(共31张PPT)
6 三角形内角和定理
第1课时 三角形的内角和定理
第八章 平行线的有关证明
知识点1 三角形内角和定理
基础过关练
1.(2024河南洛阳宜阳期末)在△ABC中,∠A=30°,∠C=65°,则 △ABC为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
C
解析 ∵∠A=30°,∠C=65°,∴∠B=180°-∠A-∠C=85°,
∴△ABC是锐角三角形.故选C.
2.(方程思想)(新独家原创)一个三角形的三个内角均不相等, 且∠A的度数比∠B的度数小10°,∠C的度数比∠B的度数大 40°,则这个三角形中最大的角的度数为 ( )
A.90° B.35° C.65° D.100°
A
解析 设∠A的度数为x°,则∠B的度数为(x+10)°,∠C的度数 为(x+10+40)°,根据三角形内角和定理可得x+x+10+x+10+40= 180,解得x=40,所以这个三角形中最大的角的度数为40°+10° +40°=90°,故选A.
3.(2024山东淄博周村一模)如图,将一副三角尺拼成如图所 示的图形,则∠BAC的度数为( )
A.75° B.60° C.105° D.120°
A
解析 根据题意可得∠ABC=45°,∠ACB=60°,∵∠BAC+
∠ABC+∠ACB=180°,∴∠BAC=180°-45°-60°=75°,
故选A.
4.(2023陕西西安碑林模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B =50°,DF∥EB.若∠D=70°,则∠ACD的度数为 ( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
A
解析 ∵△ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,∴∠A=40°,
∵DF∥EB,∠D=70°,
∴∠D=∠CEB=70°,∴∠AEC=180°-70°=110°,
∴∠ACD=180°-∠AEC-∠A=180°-110°-40°=30°.故选A.
5.(2024河北石家庄新华模拟)如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向上,在B岛的北偏西60°方向上,A岛在B岛的北偏西80°方向 上,则∠ACB的度数为( )
A.80° B.95° C.110° D.140°
C
解析 ∵C岛在A岛的北偏东50°方向上,∴∠CAD=50°,
∵C岛在B岛的北偏西60°方向上,∴∠CBE=60°,
∵A岛在B岛的北偏西80°方向上,
∴∠ABE=80°,∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=20°,
∵AD∥BE,∴∠DAB+∠ABE=180°,
∴∠DAB=100°,∴∠BAC=∠DAB-∠DAC=50°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-20°=110°.故选C.
6.(跨物理·镜面反射)(2023江苏南京期末)如图,两面镜子AB, BC的夹角为∠α,当光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4. 若∠α=70°,则∠β的度数是 ( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
C
解析 如图,
由题意得∠5=180°-(∠1+∠2)=180°-2∠2,∠6=180°-(∠3+∠4)=180°-2∠3,∵∠α=70°,∴∠2+∠3=180°-∠α=110°,∵∠β=180°-(∠5+∠6),∴∠β=180°-(180°-2∠2+180°-2∠3)=2(∠2+∠3)-180°=40°.故选C.
7.(2024江苏扬州邗江月考)如图,△ABC中,AD是BC边上的 高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,且AE,BF相交于点 O,∠CBA=70°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.
解析 ∵∠CBA=70°,∠C=60°,∴∠CAB=180°-∠CBA-∠C
=180°-70°-60°=50°,∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°,
∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠EAF=∠BAE= ∠CAB= ×50°=25°,
∠CBF=∠ABF= ∠ABC= ×70°=35°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=30°-25°=5°,
∠BOA=180°-∠BAE-∠ABF=180°-25°-35°=120°.
能力提升练
8.(2023山东青岛市北期末,2,★★☆)具备下列条件的△ABC, 不是直角三角形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1
B.∠A-∠C=∠B
C.∠A=∠B=2∠C
D.∠A= ∠B= ∠C
C
解析 A项,由∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,可知∠A=∠B+∠C, 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°,所以△ABC是直角三 角形,不符合题意;B项,由∠A-∠C=∠B,可知∠A=∠B+∠C, 因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°,所以△ABC是直角三 角形,不符合题意;C项,由∠A=∠B=2∠C,可知∠A+∠B+∠C =5∠C=180°,所以∠C=36°,所以∠A=∠B=72°,所以△ABC不是直角三角形,符合题意;D项,由∠A= ∠B= ∠C,可知
∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,所以∠A+∠B=∠C,因为∠A+∠B+
∠C=180°,所以∠C=90°,所以△ABC是直角三角形,不符合题意.故选C.
9.(2023山东聊城中考,5,★★☆)如图,分别过△ABC的顶点A, B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
B
解析 ∵AD∥BE,∴∠ADC=∠EBC=80°,∵∠CAD+∠ADC+
∠ACB=180°,∠CAD=25°,∴∠ACB=180°-25°-80°=75°,故选B.
10.(2024山东聊城东昌府二模,8,★★☆)将一副三角尺按如 图所示的方式放置,其中∠B=∠C=45°,∠D=60°,∠E=30°,
若∠CAD=150°,则∠4=( )
A.75° B.80° C.60° D.65°
A
解析 如图,
根据题意得∠CAB=90°,
∵∠CAD=150°,
∴∠3=∠CAD-∠CAB=150°-90°=60°,
∵∠EFB=∠AFD,∠4+∠B+∠EFB=
∠3+∠D+∠AFD=180°,
∴∠4+∠B=∠3+∠D,
∴∠4+45°=60°+60°,∴∠4=75°.故选A.
11.(2024山东枣庄薛城期中,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B+ ∠C=110°,AM平分∠BAC,交BC于点M,MN∥AB,交AC于点N, 则∠AMN的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.55°
B
解析 ∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-110°=70°,
∵AM平分∠BAC,∴∠BAM= ∠BAC=35°,
∵MN∥AB,∴∠AMN=∠BAM=35°,故选B.
12.(2024四川凉山州中考,15,★★☆)如图,△ABC中,∠BCD= 30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,交 BC于E,则∠AEB的度数是 .
100°
解析 ∵CD是边AB上的高,
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°,∠CBD=90°-∠BCD=60°,
∴∠CAB=90°-∠ACD=40°,
∵AE是∠CAB的平分线,
∴∠EAB= ∠CAB=20°,
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°,故答案为100°.
13.(2024山东济南期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC于点E,若∠BAD=50°,∠CAE=30°,求∠B的度数.
解析 ∵在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAD=50°,
∴∠BAC=50°×2=100°,
∵∠CAE=30°,∠BAC=∠BAE+∠EAC,
∴∠BAE=100°-30°=70°,
∵AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°,
∴∠B+∠BAE=90°,
∴∠B=90°-70°=20°.
