥ 的正
整数解有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
解析 去分母得3(x-3)≥2(2x-5),去括号得3x-9≥4x-10,移项 得3x-4x≥-10+9,合并同类项得-x≥-1,系数化为1得x≤1,∴不 等式的正整数解是1.故选B.
6.(2024辽宁本溪二模)若不等式(a+2)x<1的解集为x> ,则
a的取值范围是 .
a<-2
解析 由题意可得a+2<0,解得a<-2,
故答案为a<-2.
7.(新独家原创)当x 时,代数式 与 的差小于1.
>-1
解析 根据题意可得 - <1,去分母得3(x+1)-2(2x-1)<
6,去括号得3x+3-4x+2<6,移项、合并同类项得-x<1,系数化为 1,得x>-1.
8.(2024山东青岛崂山月考)解下列不等式,并把解集在数轴 上表示出来.
(1) +1≥x. (2)2(-3+x)>3(x+2).
(3) ≤ . (4)10-4(x-4)≤2(x-1).
解析 (1) +1≥x,去分母得x-1+2≥2x,移项得x-2x≥1-2,合
并同类项得-x≥-1,系数化为1得x≤1.将解集在数轴上表示如图:
(2)2(-3+x)>3(x+2),去括号得-6+2x>3x+6,
移项得2x-3x>6+6,合并同类项得-x>12,
系数化为1得x<-12.将解集在数轴上表示如图:
(3) ≤ ,
去分母得2(2x-1)≤3x-4,去括号得4x-2≤3x-4,
移项得4x-3x≤2-4,合并同类项得x≤-2,
将解集在数轴上表示如图:
(4)10-4(x-4)≤2(x-1),去括号得10-4x+16≤2x-2,移项得-4x-2x ≤-2-10-16,合并同类项得-6x≤-28,系数化为1得x≥ ,将解
集在数轴上表示如图:
9.(2024北京西城月考)解下列不等式: - <1,并求出满
足不等式的非负整数解.
解析 去分母得2(2x+1)-(x-1)<6,去括号得4x+2-x+1<6,移项 得4x-x<6-2-1,合并同类项得3x<3,系数化为1得x<1,所以不等 式的非负整数解为0.
10.阅读理解:我们把 称为二阶行列式,规定它的运算法
则为 =ad-bc,如 =2×5-3×4=-2.如果 >0,求x
的取值范围.
解析 由题意可得2x-(3-x)>0,∴2x-3+x>0,
∴3x>3,∴x>1,故x的取值范围是x>1.
能力提升练
11.(2023湖北宜昌中考,10,★★☆)解不等式 >x-1,下列
在数轴上表示的解集正确的是 ( )
D
解析 去分母,得1+4x>3(x-1),去括号,得1+4x>3x-3,移项、合 并同类项,得x>-4.
在数轴上表示其解集如图所示:
故选D.
12.(2024山东青岛胶州月考,7,★★☆)若关于x的方程x+2k=4 的解是非负数,则k的取值范围是 ( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
B
解析 解方程x+2k=4得x=4-2k,
∵关于x的方程x+2k=4的解是非负数,
∴4-2k≥0,解得k≤2,故选B.
13.(2024山东济宁嘉祥期末,8,★★☆)已知关于x,y的方程组 若方程组的解满足x-y<5,则m的最小整数值为
( )
A.-1 B.-2 C.0 D.1
A
解析
①+②得2x-2y=-2m+6,
∴x-y=3-m,∵x-y<5,∴3-m<5,解得m>-2,
∴m的最小整数值为-1,故选A.
14.(2024山东烟台中考,12,★☆☆)若关于x的不等式m- ≤1-x有正数解,则m的值可以是 (写出一个即可).
0(答案不唯一)
解析 将原不等式整理得 x≤1-m,
解得x≤2-2m,∵原不等式有正数解,∴2-2m>0,解得m<1,则m 的值可以是0,故答案为0(答案不唯一).
15.(2023山东潍坊潍城期中,14,★★☆)能使不等式 (3x-1)-
(5x+2)> 成立的x的最大整数值是 .
-1
解析 去分母,得3x-1-2(5x+2)>1,去括号,得3x-1-10x-4>1,移 项,得3x-10x>1+1+4,
合并同类项,得-7x>6,系数化为1,得x<- ,∴x的最大整数值是
-1.故答案是-1.
16.(2024山东潍坊潍城期末,16,★★☆)仔细观察以下解不等 式 ≥ -1的过程,并回答相应问题.
解:去分母,得3(x-3)≥2(2x-1)-6.…第一步
去括号,得3x-9≥4x-2-6.…第二步
移项,得3x-4x≥9-2-6.…第三步
合并同类项,得-x≥1.…第四步
系数化为1,得x≥-1.…第五步
(1)以上解题过程中,第一步变形的依据是不等式的基本性质
(填“1”“2”或“3”),其内容是 .
(2)第 步出现错误,这一步正确变形的依据是不等式 的基本性质 (填“1”“2”或“3”),其内容是 .
(3)请写出正确的解题过程并在数轴上表示出该不等式的正 确解集.
解析 (1)2;不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号 的方向不改变.
(2)五;3;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方 向改变.
(3)去分母,得3(x-3)≥2(2x-1)-6,
去括号,得3x-9≥4x-2-6,移项,得3x-4x≥9-2-6,
合并同类项,得-x≥1,系数化为1,得x≤-1,
将解集在数轴上表示如图:
17.(2024四川眉山中考,20,★★☆)解不等式: -1≤ ,并
把它的解集表示在数轴上.
解析 去分母得2(x+1)-6≤3(2-x),
去括号得2x+2-6≤6-3x,移项得2x+3x≤6+6-2,
合并同类项得5x≤10,系数化为1得x≤2,
其解集在数轴上表示如图:
18.(2023山东青岛胶州期中,19,★★☆)已知关于x的方程2x-a =3的解是不等式1- < 的最小整数解,求a的值.
解析 ∵1- < ,∴6-3x+6<2+2x,∴-5x<-10,∴x>2,
∴x的最小整数解为3,
把x=3代入2x-a=3得6-a=3,∴a=3.(共43张PPT)
6 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组及其解法
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 一元一次不等式组的概念
基础过关练
1.(2024河南周口项城期中)下列各选项是一元一次不等式组 的是 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 A.该不等式组中的第二个不等式中分母含有未知数, 故不是一元一次不等式组;B.该不等式组中含有两个未知数, 故不是一元一次不等式组;C.该不等式组中x2的次数是2,故 不是一元一次不等式组;D.该不等式组是一元一次不等式组, 故选D.
知识点2 一元一次不等式组的解集的概念
2.(2024河北保定高碑店期末)如图,该数轴表示的不等式的 解集为( )
A.x≥-3 B.-3≤x<2 C.x<2 D.-3B
解析 由题图可知,该数轴表示的不等式的解集为-3≤x<2, 故选B.
3.(跨生物·心脏跳动)(2024广西百色平果期末)人的心脏每分 钟跳动的次数x的正常范围为不少于60次,且不多于100次,则 x的取值范围表示在数轴上为( )
A. B.
C. D.
D
解析 由题意可得x的取值范围为60≤x≤100,将其表示在数 轴上如图.
4.(跨物理·天平)(2022山东青岛胶州期末)如图,天平左盘中物 体A的质量为m g,天平右盘中每个砝码的质量都是1 g,则m的 取值范围在数轴上可表示为( )
C
解析 由题意可得 ∴2表示如图.
知识点3 一元一次不等式组的解法
5.(2024山东菏泽曹县期末)不等式组 的解集为
( )
A.x> B.x>-2 C. A
解析 解不等式3x-1>0得x> ,
解不等式-x-2<0得x>-2,
∴不等式组的解集为x> .故选A.
6.(2023山西吕梁临县模拟)关于x的不等式组
的解集,在数轴上表示正确的是 ( )
D
解析
解不等式①,得x≥-3,解不等式②,得x<-2,
∴不等式组的解集为-3≤x<-2,将其在数轴上表示如图所示.
7.(2024山东滨州中考)若点P(1-2a,a)在第二象限内,则a的取 值范围是 ( )
A.a> B.a< C.0A
解析 ∵点P(1-2a,a)在第二象限内,
∴ 解得a> ,故选A.
8.(2024山东济南历城二模)不等式组 的所有整数
解的和是( )
A.9 B.7 C.5 D.3
C
解析
解不等式①得x<4,
解不等式②得x≥- ,
∴不等式组的解集为- ≤x<4,
∴不等式组的整数解为-1,0,1,2,3,
∴不等式组 的所有整数解的和是5.故选C.
9.(2021广西贵港中考)不等式1<2x-3A.1C
解析 不等式可化为
解不等式①,得x>2,
解不等式②,得x<4,
∴不等式的解集是2故选C.
10.(教材变式·P157随堂练习T1)(2023山东青岛城阳期末)若 不等式组 的解集是x>3,则n的取值范围是 ( )
A.n≥3 B.n≤3 C.n>3 D.n<3
B
解析
解不等式①,得x>3,∵不等式组的解集是x>3,
∴n≤3.故选B.
11.(2021广西钦州中考)定义一种运算:a*b= 则不等
式(2x+1)*(2-x)>3的解集是 ( )
A.x>1或x< B.-1C.x>1或x<-1 D.x> 或x<-1
C
解析 由题意可得 或
解得x>1或x<-1.故选C.
12.(1)(2023广东揭阳普宁期末)解不等式组: 并把
它的解集在数轴上表示出来.
(2)解不等式组:
解析 (1)
由①得x≤2,由②得x>-3,
∴不等式组的解集为-3将解集在数轴上表示如图所示.
(2)
由①得x<-2,由②得x≥4,
∴该不等式组无解.
13.(2024四川凉山州中考)求不等式-3<4x-7≤9的整数解.
解析 原不等式可化为
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x≤4,
所以该不等式组的解集是1所以不等式-3<4x-7≤9的整数解是2,3,4.
能力提升练
14.(教材变式·P155T4)(2024内蒙古包头青山月考,8,★★☆) 已知不等式组 的解集为-2( )
A.1 B.2 024 C.-1 D.-2 024
A
解析 由x+a>1,得x>1-a,
由2x-b<2,得x< ,
∵不等式组的解集为-2∴1-a=-2, =3,
解得a=3,b=4,
∴(a-b)2 024=(3-4)2 024=1,
故选A.
15.(2024四川南充中考,7,★★☆)若关于x的不等式组 的解集为x<3,则m的取值范围是 ( )
A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2
B
解析 解不等式2x-1<5,得x<3,
∵关于x的不等式组 的解集为x<3,
∴m+1≥3,∴m≥2.故选B.
16.(2024浙江中考,7,★★☆)不等式组 的解集在
数轴上表示为( )
A
解析
解不等式①得x≥1,
解不等式②得x<4,
∴原不等式组的解集为1≤x<4,
将其解集在数轴上表示如图所示.
17.(2024山东聊城、临沂、菏泽中考,12,★★☆)写出满足不 等式组 的一个整数解: .
-1(答案不唯一)
解析
解不等式①得x≥-1,
解不等式②得x<3,
∴该不等式组的解集为-1≤x<3,
∴该不等式组的一个整数解可以为-1.
故答案为-1(答案不唯一).
18.(2023山东聊城中考,14,★★☆)若不等式组
的解集为x≥m,则m的取值范围是 .
m≥-1
解析
解不等式①,得x≥-1,解不等式②,得x≥m,∵不等式组的解集 为x≥m,∴m≥-1.
故答案为m≥-1.
19.(2023黑龙江大庆中考,16,★★☆)若关于x的不等式组 有三个整数解,则实数a的取值范围为 .
-3≤a<-2
解析 解不等式3(x-1)>x-6,得x>-1.5,
解不等式8-2x+2a≥0,得x≤a+4,
∴该不等式组的解集为-1.5∵不等式组有三个整数解,
∴不等式组的整数解为-1、0、1,
∴1≤a+4<2,
解得-3≤a<-2.
故答案为-3≤a<-2.
20.(1)(2024甘肃临夏州中考,19,★★☆)解不等式组:
(2)(2024北京中考,18,★★☆)解不等式组:
解析 (1)解不等式①得x≥1,
解不等式②得x<2,
所以不等式组的解集为1≤x<2.
(2)解不等式3(x-1)<4+2x得x<7,
解不等式 <2x得x>-1,
所以不等式组的解集为-121.(2024江苏扬州中考,20,★★☆)解不等式组 并
求出它的所有整数解的和.
解析 解不等式2x-6≤0 得x≤3,
解不等式x< 得x> ,
则不等式组的解集为 所以该不等式组的整数解为1,2,3,所以该不等式组的整数解 的和为6.
微专题 不等式组与方程(组)的综合应用
方法指引 解决这类问题时,应先解方程或方程组,将方程中 未知数的值用含有所求字母的式子来表示,然后再根据未知 数的取值范围组成新的不等式组,从而求出所求字母的取值 范围或值.
1.已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x<0,
y>0,则a的取值范围是 .
解析
①×2+②得5x=5a-10,∴x=a-2,
②×2-①得5y=10a-15,∴y=2a-3,
∵x<0,y>0,∴
解得 2.已知关于x的方程x-a=3x+2a-1的解不小于1且不大于3,则a 的取值范围是 .
- ≤a≤-
解析 解方程x-a=3x+2a-1得x= ,
∵关于x的方程x-a=3x+2a-1的解不小于1且不大于3,
∴ 解得- ≤a≤- ,故答案为- ≤a≤- .
3.已知关于x,y的方程组 的解满足x为负数,y为
非负数.若m为整数,求m的值.