14.(2024山东枣庄薛城期末,24,★★★)王丽在学习中遇到这 样一个问题:
如图1,在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D. 猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由.
(1)王丽阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路.于是尝 试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 α 30
上表中α= .
(2)猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由.
(3)王丽突发奇想,交换B,C两个字母的位置,如图2,过EA的延 长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D,当∠ABC=78°,
∠C=22°时,∠F的度数为 °.
解析 (1)20.
(2)猜想:∠EAD= (∠C-∠B).
理由:∵AD⊥BC,∴∠DAC=90°-∠C,
∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-∠C,
∴∠EAC= ∠BAC=90°- ∠B- ∠C,
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°- ∠B- ∠C-(90°-∠C)
= (∠C-∠B).
(3)如图,过点A作AH⊥CD于点H.
∵AH⊥CD,FD⊥CD,∴AH∥DF,
∴∠F=∠EAH= (∠ABC-∠C)= ×(78°-22°)=28°,故答案为28.(共31张PPT)
6 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
第八章 平行线的有关证明
知识点2 三角形的外角
基础过关练
1.(新独家原创)如图所示,∠β是 的外角,∠γ是
的外角.(填三角形)
答案 △ABD;△ADC、△ABC
知识点3 三角形内角和定理的推论
2.(跨体育与健康·侧压腿)(2023山东菏泽定陶一模)体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形,如果∠1=110°,那么∠2等于( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
B
解析 由题意可得∠2=∠1-90°=20°.故选B.
3.(2024四川乐山模拟)如图,将一副三角尺按图中所示的方 式摆放,点C在FD的延长线上,点C,F均为三角形的直角顶点, 且∠A=60°,∠E=45°,若AB∥CF,则∠CBD的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
A
解析 ∵∠A=60°,∠E=45°,∠ACB=∠EFD=90°,
∴∠ABC=30°,∠EDF=45°,
∵AB∥CF,∴∠BCD=∠ABC=30°.
∵∠BDF是△BCD的外角,
∴∠CBD=∠EDF-∠BCD=45°-30°=15°.
故选A.
4.(教材变式·P58例4)(2023河北沧州任丘三模)如图,在△ABC 中,E为边AC上一点,延长AB到点F,延长BC到点D,连接DE.
∠1,∠2,∠3的大小关系为 ( )
A.∠2>∠1>∠3 B.∠1>∠3>∠2
C.∠1>∠2=∠3 D.∠1>∠2>∠3
D
解析 ∵∠2是△CDE的一个外角,∴∠2>∠3,
∵∠1是△ABC的一个外角,
∴∠1>∠2,
∴∠1>∠2>∠3.
故选D.
5.(2024陕西西安新城三模)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC 交BC于点D,∠C=30°,∠ADB=80°,则∠B的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
A
解析 ∵∠ADB=∠C+∠DAC=80°,∠C=30°,
∴∠DAC=50°,
∵AD平分∠BAC交BC于点D,
∴∠BAC=2∠DAC=100°,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=180°-100°-30°=50°,故选A.
6.如图,在△ABC中,∠ADB=∠ABC,则与∠ABD相等的角为 .
∠C
解析 ∵∠ADB为△BDC的外角,∴∠ADB=∠DBC+∠C,
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠ABC,∴∠ABD=∠C.
7.(教材变式·P62T8)如图,BD是△ABC的角平分线,交AC于点 D,DE∥BC,交AB于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,则∠BED的度 数为 .
150°
解析 ∵∠BDC是△ABD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°.
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠DBC=∠ABD=15°.
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD=15°.
∴∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=180°-15°-15°=150°.
8.(2024四川成都金牛期末)如图,△ABC的外角∠ACD的平分 线与线段BA的延长线交于点F,点E在线段CF上,且∠AEF+ ∠FCD=180°.
(1)求证:AE∥BC.
(2)若∠B=28°,∠ACF=62°,求∠BAC的度数.
解析 (1)证明:∵∠AEF+∠AEC=180°,∠AEF+∠FCD=180°, ∴∠AEC=∠FCD,∴AE∥BC.
(2)∵CF是∠ACD的平分线,∠ACF=62°,
∴∠ACD=2∠ACF=124°,
∵∠B=28°,
∴∠BAC=∠ACD-∠B=124°-28°=96°.
能力提升练
9.(跨物理·凸透镜)(2024山东潍坊诸城二模,5,★★☆)如图,一 束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束 经过光心O的光线相交于点P,点F为该凸透镜的焦点.若∠1= 150°,∠3=50°,则∠2的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
A
解析 由题意得∠1+∠PFO=180°,
∵∠1=150°,∴∠PFO=30°,
∵∠3=∠PFO+∠POF,∠3=50°,
∴∠POF=20°,∴∠2=∠POF=20°,故选A.
10.(2023山东青岛期末,8,★★☆)如图,AB∥DE,∠ABC=80°, ∠CDE=140°,则∠BCD的度数为( )
A.30° B.40° C.60° D.80°
B
解析 反向延长DE交BC于M,如图,
∵AB∥DE,∴∠BMD=∠ABC=80°,∴∠CMD=180°-∠BMD=100°,∵∠CDE=∠CMD+∠C,
∴∠BCD=∠CDE-∠CMD=140°-100°=40°.故选B.
11.(2024广东江门期末,9,★★☆)如图,∠ACE是△ABC的外 角,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,且BD,CD交于点D.若∠A= 70°,则∠D等于 ( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
B
解析 ∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE.
∴∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2(∠DCE-∠DBC) =2∠D.
∵∠A=70°,∴∠D= ∠A=35°.故选B.
12.(2024吉林长春朝阳实验学校期中,11,★★☆)如图所示的 是可调躺椅示意图,AE与BD的交点为C,∠CAB=50°,∠CBA= 60°,∠CEF=30°.为了舒适,需调整∠CDF的大小,使∠EFD=1 50°,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变,则图中∠CDF应调整为 度.
50
解析 如图,延长DF交CE于M,
∵∠CAB=50°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-50°-60°=70°,
∴∠DCE=∠ACB=70°,
∵∠EFD=∠E+∠EMF,∠EMF=∠D+∠DCE,
∴∠EFD=∠E+∠D+∠DCE,
∵∠CEF=30°,∠EFD=150°,
∴∠CDF=50°,
∴∠CDF应调整为50°.
故答案为50.
13.(飞镖模型)(2024山东德州宁津期末,20,★★☆)如图,点D 在AB上,点E在AC上,BE,CD相交于点O.
(1)若∠A=50°,∠C=30°,∠BOC=110°,求∠B的度数.
(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的数量关系,并证明你 猜想的正确性.
解析 (1)∵∠C=30°,∠BOC=110°,
∴∠BEC=∠BOC-∠C=110°-30°=80°.
∵∠A=50°,
∴∠B=∠BEC-∠A=80°-50°=30°.
(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C.证明如下:
∵∠BEC=∠A+∠B,∠BOC=∠BEC+∠C,
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.
素养探究练
14.(推理能力)(2024山东德州平原期末)小明在学习过程中, 对教材中的一个有趣问题做了如图所示的探究:
(1)【习题回顾】已知:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是 ∠BAC的平分线,交BC于E,CD是AB边上的高,AE,CD相交于 点F.求证:∠CFE=∠CEF.
(2)【变式思考】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线交CD边的延长线于点F,交BC边的延长线于点E,∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数.
(3)【探究延伸】如图3,在△ABC中,边AB上存在一点D,使得 ∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AE交CD于点F,交BC于点E.△ ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于 点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
解析 (1)证明:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高,
∴∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠B=∠ACD,
∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAF=∠DAF,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,
∴∠CEF=∠CFE.
(2)∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠GAB=∠B+∠ACB=40°+90°=130°,
∵AF为∠BAG的平分线,
∴∠GAF=∠DAF= ×130°=65°,
∵CD为AB边上的高,∴∠ADF=90°,
∴∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°,
∵∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,
∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°.
(3)∵C,A,G三点共线,AE,AN分别为∠BAC,∠BAG的平分线,
∴∠EAN=90°,∠CAE=∠EAB,
∴∠M+∠CEF=90°,
∵∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.(共13张PPT)
2 证明的必要性
第八章 平行线的有关证明
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述,正确的是( )
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据的推理
知识点1 证明的必要性
基础过关练
D
解析 经验,观察或实验只能为数学活动提供思路,要想得到 正确结论,每一步都要有严密的逻辑推理过程,故选D.
2.(教材变式·P39随堂练习T1)先观察,再验证.
(1)图①中实线是直的还是弯曲的
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长
解析 (1)观察可能得出的结论是题图①中实线是弯曲的,用 科学的方法验证可知题图①中实线是直的.
(2)观察可能得出的结论是题图②中a更长一些,用科学的方 法验证可知题图②中a与b一样长.
知识点2 证明的概念
3.(新考向·代数推理)有一个密码箱,密码由三个数字组成,甲、
乙、丙三个人都开过,但都记不清了.甲记得这三个数字分别是7,2,1,但第一个数字不是7;乙记得1和2的位置相邻;丙记得中间的数字不是1.根据以上信息,可以确定密码是 .
127
解析 ∵三个数字分别是7,2,1,但第一个数字不是7,∴第一 个数字为1或2,∵1和2的位置相邻,∴前两个数字是1,2或2,1, 第三个数字是7,∵中间的数字不是1,∴第一个数字只能是1, 第二个数字为2,即密码为127.
4.(新考向·代数推理)已知代数式n(n+2)-(n+1)2.
(1)当n的值为1,2,3,4,5时,分别求该代数式的值.
(2)根据(1)中的计算结果,小康猜想:当n为任意正整数时,n(n+ 2)-(n+1)2的值都是-1.小康的猜想正确吗 请说明理由.
解析 (1)当n=1时,原式=1×3-4=-1;
当n=2时,原式=2×4-9=-1;
当n=3时,原式=3×5-16=-1;
当n=4时,原式=4×6-25=-1;
当n=5时,原式=5×7-36=-1.
(2)正确.理由:∵n(n+2)-(n+1)2=n2+2n-n2-2n-1=-1,∴当n为任意 正整数时,n(n+2)-(n+1)2的值都是-1.
能力提升练
5.(2023山东淄博张店期中,5,★★☆)甲、乙、丙三个学生分 别在A,B,C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业, 若已知①甲不在A校学习;②乙不在B校学习;③在B校学习的 学数学;④在A校学习的不学化学;⑤乙不学物理,则 ( )
A.甲在B校学习,丙在A校学习 B.甲在B校学习,丙在C校学习
C.甲在C校学习,丙在B校学习 D.甲在C校学习,丙在A校学习
A
解析 因为在B校学习的学数学,在A校学习的不学化学,所 以在A校学习的学物理,在C校学习的学化学,因为乙不在B校 学习,乙不学物理,所以乙在C校学习,因为甲不在A校学习,所 以甲在B校学习,丙在A校学习.故选A.
6.(2023山东淄博临淄期末,5,★★☆)小明花整数元网购了一 本《趣数学》,让同学们猜书的价格.甲说:“至少15元”,乙 说:“至多13元”,丙说:“至多10元”.小明说:“你们都猜错 了.”则这本书的价格为( )
A.12元 B.13元 C.14元 D.无法确定
C
解析 由题意可得,甲、乙、丙的说法都是错误的,甲的说法 错误,说明这本书的价格少于15元,乙、丙的说法错误,说明 这本书的价格高于13元,因为小明花整数元网购了一本《趣 数学》,所以这本书的价格是14元,故选C.
素养探究练
7.(推理能力)如图,点B,C,D在同一条直线上,请你从下面三个 条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个 正确的命题.
①CE∥AB;②∠A=∠B;③CE平分∠ACD.
(1)上述问题有哪几种正确的命题 请按“☆☆ ☆”的形式 一一书写出来.
(2)选择(1)中的一个真命题加以证明.
解析 (1)有三种正确的命题,分别是:命题1:①② ③;命题2: ①③ ②;命题3:②③ ①.
(2)答案不唯一.可选择命题1:①② ③.
证明:∵CE∥AB,∴∠ACE=∠A,∠DCE=∠B.
∵∠A=∠B,∴∠ACE=∠DCE.
∴CE平分∠ACD.(共23张PPT)
1 定义与命题
第八章 平行线的有关证明
知识点1 定义的概念
基础过关练
1.(2023浙江宁波余姚期中)下列语句是定义的是( )
A.直线a和b垂直吗
B.延长AB到C使BC=2AB
C.两直线平行,内错角相等
D.无限不循环小数是无理数
D
解析 A.直线a和b垂直吗 不是定义;B.延长AB到C使BC=2 AB,不是定义;C.两直线平行,内错角相等,不是定义;D.无限不 循环小数是无理数,是定义,故选D.
2.(教材变式·P35随堂练习T1)写出钝角的定义:
.