解析
①+②×3,得7x=14m,解得x=2m,
把x=2m代入②,得2×2m-y=3m-2,解得y=m+2,
故原方程组的解为
∵方程组的解满足x为负数,y为非负数,
∴ 解得-2≤m<0,
∵m为整数,∴m的值为-2,-1.(共23张PPT)
1 不等关系
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 不等式的定义
基础过关练
1.(2024山东聊城东阿月考)下列式子:①-2<0,②2y-5>1,③m= 1,④x2-x,⑤x≠-2,⑥x+1<2x-1,其中是不等式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 不等式是指用不等号连接的式子,所以不等式为①② ⑤⑥,共4个.故选C.
2.如图,用不等号填空.
(1)m+n 0;(2)m-n 0;
(3)m·n 0;(4)m2 n;
(5)|m| |n|.
<
>
<
>
>
解析 由数轴可得m(1)两个负数相加,和仍为负数,故m+n<0.
(2)m-n可看成m+(-n),相当于两个异号的数相加,符号由绝对 值大的数决定,故m-n<0.
(3)两个负数的积是正数,故m·n>0.
(4)正数大于负数,故m2>n.
(5)由m,n的对应点在数轴上离原点的距离可得|m|>|n|.
知识点2 列不等式
3.(情境题·生命安全与健康)(2024甘肃兰州红古期中)《甘肃 省全民健身条例》中明确规定,学校应当保证学生在校期间 每天不少于一小时的体育锻炼.设学生在校期间每天的锻炼 时间为t小时,则t应满足的关系为 ( )
A.t>1 B.t≥1 C.t<1 D.t≤1
B
解析 “不少于”就是“大于或等于”,所以t应满足的关系 为t≥1.故选B.
4.(情境题·现实生活)(2024河南信阳息县期末)某双向六车道 高速公路,分车道与分车型组合限速,其标志牌如图所示.每 个标志牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速(单位: km/h),右侧数字代表该车道车型的最低通行车速(单位: km/ h).王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶,车速为v km/h,则车速v的范围是 ( )
C
A.90≤v≤100 B.80≤v≤100
C.60≤v≤100 D.60≤v≤80
解析 ∵王师傅驾驶的车辆是货车,
∴车速v的范围是60≤v≤100.
故选C.
5.(跨生物·蛋白质)一瓶饮料净重360 g,瓶上标有“蛋白质含 量≥0.5%”,设该瓶饮料中蛋白质的含量为x g,则x的范围是 .
x≥1.8
解析 由题意可得x≥360×0.5%=1.8,故答案为x≥1.8.
6.(新独家原创)2024年7月16日凌晨开始,河南南阳盆地遭遇 极端强降雨,南阳、周口、许昌等地出现特大暴雨,其中一地 24小时雨量超600毫米.若设该地这次的降雨量为x毫米,用不 等式表示该地这次的降雨量为 .
x>600
解析 “超”表示“大于”,因此降雨量超600毫米表示 为x>600.
7.(2024江西抚州临川月考)用不等式表示下列关系.
(1)x的7倍减去1是非正数.
(2)y的 与 的和不大于0.
(3)y的20%不小于1与y的和.
解析 (1)7x-1≤0.
(2) y+ ≤0.
(3)20%y≥1+y.
8.(教材变式·P138T3、T4)用甲、乙两种原料配制成某种饮 料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价 格如下表:
类别 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/(单位/千克) 500 80
原料价格/(元/千克) 16 4
(1)现配制这种饮料9千克,要求至少含有4 000单位的维生素 C,试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式.
(2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过70元,那么 你能写出x(千克)应满足的另一个不等式吗
解析 (1)由题意得500x+80(9-x)≥4 000.
(2)由题意得16x+4(9-x)≤70.
能力提升练
9.(2022吉林中考,3,★☆☆)y与2的差不大于0,用不等式表示 为 ( )
A.y-2>0 B.y-2<0
C.y-2≥0 D.y-2≤0
D
解析 “不大于”就是“小于或等于”,根据y与2的差不大 于0,可得y-2≤0.
10.(2024山东青岛市北期末,1,★☆☆)如图所示的是某市2024
年6月6日的天气,这天的最高气温是22 ℃,最低气温是17 ℃,
设当天某一时刻的气温为t ℃,则t的取值范围是( )
A.t>22 B.t<17
C.18D
解析 ∵这天的最高气温是22 ℃,最低气温是17 ℃,∴17≤t ≤22,故选D.
11.(2023浙江丽水中考,6,★★☆)小霞原有存款52元,小明原 有存款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零花钱,小明每 月存12元零花钱,设经过n个月后小霞的存款超过小明,可列 不等式为 ( )
A.52+15n>70+12n B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n
A
解析 利用小霞原有存款数+15×月数n>小明原有存款数+12×月数n,即可列不等式为52+15n>70+12n.故选A.
12.(2024山东枣庄薛城期中,4,★★☆)某学校组织八年级同 学到劳动教育基地参加实践活动,某小组的任务是平整土地 300 m2.开始的半小时,由于操作不熟练,只平整完30 m2,学校 要求完成全部任务的时间不超过3小时,设他们在剩余时间 内每小时平整土地x m2,则x满足的不等关系为 ( )
A.30+(3-0.5)x≤300 B.300-30x-0.5≤3
C.30+(3-0.5)x≥300 D.0.5+300-30x≥3
C
解析 根据“工作总量=工作效率×工作时间,且完成平整土 地300 m2的任务所用时间不超过3小时”,可列不等式为30+ (3-0.5)x≥300.故选C.
13.(2022山东青岛二十六中一模,11,★★☆)某工程队进行爆 破时,为了安全,人要撤离到距爆破点50米以外的安全区域. 已知引线的燃烧速度为0.2米/秒,爆破者离开的速度为3米/ 秒,点燃时引线向远离爆破点的方向拉直,则引线的长度应满 足什么条件 设引线长为x米,请根据题意列出关于x的不等 式: .
>
解析 根据引线燃烧的时间>人撤离到安全区域的时间,得 > .
14.(跨生物·培养菌种)(2023安徽亳州期末改编,6,★☆☆)某 生物兴趣小组要在恒温箱中培养A,B两种菌种,A种菌种的最 适生长温度范围为35~38 ℃,B种菌种的最适生长温度范围 为34~36 ℃,那么恒温箱的温度t ℃应该设定在什么范围内
解析 ∵A种菌种的最适生长温度范围为35~38 ℃,B种菌种 的最适生长温度范围为34~36 ℃,
∴恒温箱的温度t ℃应该设定在35~36 ℃.
素养探究练
15.(推理能力)在数轴上有A,B两点,其中点A所表示的数是a, 点B所表示的数是1.已知A,B两点间的距离小于3.
(1)写出a所满足的不等式.
(2)数-3,0,4所对应的点到点B的距离小于3吗
解析 (1)根据题意,借助数轴可得-2(2)由(1)得,与点B间的距离小于3的点所对应的数介于-2和4 之间(不包含-2和4),
∴在-3,0,4这三个数中,只有0所对应的点到点B的距离小于3.(共23张PPT)
5 一元一次不等式与一次函数
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 一元一次不等式与一次函数的关系
基础过关练
1.若函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则当y>0时,x的取值 范围是 ( )
A.x>1 B.x>2 C.x<1 D.x<2
D
解析 由函数图象可知当x<2时,图象在x轴的上方,即y>0,所 以当y>0时,x<2.故选D.
2.(数形结合思想)(2022江苏南通中考)根据图象,可得关于x 的不等式kx>-x+3的解集是 ( )
A.x<2 B.x>2 C.x<1 D.x>1
D
解析 根据图象可知两函数图象的交点坐标为(1,2),当x>1 时,一次函数y=kx的图象在一次函数y=-x+3的图象的上方,所 以关于x的不等式kx>-x+3的解集为x>1.故选D.
知识点2 一元一次不等式与一次函数、一元一次方程的综合应用
3.(2024江西萍乡期末)某苹果基地销售优质苹果,该基地对 需要送货且购买量在2 000~5 000 kg(含2 000 kg和5 000 kg) 的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):
方案A:每千克5.8元,由基地免费送货;
方案B:每千克5元,客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案A、方案B购买这种苹果的应付款y(元) 与购买量x(kg)之间的函数表达式.
(2)求购买量x(kg)在什么范围时,客户选用方案A比方案B付款少.
解析 (1)按方案A购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x (kg)之间的函数表达式为y=5.8x.
按方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的 函数表达式为y=5x+2 000.
(2)由题意得5.8x<5x+2 000,解得x<2 500,
∴当购买量x(kg)的取值范围为2 000≤x<2 500时,客户选用 方案A比方案B付款少.
4.小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷.图①所示的是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明(包含设计费与印刷费),乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图②所示.
(1)分别写出甲、乙两公司的收费y(元)与印刷卡片数量x(张) 之间的关系式.
(2)如果你是小强,你会选择哪家公司 并说明理由.
解析 (1)由题意得,当0≤x≤200时,y甲=5x+1 000;当x>200时, y甲=200×5+(x-200)×3+1 000=3x+1 400,
∴甲公司的收费y甲(元)与印刷卡片数量x(张)之间的关系式 为y甲=
设乙公司的收费y乙(元)与印刷卡片数量x(张)之间的关系式 为y乙=kx(k≠0),
∵图象经过点(200,1 600),
∴200k=1 600,解得k=8,∴y乙=8x,
∴乙公司的收费y乙(元)与印刷卡片数量x(张)之间的关系式 为y乙=8x(x≥0).
(2)当0≤x≤200时,y甲-y乙=5x+1 000-8x=1 000-3x,∵0≤x≤200,
∴0≤3x≤600,∴400≤1 000-3x≤1 000,∴5x+1 000>8x,此 时选择乙公司;当x>200时,y甲-y乙=3x+1 400-8x=1 400-5x=5(280
-x),∴当2008x,此时选择乙公司;当x=280时,3x+1 400=8x,此时两家公司收费一样;当x>280时,3x+1 400<8x,此时选择甲公司.综上所述,当0≤x<280时,选择乙公司; 当x=280时,选择哪家公司都可以;当x>280时,选择甲公司.
能力提升练
5.(2024广东中考,10,★☆☆)已知不等式kx+b<0的解集是x< 2,则一次函数y=kx+b的图象大致是 ( )
B
解析 A.由选项A中的图象可知不等式kx+b<0的解集是x>
-2,故本选项不符合题意;B.由选项B中的图象可知不等式kx+b <0的解集是x<2,故本选项符合题意;C.由选项C中的图象可 知不等式kx+b<0的解集是x<-2,故本选项不符合题意;D.由选 项D中的图象可知不等式kx+b<0的解集是x>2,故本选项不符 合题意.故选B.
6.(2023山东德州中考,8,★☆☆)已知直线y=3x+a与直线y=-2x+b交于点P,若点P的横坐标为-5,则关于x的不等式3x+a<-2x+b的解集为 ( )
A.x<-5 B.x<3 C.x>-2 D.x>-5
A
解析 由题意可知当x<-5时,直线y=3x+a都在直线y=-2x+b的 下方,所以关于x的不等式3x+a<-2x+b的解集为x<-5.故选A.
7.(2024山东济南莱芜期末,24,★★☆)甲、乙两个厂家生产 的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每 把椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂 家:买一张桌子送两把椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价9 折优惠.现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子,若购买的 椅子数为x(x≥10).
(1)分别用含x的式子表示从甲、乙两个厂家购买桌椅所需的 金额y甲,y乙.
(2)该公司选择哪一个厂家购买更划算
解析 (1)由题意可得
y甲=5×800+80(x-10)=80x+3 200,
y乙=(5×800+80x)×0.9=72x+3 600.
(2)当y甲=y乙时,3 200+80x=3 600+72x,解得x=50,
当y甲>y乙时,3 200+80x>3 600+72x,解得x>50,
当y甲答:当x=50时,两个厂家的费用相同;当10≤x<50时,到甲厂家 购买更划算;当x>50时,到乙厂家购买更划算.
8.(2024山东泰安新泰期末,21,★★☆)某公司计划购买若干 台计算机,现从两家商场了解到同一型号的计算机每台报价 均为6 000元,并且多买都有一定优惠.各商场的优惠条件如 表所示:
商场 优惠条件
甲 第一台按原报价收费,其余每台优惠25%
乙 每台优惠20%
(1)试写出甲、乙两商场的收费y(元)与所买计算机台数x之 间的关系式.
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠 什么情况下到乙商场购 买更优惠 什么情况下两家商场的收费相同
解析 (1)由题意可得,甲商场的收费y(元)与所买计算机台数 x之间的关系式是y甲=6 000+6 000(x-1)×(1-25%)=4 500x+1 500;
乙商场的收费y(元)与所买计算机台数x之间的关系式是y乙=
6 000x×(1-20%)=4 800x.
(2)当y甲>y乙时,4 500x+1 500>4 800x,解得x<5;
当y甲5;
当y甲=y乙时,4 500x+1 500=4 800x,解得x=5.
∴当购买计算机的台数小于5时,在乙商场购买比较优惠,当
购买计算机的台数大于5时,在甲商场购买比较优惠,当购买 计算机的台数为5时,两家商场收费相同.
素养探究练
9.(应用意识)某校实行学案式教学,需印制若干份学案.印刷 厂有甲、乙两种收费方式.除按印刷份数收取印刷费外,甲种 方式还需收取制版费,乙种方式不需要.两种收费方式的费用 y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示.
(1)甲种收费方式的费用y(元)关于x(份)的函数关系式为 ,乙种收费方式的费用y(元)关于x(份)的函数关系式为 .
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择 哪种收费方式较合算
解析 (1)y=0.1x+6;y=0.12x.
(2)由0.1x+6>0.12x,得x<300;
由0.1x+6=0.12x,得x=300;
由0.1x+6<0.12x,得x>300.
由此可知,当100≤x<300时,选择乙种收费方式较合算;
当x=300时,两种收费方式的费用一样;
当3003 不等式的解集
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 不等式的解
基础过关练
1.(2024江苏宿迁泗阳期末)下列各数,其中是不等式5x-3<7的 一个解的是 ( )
A. B.2 C. D.3
A
解析 在不等式5x-3<7的两边同时加上3可得5x-3+3<7+3,即 5x<10,在不等式5x<10的两边同时除以5可得x<2.结合选项可 知只有选项A符合题意.故选A.