大于直角且小于平角的角叫做钝角
知识点2 命题的概念
3.(2024山东青岛即墨期末)下列语句是命题的是( )
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.多彩的青春 D.明天晴天吗
B
解析 A,C,D中的语句都没有作出判断,不是命题,B中的语 句作出了判断,是命题,故A,C,D不符合题意,B符合题意.故选B.
知识点3 命题的结构
4.命题“邻补角的和为180°”的条件是 ( )
A.两个角的和是180° B.和为180°的两个角为邻补角
C.两个角为邻补角 D.邻补角的和是180°
C
解析 将命题“邻补角的和为180°”写成“如果……那么
……”的形式为“如果两个角为邻补角,那么它们的和为
180°”,故条件是两个角为邻补角.
5.把命题“负数的偶次幂是正数”改写成“如果……那么 ……”的形式.
解析 根据命题的改写方法,原命题可以改写为如果一个数 是负数,那么它的偶次幂是正数.
6.下列语句哪些是命题 是命题的,请你先把命题改写成“如 果……那么……”的形式,再指出命题的条件和结论.
(1)角是平面图形吗
(2)互为相反数的两个数中,一定有一个数是正数.
(3)作直线AB的垂线CD.
(4)一个角的余角是锐角.
解析 (2)(4)是命题.
(2)如果两个数互为相反数,那么这两个数中一定有一个数是 正数.其中条件是两个数互为相反数,结论是这两个数中一定 有一个数是正数.
(4)如果一个角是另一个角的余角,那么这个角是锐角.其中 条件是一个角是另一个角的余角,结论是这个角是锐角.
知识点4 命题的分类
7.(2024山东威海乳山期末)下列命题是假命题的是 ( )
A.对顶角相等
B.同旁内角互补
C.全等三角形的对应边相等
D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B
解析 A.对顶角相等,是真命题,故本选项不符合题意;B.两 直线平行,同旁内角互补,故原命题是假命题,故本选项符合 题意;C.全等三角形的对应边相等,是真命题,故本选项不符 合题意;D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,是真 命题,故本选项不符合题意.故选B.
8.举反例说明下列命题是假命题.
(1)(a+b)2=a2+b2.
(2)若|a|=|b|,则a=b.
解析 (1)设a=1,b=-1,则(a+b)2=0,a2+b2=1+1=2,所以(a+b)2≠a2+
b2,不符合命题的结论,所以“(a+b)2=a2+b2”是假命题(反例 不唯一,但要能证明原命题是假命题).
(2)设a=1,b=-1,符合命题的条件|a|=|b|,但a=b不成立,所以“若 |a|=|b|,则a=b”是假命题(反例不唯一,但要能证明原命题是 假命题).
9.(教材变式·P38习题T2)(2024陕西渭南韩城月考)指出下列 命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是 假命题,举出一个反例.
(1)当两个角的和等于直角时,这两个角互为余角.
(2)同旁内角互补.
解析 (1)条件:两个角的和等于直角,结论:这两个角互为余角.
这个命题是真命题.
(2)条件:两个角是同旁内角,结论:这两个角互补.
这个命题是假命题.
反例:如图,∠1与∠2是同旁内角,∠1+∠2≠180°.
能力提升练
10.(2024山东青岛李沧期末,6,★☆☆)对于命题“如果a<2, 那么a2<4”,能说明它是假命题的反例是 ( )
A.a=-3 B.a=3 C.a=-1 D.a=1
A
解析 当a=-3时,满足a<2,但不满足a2<4,所以能说明原命题 是假命题的反例是a=-3,故选A.
11.(2024山东德州宁津月考,11,★☆☆)有下列命题:
①两点之间,线段最短;
②任何数的算术平方根都是正数;
③相等的角是对顶角;
④垂直于同一条直线的两条直线平行;
⑤4的平方根是±2.
其中假命题有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
解析 ①两点之间,线段最短,是真命题;
②任何数的算术平方根都是正数,是假命题,如0的算术平方 根是0;
③相等的角是对顶角,是假命题;
④垂直于同一条直线的两条直线平行,是假命题;
⑤4的平方根是±2,是真命题.
故假命题为②③④,共3个,故选B.
12.(2023安徽亳州期末,12,★☆☆)一个命题由“条件”和 “结论”两部分组成,则命题“同角的余角相等”的条件是 .
两个角是同一个角的余角
解析 “同角的余角相等”可改写成“如果两个角是同一 个角的余角,那么它们相等”,所以“同角的余角相等”的条 件是两个角是同一个角的余角,结论是它们相等.
13.(2024山东枣庄薛城期末,13,★☆☆)现有四个命题:
①同位角相等;
②如果a⊥b,a⊥c,那么b⊥c;
③在同一平面内,如果两直线不相交,那么它们就平行;
④当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数.
其中是假命题的是 .(只填序号)
①②④
解析 ①同位角不一定相等,故①是假命题;
②在同一平面内,如果a⊥b,a⊥c,那么b∥c,故②是假命题;
③在同一平面内,如果两直线不相交,那么它们就平行,故③ 是真命题;
④当n=6时,n2+3n+1=55,但55不是质数,故④是假命题.
故答案为①②④.
14.(2023山东烟台莱州期中,13,★☆☆)把命题“互为倒数的 两数之积为1”改写成“如果……那么……”的形式.
解析 “互为倒数的两数之积为1”改写成“如果……那么 ……”的形式为“如果两个数互为倒数,那么这两个数的积 为1”.
素养探究练
15.(推理能力)如图,在△AFD和△CEB中,点 A,E,F,C在同一 条直线上,有下面四个选项:①AD=CB;②AE=CF;③DF=BE; ④AD∥BC.
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道真命题.
条件: (填序号),
结论: (填序号).
① ②④
③(答案不唯一)
解析 条件:①AD=CB,②AE=CF,④AD∥BC,结论:③DF=BE. (答案不唯一)(共14张PPT)
3 基本事实与定理
第八章 平行线的有关证明
知识点1 公理与定理
基础过关练
1.(2024湖北黄石大冶月考)“同位角相等,两直线平行”是
( )
A.公理 B.定理 C.定义 D.待证的命题
A
解析 “同位角相等,两直线平行”是基本事实,是公理,故选A.
2.下列命题是真命题的为 ( )
A.命题都是公理 B.公理不是命题
C.命题不是定理 D.定理都是命题
D
解析 通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫 做公理,A错误;公理是命题,B错误;经过证明的真命题叫做定 理,C错误;定理都是命题,D正确.故选D.