2.(2023福建福州晋安期末)下列说法正确的是 ( )
A.不等式x<0的解是x=0
B.不等式x<0的解是x=-1
C.x=0是不等式x<0的一个解
D.x=-1是不等式x<0的一个解
D
解析 所有小于0的数都是不等式x<0的解,故A,B不合题意;x =0不满足x<0,故C不合题意;x=-1是不等式x<0的一个解,故D 符合题意.故选D.
3.(新独家原创)不等式3x-8<5的正整数解有 个.
4
解析 在不等式3x-8<5的两边同时加上8得3x<13,在不等式3 x<13的两边同时除以3得x< ,所以不等式的正整数解为1,2,
3,4,共4个,故答案为4.
知识点2 不等式的解集
4.下列说法中正确的有 ( )
①x=5是不等式2x>9的一个解;
②x=6是不等式2x>9的一个解;
③不等式2x>9的解是x=5和6;
④不等式2x>9的解集是x>4.5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 在不等式2x>9的两边同时除以2得x>4.5,∴不等式2x> 9的解集是x>4.5,故说法①②④正确,说法③不正确.故选C.
5.(2024江西九江修水期末)某不等式的解集在数轴上表示如 图所示,则该不等式的解集是( )
A.x>-2 B.x≥-2 C.x<-2 D.x≤-2
A
解析 由数轴可得该不等式的解集是x>-2,故选A.
能力提升练
6.(2023福建宁德期末,2,★☆☆)不等式ax+b<0的解集如图所 示,则下列各数中,是该不等式的解的是( )
A. B.2 C. D.3
A
解析 由数轴可知不等式ax+b<0的解集为x<2,结合选项可 知不等式ax+b<0的解可以是 ,故选A.
7.(易错题)(2022山东枣庄十五中月考,4,★★☆)如果关于x的 不等式(a-1)x>a-1的解集为x<1,那么a的取值范围是 ( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a<1 D.a<0
C
解析 ∵不等式(a-1)x>a-1的解集为x<1,
∴a-1<0,∴a<1.故选C.
易错警示
本题容易忽略不等式的两边同乘(或除以)一个负数,不等号 的方向要改变而出错.
8.(2024宁夏中考,6,★★☆)已知|3-a|=a-3,则a的取值范围在 数轴上表示正确的是 ( )
A
解析 ∵|3-a|=a-3,∴a-3≥0,∴a≥3.将其表示在数轴上为 .故选A.
9.(新考向·新定义试题)(2021内蒙古包头中考,7,★★☆)定义新运算“ ”,规定:a b=a-2b.若关于x的不等式x m>3的 解集为x>-1,则m的值是 ( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
B
解析 ∵a b=a-2b,∴x m=x-2m.∵x m>3,∴x-2m>3,∴x>2m+3.∵关于x的不等式x m>3的解集为x>-1,∴2m+3=
-1,∴m=-2.故选B.
素养探究练
10.(运算能力)(2024湖北十堰郧阳期末)仔细阅读以下材料: 求不等式|x|<3的解集.
我们知道,绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身,负数 的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0”,
根据绝对值的性质,可得
当x≥0时,原不等式为x<3,∴0≤x<3;
当x<0时,原不等式为-x<3,解得x>-3,
∴-3∴原不等式的解集为-3请你仿照上述方法解决下列问题:
(1)直接写出不等式|2x-1|<7的解集.
(2)求不等式|-2x+3|>5的解集.
解析 (1)不等式|2x-1|<7的解集为-3详解:当2x-1≥0,即x≥ 时,原不等式为2x-1<7,解得x<4,
∴ ≤x<4;当2x-1<0,即x< 时,原不等式为-(2x-1)<7,解得x>-3,
∴-3(2)当-2x+3≥0,即x≤ 时,原不等式为-2x+3>5,
解得x<-1,此时不等式的解集为x<-1;
当-2x+3<0,即x> 时,原不等式为-(-2x+3)>5,
解得x>4,此时不等式的解集为x>4.
综上所述,原不等式的解集为x<-1或x>4.(共24张PPT)
6 一元一次不等式组
第2课时 一元一次不等式组的实际应用
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点4 一元一次不等式组的实际应用
基础过关练
1.(2024山东青岛崂山期末)某电梯乘载的质量超过1 000 kg时会
响起警示音,小刚、小明的体重分别为55 kg、70 kg.小刚、小明依序进入电梯,小刚走进后,警示音没响,小明走进后,警示音响起.设两人没进入电梯前已乘载的质量为x kg,则x满足
( )
A.930C.875C
解析 由题意可知 解得875选C.
2.(2024湖北黄石期末)“守护长江生态、传承长江文化”, 引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江,通过自身的行 动和努力,让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力.某市 蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动,现有一 批图书分发给若干班级,若每个班级发放4本图书,则剩余20 本;若每个班级发放8本图书,就有一个班级发放的图书多于1 本且不足8本,则七年级共有班级 ( )
A.8个 B.7个 C.6个 D.5个
C
解析 设七年级共有x个班级,根据题意得 解得5年级共有6个班级.故选C.
3.(2024河南信阳罗山期末)以下是测量一颗玻璃球体积的过程:
(1)如图①,将300 cm3的水倒进一个容量为500 cm3的杯子中;
(2)如图②,将四颗相同的玻璃球放入水中,水没有满;
(3)如图③,再将一颗同样的玻璃球放入水中,水满溢出.
根据以上过程,可推测一颗玻璃球的体积 ( )
A.大于10 cm3,小于20 cm3 B.大于20 cm3,小于30 cm3
C.大于30 cm3,小于40 cm3 D.大于40 cm3,小于50 cm3
D
解析 设一颗玻璃球的体积为x cm3,
由题意得 解得40大于40 cm3,小于50 cm3.故选D.
4.(2024四川德阳中江月考)某种出租车的收费标准:起步价5 元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费),超过3千米以 后,每增加1千米,加收1.2元(不足1千米按1千米计).某人乘这 种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元,设甲地到乙地的路 程是x千米,则x的取值范围是 .
11解析 根据题意,可得15.8-1.2<5+(x-3)×1.2≤15.8,解得115.(情境题·中华优秀传统文化)(2023河南洛阳期末)围棋,起源 于中国,古代称为“弈”,距今已有4 000多年的历史.中国象 棋是中华民族的文化瑰宝,它源远流长,趣味浓厚,基本规则 简明易懂.某学校为丰富学生课余生活,欲购买一批象棋和围 棋,已知购买4副象棋和4副围棋共需220元,购买5副象棋和3 副围棋共需215元.
(1)求象棋和围棋的单价.
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副,围棋的数量不少于
40副,且不多于象棋的数量,则总费用可以是3 500元吗
解析 (1)设象棋的单价是x元,围棋的单价是y元,根据题意得 解得
答:象棋的单价是25元,围棋的单价是30元.
(2)设购买象棋m副,则购买围棋(120-m)副,
根据题意得 解得60≤m≤80.
令25m+30(120-m)=3 500,解得m=20,
∵60≤m≤80,∴m=20不符合题意,
∴总费用不可以是3 500元.
能力提升练
6.(2023山东济南期末,9,★★★)若干辆载重为5 t的卡车来运 载货物,若每辆卡车只装3 t,则剩下16 t货物;若每辆卡车装5 t, 则最后一辆卡车不满也不空.那么卡车的辆数可能为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
D
解析 设有x辆卡车,由题意得0<(3x+16)-5(x-1)<5,解得87.(情境题·生命安全与健康)(2024山东德州陵城期末,16,★★☆)研究表明,运动过程中的最佳燃脂心率p不超过(220-年龄)×0.8,不低于(220-年龄)×0.6,则15岁的小明运动时的最佳燃脂心率p满足的范围是 .
123≤p≤164
解析 根据题意得 解得123≤p≤164,
∴15岁的小明运动时的最佳燃脂心率p满足的范围是123≤p ≤164.故答案为123≤p≤164.
8.(2024山东临沂临沭期末,15,★★☆)如图所示的是一个运 行程序,规定:从输入x到判断结果是否>19为一次操作.
如果程序运行了两次才停止,那么x的取值范围是 .
4解析 由题意得 解得49.(2024四川泸州中考,21,★★☆)某商场购进A,B两种商品, 已知购进3件A商品比购进4件B商品的费用多60元;购进5件 A商品和2件B商品的总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件的进价各为多少元.
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数 不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售,B商品按 每件80元销售,已知销售完A,B两种商品后获得的总利润不 低于1 770元,则购进A商品的件数最多为多少
解析 (1)设A商品的进价是x元/件,B商品的进价是y元/件,
根据题意得 解得
答:A商品的进价是100元/件,B商品的进价是60元/件.
(2)设购进m件A商品,则购进(60-m)件B商品,
由题意得
解得19≤m≤20,
∴m的最大值为20.
答:购进A商品的件数最多为20件.
10.(2024山东日照高新区期末,21,★★☆)近年来新能源汽车 产业及市场迅猛增长,为了缓解新能源汽车充电难的问题,某 小区计划新建地上和地下两类充电桩,每个充电桩的占地面 积分别为3 m2和1 m2,已知新建1个地上充电桩和2个地下充 电桩需要0.8万元,新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要 0.7万元.
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少 万元
(2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩,
且地下充电桩的数量不少于40个,则共有几种建造方案 请 列出所有方案.
(3)考虑到充电设备对小区居住环境的影响,在(2)的条件下, 哪种方案占地面积最小
解析 (1)设新建一个地上充电桩需要x万元,新建一个地下 充电桩需要y万元,
由题意得 解得
答:新建一个地上充电桩需要0.2万元,新建一个地下充电桩 需要0.3万元.
(2)设新建m个地上充电桩,则新建(60-m)个地下充电桩,
由题意得
解得17≤m≤20,
∴整数m的值为17,18,19,20.
∴共有4种方案,
方案①:新建17个地上充电桩,43个地下充电桩;
方案②:新建18个地上充电桩,42个地下充电桩;
方案③:新建19个地上充电桩,41个地下充电桩;
方案④:新建20个地上充电桩,40个地下充电桩.
(3)方案①占地面积为17×3+43×1=94(m2),
方案②占地面积为18×3+42×1=96(m2),
方案③占地面积为19×3+41×1=98(m2),
方案④占地面积为20×3+40×1=100(m2),
∵94<96<98<100,∴方案①占地面积最小.
素养探究练
11.(运算能力)(2023河南南阳淅川期末)先阅读理解下列例 题,再按要求完成作业.
例题:解一元二次不等式(3x-6)(2x+4)>0.
解:由乘法法则“两数相乘,同号得正”,得① 或②
解不等式组①,得x>2,解不等式组②,得x<-2.
所以一元二次不等式(3x-6)(2x+4)>0的解集是x>2或x<-2.
(1)求不等式(2x+8)(3-x)<0的解集.
(2)求不等式 >0的解集.
解析 (1)由乘法法则“两数相乘,异号得负”,得① 或②
解不等式组①,得x>3,
解不等式组②,得x<-4,
所以不等式(2x+8)(3-x)<0的解集是x>3或x<-4.
(2)由除法法则“两数相除,同号得正”,
得① 或②
解不等式组①,得-3解不等式组②,无解,
所以不等式 >0的解集是-34 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点3 一元一次不等式的实际应用
基础过关练
1.(2024四川成都新津期中)小明要从A地到B地,两地相距5.7 千米,已知他步行的平均速度为90米/分钟,跑步的平均速度 为210米/分钟,若他要在52分钟之内到达,则他至少需要跑步 多少分钟 设他跑步的时间为x分钟,则列出的不等式为 ( )
A.210x+90(52-x)≥5 700 B.210x+90(52-x)≤5 700
C.210x+90(52-x)≥5.7 D.210x+90(52-x)≤5.7
A
解析 根据“步行时间×步行速度+跑步时间×跑步速度≥
5 700”可列不等式为210x+90(52-x)≥5 700,故选A.
2.(情境题·社会主义先进文化)(2024安徽无为月考)为庆祝2024年全国两会胜利召开,某中学举行了以“两会精神”为主题的知识竞赛,一共有25道题,答对一题得4分,答错或不答一题倒扣1分,大赛组委会规定总得分高于80分获奖,若小轩要想获奖,则他至少要答对的题数是( )
A.20 B.21 C.22 D.23
C
解析 设小轩要答对的题数是x,则答错或不答的题数为25-x,
根据题意,可得4x-1×(25-x)>80,解得x>21,
∴小轩至少要答对的题数是22.故选C.
3.象征吉祥幸福的丁香花是西宁市市花.为美化丁香大道,园 林局准备购买某种规格的丁香花,若每棵6元,总费用不超过
5 000元,则最多可以购买 棵.
833
解析 设购买x棵丁香花,
根据题意得6x≤5 000,解得x≤833 ,
∵x为整数,∴x的最大值为833,
∴最多可以购买833棵.故答案为833.
4.(情境题·现实生活)(2024山西晋中期末)在学校举办的“阅 读经典·传承文明”读书活动期间,小亮从图书馆借到一本共 108页的经典图书,计划在一周内读完.若周六日每天的阅读 页数是周一到周五每天阅读页数的2倍(小亮周一到周五每 天阅读页数是一定的),则小亮周一到周五每天至少要读
页.
12
解析 设小亮周一到周五每天要读x页,则周六日每天要读2x 页,根据题意得5x+2×2x≥108,
解得x≥12,∴x的最小值为12,
∴小亮周一到周五每天至少要读12页.故答案为12.
5.(跨生物·食物链)(2024江苏扬州仪征月考)一般来说,在一条 食物链中上一营养级的能量只有10%~20%能够流入下一营 养级,在“植物→食草动物→食肉动物”这条食物链中,要使 食肉动物增长不少于5千克,则至少需消耗植物 千克.