知识点2 证明的格式和一般步骤
3.下列问题用到推理证明的是 ( )
A.根据a=c,b=c,得到a=b
B.通过观察得到了三角形有三个角
C.生物老师告诉我们很多关于人体的奥秘
D.由基本事实知道过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行
A
解析 选项A中用了推理证明,其他选项没有用到推理证明.
4.(2023广东云浮罗定期末)如图,如果∠1=∠2,那么AB∥CD, 其依据是 ( )
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行`
D
解析 ∵∠1=∠2,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故选D.
5.求证:一组邻补角的平分线互相垂直.
解析 已知:如图,∠AOB和∠BOC是邻补角,OD,OE分别是 ∠AOB和∠BOC的平分线.
求证:OD⊥OE.
证明:∵∠AOB和∠BOC是邻补角,
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∵OD,OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线,
∴∠AOD=∠DOB,∠BOE=∠EOC,
∵∠AOD+∠DOB+∠BOE+∠EOC=180°,
∴∠DOB+∠BOE=90°,∴OD⊥OE.
方法归纳
文字叙述题的解题方法是先根据题意写出已知、求证、画 出图形,然后再根据定理或公理进行证明,并写出证明过程.
能力提升练
6.(2022山东菏泽定陶期中,9,★☆☆)下列说法正确的有 ( )
①同位角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④若a∥b,b∥c,
则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
解析 ①如图,
直线AB,CD被直线GH所截,∠AGH与∠CHF是同位角,但它们不相等,故原说法错误;②缺少前提“在同一平面内”,故原说法错误;③应为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,故原说法错误;④平行于同一条直线的两条直线平行,故原说法正确.综上所述,正确的说法是④,共1个.故选A.
7.(2024山东滨州惠民期末,22,★★☆)如图,点D,E,F分别是三 角形ABC的边AB,AC,BC上的点,有下列三个条件:
①DE∥BC;②DF∥AC;③∠1=∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论, 组成命题,请写出所有可以组成的命题.
(2)判断上面所写命题是不是真命题,并对其中的一个真命题 进行推理证明.
解析 (1)可以组成三个命题:
(i)如果①DE∥BC,②DF∥AC,那么③∠1=∠C.
(ii)如果①DE∥BC,③∠1=∠C,那么②DF∥AC.
(iii)如果②DF∥AC,③∠1=∠C,那么①DE∥BC.
(2)上述的三个命题都是真命题,任选一个证明即可.证明如下:
(i)∵DE∥BC,∴∠C+∠DEC=180°,
∵DF∥AC,∴∠1+∠DEC=180°,∴∠1=∠C.
(ii)∵DE∥BC,∴∠C+∠DEC=180°,
∵∠1=∠C,∴∠1+∠DEC=180°,∴DF∥AC.
(iii)∵DF∥AC,∴∠1+∠DEC=180°,
∵∠1=∠C,∴∠C+∠DEC=180°,∴DE∥BC.
素养探究练
8.(推理能力)推理能力都很强的甲、乙、丙三名同学站成一 列,丙可以看见甲、乙,乙可以看见甲但看不见丙,甲看不见 乙、丙.现有5顶帽子,3顶白色,2顶黑色.老师分别给每人戴上 一顶帽子(在各自不知道的情况下).老师先问丙是否知道头 上的帽子颜色,丙回答说不知道;老师再问乙是否知道头上的 帽子颜色,乙也回答说不知道;老师最后问甲是否知道头上的 帽子颜色,甲回答说知道.问:甲戴了什么颜色的帽子
写出推理过程.
解析 甲戴的是白色帽子.理由如下:
因为甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,所以丙站在甲 和乙的后面,乙可以看见甲但看不见丙,所以乙站在甲的后面.
因为丙说不知道,所以甲、乙中至少有一个人戴白色帽子(如 果甲、乙都戴黑色帽子,那么丙马上知道自己戴的是白色帽子).
因为乙也说不知道,所以甲戴的是白色帽子(如果甲戴黑色帽 子,甲、乙中至少有一个人戴白色帽子,那么乙马上知道自己
戴的是白色帽子).(共35张PPT)
4 平行线的判定定理
第八章 平行线的有关证明
知识点1 平行线的判定的基本事实
基础过关练
1.(2022山东济南期中)如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°, ∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是 ( )
A.15° B.25° C.35° D.50°
C
解析 ∵当∠1=∠2=50°时,a∥b,∴要使木条a与b平行,木条 a旋转的度数至少是85°-50°=35°.故选C.
2.(2022浙江台州中考)如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平 行,添加的下列条件中,正确的是 ( )
A.∠2=90° B.∠3=90° C.∠4=90° D.∠5=90°
C
解析 A项,由∠2=90°=∠1不能判定两条铁轨平行;B项,由 ∠3=90°=∠1,可判定两枕木平行;C项,∵∠1=90°,∠4=90°,∴∠1=∠4,∴两条铁轨平行,故该选项符合题意;D项,由∠5=
90°=∠1不能判定两条铁轨平行.故选C.
3.(2024山东泰安泰山期中)如图所示,已知BE⊥MN,垂足为B, DF⊥MN,垂足为D,∠1=∠2.试说明直线AB与CD平行.
证明 ∵BE⊥MN,DF⊥MN,
∴∠MBE=90°,∠MDF=90°,
即∠ABM+∠1=90°,∠CDM+∠2=90°,
∵∠1=∠2,∴∠ABM=∠CDM,∴AB∥CD.
知识点2 平行线的判定定理
4.(跨物理·光的反射)(2024山西运城三模)《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书,潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜,基于光的反射,可得到一组平行线.如图,这是潜望镜工作原理的示意图,它所依据的数学定理是 ( )
C
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.内错角相等,两直线平行
D.同旁内角互补,两直线平行
解析 所依据的数学定理是内错角相等,两直线平行,
故选C.
5.(2024山东枣庄市中月考)如图,下列选项中,错误的是 ( )
A.因为∠A+∠2=180°,所以EF∥BC
B.因为∠B+∠BEF=180°,所以EF∥BC
C.因为∠B=∠2,所以EF∥BC
D.因为∠C=∠1,所以EF∥BC
A
解析 A.由∠A+∠2=180°,可判定AD∥EF,故A符合题意;B. ∵∠B+∠BEF=180°,∴EF∥BC(同旁内角互补,两直线平行), 故B不符合题意;C.∵∠B=∠2,∴EF∥BC(同位角相等,两直 线平行),故C不符合题意;D.∵∠C=∠1,∴EF∥BC(同位角相 等,两直线平行),故D不符合题意.故选A.