125
解析 设需要消耗植物x千克,
∵在一条食物链中上一营养级的能量只有10%~20%能够流 入下一营养级,∴20%×20%x≥5,
解得x≥125,∴至少需消耗植物125千克,
故答案为125.
6.(2024山东聊城阳谷期中)为进一步落实“德智体美劳”五 育并举,某中学开展球类比赛,准备从体育用品商场一次性购 买若干个足球和篮球.已知购买2个足球和1个篮球共需210 元,购买3个足球和2个篮球共需360元.
(1)足球和篮球的单价各多少元
(2)根据学校的实际情况,需一次性购买足球和篮球共100个, 且购买足球和篮球的总费用不超过7 200元,则学校最多可以 购买多少个篮球
解析 (1)设足球的单价为x元,篮球的单价为y元,根据题意得 解得
答:足球的单价为60元,篮球的单价为90元.
(2)设学校购买m个篮球,则购买(100-m)个足球,
由题意得90m+60(100-m)≤7 200,解得m≤40,
∴学校最多可以购买40个篮球.
能力提升练
7.(2024山东淄博淄川期末,10,★★☆)某品牌衬衫的进价为120元,标价为240元,商家打算打折销售,但利润率不能低于20%,则这种品牌的衬衫最多可以打( )
A.8折 B.6折 C.7折 D.9折
B
解析 设该品牌衬衫打x折,由题意得240× -120≥120×
20%,解得x≥6,所以这种品牌的衬衫最多可以打6折.故选B.
8.(2022山东青岛市北期中,5,★★☆)爆破员要爆破一座旧 桥,根据爆破情况,安全距离是70米(爆破员在点燃导火索后 要在爆破前撤到70米及以外的安全区域),下面是已知的一些 数据,人员的速度是5米/秒,导火索的燃烧速度是10厘米/秒, 则这次爆破的导火索的长度至少是多少厘米才能确保安全 ( )
A.130厘米 B.140厘米
C.150厘米 D.160厘米
B
解析 设这次爆破的导火索的长度为x厘米,依题意得5×
≥70,解得x≥140,故选B.
9.(2024湖北武汉江夏期末,19,★★☆)对于一个实数x,按如图 所示的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个实数x” 到“判断结果是否大于89”为一次操作,若程序只运行一次 就停止,则x的取值范围是 .
x>32
解析 根据题意得3x-7>89,解得x>32,
∴x的取值范围是x>32.
10.(情境题·科学研究)(2024山东菏泽单县期末,22(1),★★☆) 2023年5月17日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运 载火箭,成功发射第56颗北斗导航卫星.某航模店看准商机, 推出了“火箭”和“卫星”两款模型.该航模店计划购买两 种模型共200个,购进“卫星”模型的数量不超过“火箭” 模型数量的2倍.求最多购进“卫星”模型多少个.
解析 设购进x个“卫星”模型,则购进(200-x)个“火箭”模 型,根据题意得x≤2(200-x),
解得x≤ ,∵x为正整数,∴x的最大值为133.
答:最多购进“卫星”模型133个.
11.(情境题·生命安全与健康)(2024山西中考,17,★★☆)为加 强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干 粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元,干粉灭火 器的单价为380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过2 1 000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
解析 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火 器(50-x)个,
根据题意得540x+380(50-x)≤21 000,
解得x≤12.5,∵x为整数,∴x的最大值为12.
答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
12.(情境题·中华优秀传统文化)(2024湖南长沙中考,22,★★☆)刺绣是我国民间传统手工艺,湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,某国际旅游公司计划购买A,B两种湘绣作品作为纪念品.已知购买
1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需1 200元.
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元.
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50 000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件
解析 (1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价 为y元,
根据题意得 解得
答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.
(2)设购买A种湘绣作品m件,则购买B种湘绣作品(200-m)件,
根据题意得300m+200(200-m)≤50 000,
解得m≤100,∴m的最大值为100.
答:最多能购买100件A种湘绣作品.
13.(2023山东聊城中考,21,★★☆)2023年五一小长假期间, 我市迎来了一个短期旅游高峰.某热门景点的门票价格规定 如表:
票的种类 A B C
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
票价/(元/张) 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于 乙团,每个团至少有2人).在打算购买门票时,如果把两团联合 作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元.
(1)求两个旅游团各有多少人.
(2)一个人数不足50的旅游团,当游客人数最低为多少时,购 买B种门票比购买A种门票省钱
解析 (1)设甲旅游团有x人,乙旅游团有y人,
根据题意得 解得
答:甲旅游团有58人,乙旅游团有44人.
(2)设游客人数为m,根据题意得50m>45×51,解得m>45.9,
∵m为正整数,∴m的最小值为46.
答:当游客人数最低为46时,购买B种门票比购买A种门票省钱.
素养探究练
14.(应用意识)(跨生物·营养餐)5月20日是中国学生营养日.某 营养餐公司为学生提供的300克早餐食品中,蛋白质总含量 占8%,包括一份牛奶,一份谷物食品和一个鸡蛋(一个鸡蛋的 质量约为60 g,蛋白质含量占15%),谷物食品和牛奶的部分营 养成分如表所示.
牛奶 谷物食品
项目 每100克 每100克
能量 261千焦 2 215千焦
蛋白质 3.0克 9.0克
脂肪 3.6克 32.4克
碳水化合物 4.5克 50.8克
钙 100毫克 280毫克
(1)设该份早餐中谷物食品为x克,牛奶为y克,则谷物食品中所 含的蛋白质为 克,牛奶中所含的蛋白质为 克.(用含x,y的式子表示)
(2)求出(1)中x,y的值.
(3)该公司为学校提供的午餐有A,B两种套餐(每天只提供一种):
套餐 主食/克 肉类/克 其他/克
A 150 85 165
B 180 60 160
为了保持膳食平衡,建议合理控制学生的主食摄入量.如果在 一周里,学生午餐主食摄入总量不得超过830克,那么该校在 一周里可以选择A,B套餐各几天 写出所有的方案.(说明:一 周按5天计算)
解析 (1)0.09x;0.03y.
(2)根据题意得
解得 ∴x,y的值分别为130,110.
(3)设该校在一周里可以选择A套餐m天,则选择B套餐(5-m) 天,
根据题意得150m+180(5-m)≤830,解得m≥ ,
∵m,5-m均为非负整数,∴m可以为3,4,5,
∴该校在一周里共有3种选择方案:
方案1:选择A套餐3天,B套餐2天;
方案2:选择A套餐4天,B套餐1天;
方案3:选择A套餐5天.(共27张PPT)
2 不等式的基本性质
第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点1 不等式的基本性质
基础过关练
1.(2024河南安阳滑县期末)下列说法:①若-a>-b,则a>b;②若2 x>-2y,则x>-y;③若ax>ay,则x>y;④若a-1>b-1,则aA.① B.② C.③ D.④
B
解析 ①∵-a>-b,∴a-2y,∴x>-y,故②正 确;③若ax>ay,当a>0时,x>y,故③错误;④∵a-1>b-1,∴a>b,故 ④错误.综上,正确的是②,故选B.