6.如图,下列条件:①∠1=∠3;②∠2+∠4=180°;③∠4=∠5;
④∠2=∠3;⑤∠6=∠2+∠3.其中能判定直线l1∥l2的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
B
解析 由∠1=∠3,可判定直线l1∥l2,故①符合题意;由∠2+∠4
=180°,可判定直线l1∥l2,故②符合题意;由∠4=∠5,可判定直 线l1∥l2,故③符合题意;由∠2=∠3不能判定直线l1∥l2,故④不 符合题意;⑤如图,过A作AB∥l2,
则∠3=∠DAB,∵∠6=∠CAB+∠DAB,∠6=∠2+∠3,
∴∠CAB=∠2,∴AB∥l1,∴l1∥l2,故⑤符合题意.故选B.
7.(2024山东泰安泰山期中)如图,如果∠B=∠D=∠E,那么图 中的平行线为 .
CD∥EF
解析 ∵∠D=∠E,∴CD∥EF(内错角相等,两直线平行).故 答案为CD∥EF.
8.(2024广东茂名高州月考)如图,∠1=120°,要使AB∥CD,则 ∠2= .
60°
解析 ∵AB∥CD,∠1=120°,∴∠AFD=180°-∠1=60°,
∴∠2=∠AFD=60°,∴要使AB∥CD,则∠2=60°,
故答案为60°.
9.(2024湖南衡阳衡山期末)如图,下列条件:
①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5.
其中一定能判定AB∥CD的为 (填写所有正确的序号).
①③④
解析 ①∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD,故①符合题意;
②∵∠1=∠2,∴AD∥CB,故②不符合题意;
③∵∠3=∠4,∴AB∥CD,故③符合题意;
④∵∠B=∠5,∴AB∥CD,故④符合题意.
故答案为①③④.
10.(2024湖南衡阳期末)如图,点O为直线AB上一点,OF⊥OE, ∠DOE=55°,OF平分∠AOD,∠D=110°.证明:CD∥AB.
解析 证明 ∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°,
∵∠DOE=55°,∴∠DOF=35°,
∵OF平分∠AOD,∴∠AOD=2∠DOF=2×35°=70°,
∴∠AOD+∠D=70°+110°=180°,∴CD∥AB.
能力提升练
11.(2024山东德州宁津月考,6,★★☆)下列各图中,能画出AB∥CD的是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④
D
解析 题图①中可由同位角相等,两直线平行画出AB∥CD; 题图②③中可由同一平面内垂直于同一条直线的两条直线 平行画出AB∥CD;题图④中可由内错角相等,两直线平行画 出AB∥CD.故选D.
12.(易错题)(2023山东济南莱芜期中,5,★★☆)如图,下列条 件中不能判定AD∥CB的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠BAD+∠ABC=180° D.∠BAD=∠BCD
D
解析 A项,当∠1=∠2时,由内错角相等,两直线平行可得AD ∥CB,故A不符合题意;B项,当∠3=∠4时,由内错角相等,两直 线平行可得AD∥CB,故B不符合题意;C项,当∠BAD+∠ABC =180°时,由同旁内角互补,两直线平行可得AD∥CB,故C不符 合题意;D项,当∠BAD=∠BCD时,不能判定AD∥CB,故D符合 题意.故选D.
易错警示
本题易因弄错截线和被截线,从而导致判断错误.
13.(2024河南许昌禹州期中改编,15,★★☆)《七彩云南》是 七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目.在展演中,舞台上的灯光 由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制.如图,光线AB与 灯带AC的夹角∠A=42°,当光线CB‘与灯带AC的夹角∠ACB'
= 时,CB'∥AB.
138°或42°
解析 当CB'与AB在AC的同侧时,因为CB'∥AB,所以∠ACB'+
∠A=180°,所以∠ACB'=138°;
当CB'与AB在AC的异侧时,因为CB'∥AB,
所以∠ACB'=∠A=42°.
综上所述,∠ACB'=138°或42°.
故答案为138°或42°.
14.(2023山东德州德城月考,13,★★☆)如图,EF⊥MN,垂足为 F,且∠1=140°,若增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符 合要求的条件: .
∠2=50°(答案不唯一)
解析 (答案不唯一)增加的条件可以是∠2=50°.
∵EF⊥MN,∴∠EFM=90°,
∵∠2=50°,∴∠BFM=140°,
∴∠AFN=140°=∠1,∴AB∥CD.
15.(2024山东德州乐陵月考,20,★☆☆)如图,在直线AB上 有C,D两点,过点C作CE⊥CF,过点D作DG⊥DH,已知∠BCF =∠BDH,求证:CE∥DG.
证明 ∵CE⊥CF,DG⊥DH,
∴∠ECF=∠GDH=90°,
∵∠BCF=∠BDH,∴∠BCF-∠ECF=∠BDH-∠GDH,
即∠DCE=∠BDG,
∴CE∥DG.
16.(教材变式·P47习题T2)(2022山东菏泽成武期中,22,★★☆)
如图所示,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,
证明:BF∥CE.
证明 ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°,∴∠ABC=∠BCD,∵∠1=∠2,∴∠ABC-∠2=∠BCD-∠1,
即∠FBC=∠ECB,∴BF∥CE(内错角相等,两直线平行).
17.(跨物理·光的折射)(2024山东滨州经开区期中,23,★★☆) 光线从空气中射入水中会发生折射,光线从水中射入空气中, 同样会发生折射.如图所示的是光线从空气中射入水中,再从 水中射入空气中的示意图.已知∠1=∠4,∠2=∠3.请你用所 学知识来判断c与d是否平行,并说明理由.
解析 c∥d.理由如下:
∵∠2+∠5=∠3+∠6,∠2=∠3,∴∠5=∠6,
∵∠1=∠4,∴∠1+∠5=∠4+∠6,
∴c∥d(内错角相等,两直线平行).
素养探究练
18.(推理能力)(新考向·实践探究题)(2023山东临沂沂水期中)
【问题情境】学行线后,小明想出了过已知直线外一 点画这条直线的平行线的新方法,他是通过折一张半透明的 纸得到的(如图①~④,虚线表示折痕).
【操作发现】发现一:如图④,由图②中的折叠可知,PE⊥AB, 由图③中的折叠可知,PE⊥CD,则AB∥CD.用数学符号写出 这个推理过程,并注明推理的依据.
发现二:如图④,由图②中的折叠可知,∠1=90°,由图③中的折 叠可知,∠2=90°,则∠1=∠2,所以AB∥CD.用数学符号写出
这个推理过程,并注明推理的依据.
【解决问题】如图⑤,AD⊥BC于点D,AD平分∠BAC,EG⊥ BC于点G.求证:∠E=∠1.
解析 【操作发现】发现一:∵PE⊥AB,PE⊥CD,
∴AB∥CD(同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相 平行).
发现二:∵∠1=90°,∠2=90°,∴∠1=∠2(等量代换),∴AB∥ CD(同位角相等,两直线平行).
【解决问题】证明:∵AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∴AD ∥EG,∴∠1=∠2,∠E=∠3.
∵AD平分∠BAC,∴∠2=∠3.∴∠E=∠1.(共51张PPT)
5 平行线的性质定理
第八章 平行线的有关证明
知识点1 平行线的性质定理
基础过关练
1.(2024云南楚雄州三模)如图,AB∥CD,∠1=70°,则∠2=( )
A.120° B.110° C.80° D.70°
B
解析 ∵∠1=70°,∴∠FEB=180°-∠1=110°,
∵AB∥CD,∴∠2=∠FEB=110°,故选B.
2.(跨物理·光的反射)(2024广东深圳中考)如图,一束平行光线 照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反 射光线与平面镜夹角∠4的度数为(提示:入射光线是平行光 线,∠1=∠2,∠3=∠4) ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
B
解析 ∵入射光线是平行光线,∴∠1=∠3,∵∠3=∠4,
∴∠4=∠1=50°.故选B.
3.(2024四川泸州中考)把一块含30°角的直角三角尺按如图 所示的方式放置于两条平行线间,若∠1=45°,则∠2=( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
B
解析 如图,
∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠1=45°,
∵∠2+∠DAE=∠BAD,∠DAE=30°,∴∠2=15°,
故选B.
4.(跨物理·光的反射)(2022内蒙古通辽中考)如图,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线CD与AB平行,当∠ABM=35°时,∠DCN的度数为(提示:∠OBC=∠ABM,∠DCN=∠BCO)
( )
A.55° B.70° C.60° D.35°
A
解析 ∵∠ABM=35°,∠OBC=∠ABM,∴∠OBC=35°,
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°,
∵CD∥AB,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°,
∵∠BCO=∠DCN,∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°,
∴∠DCN= (180°-∠BCD)=55°,故选A.
5.(2022山东聊城临清二模)如图,若AB∥CD∥EF,则∠BCE=
( )
A.180°-∠2+∠1 B.180°-∠1-∠2
C.∠2-2∠1 D.∠1+∠2
A
解析 如图,
∵AB∥CD∥EF,
∴∠1=∠3,∠2+∠4=180°.
∴∠BCE=∠3+∠4=∠1+180°-∠2.故选A.
6.如图,把一张对边互相平行的纸条沿EF折叠,若∠EFB=32°, 则下列结论:①∠C'EF=32°;②∠AEC=116°;③∠BGE=64°;④∠BFD=116°.其中正确的有 个.
4
解析 ①∵AE∥BG,∠EFB=32°,
∴∠C'EF=∠EFB=32°,故①正确;
②由折叠得∠C'EF=∠FEG=32°,
∴∠AEC=180°-∠C'EF-∠FEG=116°,故②正确;
③∵∠GEF=∠C'EF=32°,
∴∠C'EG=∠C'EF+∠GEF=32°+32°=64°,
∵AC'∥BD',
∴∠BGE=∠C'EG=64°,故③正确;
④∵∠BGE=64°,∴∠CGF=∠BGE=64°,
∵DF∥CG,∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°,故④正确.故正确的有4个.
7.(2024河南驻马店泌阳月考)如图,已知a∥b,c,d是截线,若∠1=
80°,∠5=70°,则∠2、∠3、∠4各是多少度
解析 ∵a∥b,∴∠2=∠1=80°(两直线平行,内错角相等),
∠5+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补),∠3=∠4(两直线 平行,同位角相等).
∵∠5=70°,∴∠3=110°.∴∠4=110°.
8.(情境题·现实生活)(2024广东韶关期末)绿色出行,健康出 行,你我同行.某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车 服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图2是 其示意图,其中AB∥CD,AM∥BC.已知∠BCD=65°,求∠MAB 的度数.
解析 ∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,∵AM∥BC,
∴∠MAB+∠ABC=180°,∴∠MAB+∠BCD=180°,
∵∠BCD=65°,∴∠MAB=115°.
知识点2 平行线的性质定理与判定定理的关系
9.(2024湖南衡阳耒阳月考)如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°,则∠4= ( )
A.72° B.64° C.116° D.80°
B
解析 如图所示,
∵∠1=40°,∠2=40°,
∴a∥b,∴∠4=∠5,
∵∠3=116°,∴∠5=64°,∴∠4=∠5=64°,故选B.
10.(2024上海廊下中学期末)如图,AD⊥BD,∠3+∠2=180°,∠1=
55°,那么∠2的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.25°
A
解析 ∵∠3+∠2=180°,∴AB∥CD,∴∠1+∠BDC=180°,
∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,
∵∠2+∠ADB+∠1=180°,∠1=55°,
∴∠2=35°,故选A.
11.(2024天津河东期末)如图,已知∠1+∠3=180°,∠2=∠B.
(1)求证:AB∥EF.
(2)若CD平分∠ACB,∠AED=50°,求∠CDE的度数.
解析 (1)证明:∵∠1+∠3=180°,∠DFE+∠3=180°,
∴∠1=∠DFE,∴AB∥EF.
(2)∵AB∥EF,∴∠2=∠ADE,
∵∠2=∠B,∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=50°,∠CDE=∠BCD,
∵CD平分∠ACB,∴∠BCD= ∠ACB=25°,
∴∠CDE=25°.
能力提升练
12.(2024福建中考,4,★☆☆)在同一平面内,将直尺、含30°角 的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所示的方式摆放,若 AB∥CD,则∠1=( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
A
解析 由题意可得∠ABF=60°,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABF=
60°,
∵CD⊥DE,∴∠CDE=90°,
∴∠1=180°-60°-90°=30°.故选A.
13.(2023山东青岛中考,6,★☆☆)如图,直线a∥b,∠1=63°,∠B=
45°,则∠2的度数为( )
A.105° B.108° C.117° D.135°
B
解析 过点B作直线c∥a,如图所示,
则∠1+∠MBA=180°,
即∠1+∠MBD+∠ABD=180°,
∵∠1=63°,∠ABD=45°,
∴63°+∠MBD+45°=180°,
∴∠MBD=72°,
∵a∥b,c∥a,∴c∥b,
∴∠2+∠MBD=180°,
∴∠2=180°-∠MBD=180°-72°=108°.故选B.