2.如果aA.a+cbc
C.ac+1>bc+1 D.ac2>bc2
D
解析 由abc,ac+1>bc+1,ac23.下列说法错误的是 ( )
A.若a-4>b-4,则a>b
B.若 > ,则a>b
C.若aD.若a>b,则a+5>b+5
C
解析 A项,不等式两边都加上4,不等号的方向不变,故原变 形正确;B项,易知1+m2>0,不等式两边都乘1+m2,不等号的方 向不变,故原变形正确;C项,不等式两边都乘m,必须规定m>0, 才有am4.(新独家原创)若关于x的不等式(m-2)x>m-2可变形为x>1,关 于y的不等式(n-3)y<2(n-3)可变形为y>2,则点P(m-2,n-3)在第 象限.
四
解析 因为关于x的不等式(m-2)x>m-2可变形为x>1,所以m- 2>0.因为关于y的不等式(n-3)y<2(n-3)可变形为y>2,所以n-3< 0,故点P(m-2,n-3)在第四象限.
5.(跨物理·天平)如图,x和5分别表示天平上两边的小方块和 砝码的质量,请你用“>”或“<”填空:x-3 2.
<
解析 由题图知左侧小方块的质量小于右侧砝码的质量,即 x<5,由不等式的基本性质1可得x-3<5-3,即x-3<2.
6.(新考向·阅读理解试题)先阅读下面的解题过程,再解题.
已知a>b,试比较-2 024a+1与-2 024b+1的大小.
解:因为a>b①,
所以-2 024a>-2 024b②,
所以-2 024a+1>-2 024b+1③.
根据上述信息,解答下列问题:
(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误.
(2)错误的原因是 .
(3)请写出正确的解题过程.
解析 (1)②.
(2)不等式两边都乘同一个负数,不等号的方向没有改变.
(3)∵a>b,
∴-2 024a<-2 024b,
∴-2 024a+1<-2 024b+1.
知识点2 用不等式的基本性质化简不等式
7.(2023安徽合肥瑶海期末)下列说法正确的是 ( )
A.如果- x>1,那么x<-
B.如果-x>2,那么x<2
C.如果2x<-2,那么x>-1
D.如果- x<0那么x>0
D
解析 A项,如果- x>1,那么x<-2,故A不合题意;B项,如果-x>
2,那么x<-2,故B不合题意;C项,如果2x<-2,那么x<-1,故C不合 题意;D项,如果- x<0,那么x>0,故D符合题意.故选D.
8.写出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条基本性质 得到的.
(1)由 x>-3,得x>-6: ;
(2)由3+x≤5,得x≤2: ;
(3)由-3x<9,得x>-3: ;
(4)由3x≥2x-4,得x≥-4: .
不等式的基本性质2
不等式的基本性质1
不等式的基本性质3
不等式的基本性质1
9.(教材变式·P140习题T2)根据不等式的基本性质,把下列不 等式化成“x>(≥)a”或“x<(≤)a”的形式(在括号中注明 使用的是不等式的哪条基本性质):
(1)-6x<18. (2)2x≤3x+6.
(3)x> x-2. (4) > .
解析 (1)∵-6x<18,∴-6x÷(-6)>18÷(-6),即x>-3(不等式的基本 性质3).
(2)∵2x≤3x+6,∴2x-3x≤3x+6-3x(不等式的基本性质1),∴-x ≤6,∴x≥-6(不等式的基本性质3).
(3)∵x> x-2,∴x- x> x-2- x(不等式的基本性质1),∴ x>-2,
∴x>-3(不等式的基本性质2).
(4)∵ > ,∴2x-2>3x+1(不等式的基本性质2),∴2x-2-3
x+2>3x+1-3x+2(不等式的基本性质1),∴-x>3,∴x<-3(不等式
的基本性质3).
能力提升练
10.(2024上海中考,1,★☆☆)如果x>y,那么下列选项正确的是 ( )
A.x+5≤y+5 B.x-5C.5x>5y D.-5x>-5y
C
解析 ∵x>y,∴x+5>y+5,x-5>y-5,5x>5y,-5x<-5y,故选项A,B,D 不符合题意,选项C符合题意.故选C.
11.(2024吉林长春中考,5,★☆☆)不等关系在生活中广泛存 在.如图,a,b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.图 中两人的对话体现的数学原理是( )
A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,b>c,则a>c
C.若a>b,c>0,则ac>bc D.若a>b,c>0,则 >
A
解析 题图中两人的对话体现的数学原理是若a>b,则a+c>b +c.故选A.
12.(2024安徽阜阳期末,4,★★☆)若1-m<1-n,则下列不等式一 定成立的是 ( )
A.-2m+1>-2n+1 B.m+14>n+14
C.m+a>n+b D.-am>-an
B
解析 ∵1-m<1-n,∴m>n.
A.∵m>n,∴-2m+1<-2n+1,故本选项不符合题意;
B.∵m>n,∴m+14>n+14,故本选项符合题意;
C.由m>n无法推出m+a>n+b,故本选项不符合题意;
D.-am>-an不一定成立,故本选项不符合题意.故选B.
13.(2021山东临沂中考,13,★★☆)已知a>b,下列结论:①a2> ab;②a2>b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则 < .其中正确的
个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 ∵a>b,∴当a>0时,a2>ab,当a=0时,a2=ab,当a<0时,a2< ab,故结论①错误;∵a>b,∴当|a|>|b|时,a2>b2,当|a|<|b|时,a2b,b<0,∴a+b>2b,故结论 ③错误;∵a>b,b>0,∴a>b>0,∴ < ,故结论④正确.∴正确的
个数是1.故选A.
14.(2023山东济宁兖州期末,13,★★☆)已知xay.你所写的实数a是 .
-2(答案不唯一)
解析 由题意可知不等式x素养探究练
15.(推理能力)(新考向·代数推理)【阅读】
根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a这种比较大小的方法称为“作差法”.
【理解】
(1)若a-b+2>0,则a+1 b-1.(填“>”“=”或“<”)
【运用】
(2)若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N的大小.
【拓展】
(3)请运用“作差法”解决下面这个问题.
制作某产品有两种用料方案:
方案一:用5块A型钢板,6块B型钢板.
方案二:用4块A型钢板,7块B型钢板.每块A型钢板的面积比 每块B型钢板的面积小.方案一的总面积记为S1,方案二的总 面积记为S2,试比较S1,S2的大小.
解析 (1)∵a+1-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2>0,
∴a+1>b-1.故答案为>.
(2)∵M=a2+3b,N=2a2+3b+1,
∴M-N=a2+3b-(2a2+3b+1)=a2+3b-2a2-3b-1=-a2-1,
∵-a2-1<0,∴M(3)设每块A型钢板的面积为a,每块B型钢板的面积为b,
∴S1=5a+6b,S2=4a+7b,
∴S1-S2=5a+6b-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b,
∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,∴a<0,∴S1