14.(2024山东威海乳山期末,12,★★☆)将一副三角尺的直角 顶点重合并按如图所示的方式放置,∠C=45°,∠D=30°,小明 得到下列结论:
①若∠2=30°,则AC∥DE;②∠BAE+∠CAD=180°;③若BC∥ AD,则∠2=30°;④若∠CAD=150°,则∠4=∠C.
其中正确的结论有 ( )
C
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 如图,
∵∠2=30°,∠CAB=90°,
∴∠1=60°,
∵∠E=60°,∴∠1=∠E,
∴AC∥DE,故①正确;
∵∠CAB=∠DAE=90°,∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°,故②正确;∵BC∥AD,∠B=45°,∴∠3=∠B=45°,∵∠2+∠3=∠DAE=90°,∴∠2=45°,故③错误;∵∠CAD=150°,
∠BAE+∠CAD=180°,∴∠BAE=30°,∵∠E=60°,∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°,∴∠4+∠B=90°,∵∠B=45°,∴∠4=45°,∵∠C=45°,∴∠4=∠C,故④正确,所以正确的结论为①②④,共3个,故选C.
15.(跨物理·潜望镜原理)(2022山东潍坊中考,5,★★☆)小亮 绘制的潜望镜原理示意图如图所示,两个平面镜的镜面AB与 CD平行,入射光线l与反射光线m平行.若入射光线l与镜面AB 的夹角∠1=40°10',则∠6的度数为(提示:∠2=∠1,∠4=∠3) ( )
A.100°40'
B.100°20'
C.99°40'
D.99°20'
C
解析 由题意得∠2=∠1=40°10',
∵∠1+∠2+∠5=180°,
∴∠5=180°-40°10'-40°10'=99°40',
∵l∥m,∴∠6=∠5=99°40'.故选C.
16.(新考法)(2023山东烟台中考,12,★☆☆)一杆古秤在称物 时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为 .
78°
解析 如图,由题意得AB∥CD,∴∠2=∠BCD,
∵∠1=102°,∴∠BCD=78°,∴∠2=78°.
17.(2024山东聊城东阿月考,25,★★☆)如图,已知点A在EF 上,点P,Q在BC上,∠E=∠EMA,∠BQM=∠BMQ.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若FP⊥AC,∠2+∠C=90°,求证:∠1=∠B.
(3)若∠3+∠4=180°,∠BAF=3∠F-20°,求∠B的度数.
解析 (1)证明:∵∠E=∠EMA,∠BQM=∠BMQ,∠EMA=
∠BMQ,∴∠E=∠BQM,∴EF∥BC.
(2)证明:∵FP⊥AC,∴∠PGC=90°,
∵EF∥BC,∴∠EAC+∠C=180°,
∵∠2+∠C=90°,∴∠BAC=∠PGC=90°,
∴AB∥FP,∴∠1=∠B.
(3)∵∠3+∠4=180°,∠4=∠MNF,
∴∠3+∠MNF=180°,∴AB∥FP,
∴∠F+∠BAF=180°,
∵∠BAF=3∠F-20°,∴∠F+3∠F-20°=180°,
∴∠F=50°,
∵AB∥FP,EF∥BC,∴∠B=∠1,∠1=∠F,
∴∠B=∠F=50°.
素养探究练
18.(推理能力)(新考向·过程性学习试题)(2024山东聊城东阿月考)
【提出问题】
若两个角的两边分别平行,则这两个角有怎样的数量关系呢
【解决问题】
分两种情况进行探究,请结合图形探究这两个角的数量关系.
(1)如图1,AB∥EF,BC∥DE,试说明∠1=∠2.
(2)如图2,AB∥EF,BC∥DE,试说明∠1+∠2=180°.
【得出结论】
(3)由(1)(2)我们可以得到结论:若两个角的两边分别平行,则 这两个角的数量关系为 .
【拓展应用】
(4)若两个角的两边分别平行,其中一个角比另一个角的2倍 少60°,求这两个角的度数.
解析 (1)证明:∵AB∥EF,∴∠1=∠3.
∵BC∥DE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2.
(2)证明:∵AB∥EF,∴∠1=∠4.
∵BC∥DE,∴∠2+∠4=180°,∴∠1+∠2=180°.
(3)相等或互补.
(4)设其中一个角的度数为x°,则另一个角的度数为(2x-60)°.
①当x=2x-60时,解得x=60,
此时两个角的度数分别为60°,60°;
②当x+2x-60=180时,解得x=80,则2x-60=100,
此时两个角的度数分别为80°,100°.
综上所述,这两个角的度数为60°,60°或80°,100°.
微专题 平行线与拐点问题
方法指引 在与平行线有关的计算和推理中,常见一类“折 线”“拐点”“拐角”型问题,解决这类问题的常用方法是 经过拐点作平行线,使已知角和未知角产生联系,从而化“未 知”为“已知”.
1.(2024山东济宁任城模拟)如图,直线a∥b,点M,N分别在直线 a,b上,P为两平行线间一点,那么∠1+∠2+∠3等于 ( )
A.360° B.300° C.270° D.180°
A
解析 如图,
过点P作PA∥a,则a∥b∥PA,∴∠3+∠NPA=180°,∠1+∠MPA=180°,
∵∠2=∠NPA+∠MPA,
∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°.故选A.
2.(2024山西朔州右玉期中)中华武术,博大精深.小林把一个 武术动作抽象成数学问题.如图,已知AB∥CD,∠C=90°,∠B= 85°,∠E=100°,则∠F的度数是( )
A.105°
B.110°
C.115°
D.120°
A
解析 如图,过点E,F分别作AB的平行线EG,FH,
∵AB∥CD,∴FH∥AB∥CD∥EG,
∴∠B+∠HFB=180°,∠EFH=∠GEF,∠C+∠CEG=180°,
∴∠HFB=180°-∠B=95°,∠CEG=180°-∠C=90°,
∴∠GEF=∠CEF-∠CEG=100°-90°=10°,
∴∠EFH=∠GEF=10°,
∴∠EFB=∠EFH+∠HFB=10°+95°=105°.
故选A.
3.(2024湖北武汉武昌期中)如图,AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5+∠6= ( )
A.630° B.720° C.800° D.900°
D
解析 如图,分别过E点,F点,G点,H点作直线l1,l2,l3,l4,且直线l1, l2,l3,l4平行于AB,
∵AB∥CD,∴AB∥l1∥l2∥l3∥l4∥CD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×5=900°.故选D.
