(共25张PPT)
2 解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
第七章 二元一次方程组
知识点1 代入消元法
基础过关练
1.(2024河南周口川汇月考)用代入法解方程组 正确的解法是 ( )
A.先将①变形为x= ,再代入②
B.先将①变形为y= ,再代入②
C.先将②变形为x= y-1,再代入①
D.先将②变形为y=9 ,再代入①
B
解析 A.先将①变形为x= ,再代入②,故本选项解法错
误;B.先将①变形为y= ,再代入②,故本选项解法正确;C.
先将②变形为x= ,再代入①,故本选项解法错误;D.先将
②变形为y= ,再代入①,故本选项解法错误.故选B.
2.(2024陕西西安长安期末)二元一次方程组 的解
是( )
A. B. C. D.
B
解析 把①代入②得3x=1+2(2-x),解得x=1,把x=
1代入①得y=2-1=1,
所以原方程组的解是 故选B.
3.由方程组 可得x与y的关系是( )
A.2x+y=4 B.2x+y=-4
C.2x-y=4 D.2x-y=-4
A
解析 把②代入①得2x+y-3=1,整理得2x+y=4,
故选A.
4.(2022辽宁沈阳中考)二元一次方程组 的解是
.
解析 将②代入①,得x+4x=5,解得x=1,将x=1代
入②,得y=2,∴原方程组的解为
5.(新独家原创)若关于x和y的单项式5x2m-ny4和-9x5y3m-2n是同类 项,则m= ,n= .
6
7
解析 根据题意可得 由①可得n=2m-5③,把③
代入②得3m-2(2m-5)=4,解得m=6,把m=6代入③得n=7,所以m =6,n=7.
6.(新考向·新定义试题)对x,y定义一种新运算“&”,规定:x& y=mx+ny(其中m,n均为非零常数).若1&1=3,1&2=5,则2&(-1) 的值是 .
0
解析 ∵x&y=mx+ny,1&1=3,1&2=5,
∴ 解得
∴x&y=x+2y,∴2&(-1)=2+2×(-1)=0.
7.代数式|2a+b-5|和 互为相反数,则a+b的值为
.
1
解析 由题意可得|2a+b-5|+ =0,
∴ ∴ 解得 ∴a+b=4+(-3)=1.
8.(1)(2024河南信阳浉河月考)解方程组:
(2)(2024广东东莞二模)解方程组:
解析 (1)
将①代入②得4(y-5)+3y=29,即4y-20+3y=29,
解得y=7,将y=7代入①得x=7-5=2,
∴原方程组的解为
(2)
由②得y=2x-1③,
将③代入①得3x+2(2x-1)=12,
解得x=2,
把x=2代入③得y=2×2-1=3,
所以原方程组的解是
9.(2023河北邯郸馆陶期中)下面是某同学解方程组
的过程.
解:由②得y=4-2x③,(第一步)
把③代入②,得2x-(4-2x)=4,(第二步)
解这个方程,得x=2,(第三步)
把x=2代入③,得y=0,(第四步)
所以原方程组的解为
(1)已知上述解析是错误的,开始出现错误的步骤是 .
(2)请给出正确的解题过程.
解析 (1)由题意可知,在第一步移项的时候,应该得到的结 果为y=2x-4,所以开始出现错误的步骤是第一步.故答案为第 一步.
(2)由②得y=2x-4③,把③代入①,得x+3(2x-4)=9,解这个方程, 得x=3,把x=3代入③,得y=2,所以原方程组的解为
10.王老师让全班同学解关于x,y的方程组 (其中
a和b代表确定的数),甲同学看错了方程①中的a,解得
乙同学看错了方程②中的b,解得 问:这个方程组正确
的解是多少
解析 由题意可知 是方程②的解,
是方程①的解,
把 代入方程②,得b+4=7,解得b=3.
把 代入方程①,得-2+a=1,解得a=3.
把 代入 中,得
由④得y=3x-7⑤,
将⑤代入③,得2x+3(3x-7)=1,解得x=2,
将x=2代入⑤,得y=-1,
所以原方程组的解为
能力提升练
11.(2024辽宁大连旅顺口期中,9,★☆☆)用代入法解二元一 次方程组 时,最适合的变式是 ( )
A.由①得y= B.由①得x=4-2y
C.由②得y= D.由②x=
B
解析 方程①中x的系数为1,所以最适合的变式是由①得x= 4-2y,故选B.
12.(2024山东菏泽单县期中,6,★★☆)设y=kx+b,当x=1时,y= 1;当x=2时,y=-2,则k,b的值分别为( )
A.-1,2 B.-3,4 C.1,0 D.-5,6
B
解析 把x=1,y=1;x=2,y=-2分别代入y=kx+b得
由①得b=1-k③,把③代入②得2k+1-k=-2,解得k=-3,把k=-3代 入③得b=4.故选B.
13.(2023山东济宁梁山期中,18,★★☆)对于实数a,b,定义运 算“◆”和“*”:a◆b= 例如4◆3,因为4>3,
所以4◆3= =5,x*y=mx+ny+1(m,n为常数),若4*(-1)=5,1
*2=8,则m◆n= .
解析 由题意可得
将方程组变形为 由①得n=4m-4③,
把③代入②得m+2(4m-4)=7,解得m= ,
把m= 代入③得n= ,
∵ < ,∴m14.(2024河北石家庄长安期中,24,★★☆)对于有理数,规定 新运算:x※y=ax+by+xy,其中a,b是常数,已知2※1=9,(-3)※3=
-6,求4※6的值.
解析 ∵2※1=9,(-3)※3=-6,
∴ 解得
∴x※y=2x+3y+xy,
∴4※6=2×4+3×6+4×6=50.
15.(2023安徽滁州定远期中,21,★★☆)阅读材料:善于思考 的小军在解方程组 时,采用了一种“整体代
换”的解法.
解:将②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,把①代入③得 2×3+y=5,解得y=-1,把y=-1代入①得x=4,所以原方程组的解为
请你解答以下问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组:
(2)已知x,y满足方程组 求x2+4y2-xy的值.
解析 (1)
将②变形为3(2x-3y)-2y=9③,
把①代入③得15-2y=9,
解得y=3,
把y=3代入①得2x-9=5,
解得x=7,
所以原方程组的解为
(2)
由①得3(x2+4y2)-2xy=47,
整理得x2+4y2= ③,
把③代入②得2× +xy=36,
解得xy=2,
将xy=2代入①得3x2-4+12y2=47,
所以x2+4y2=17,
所以x2+4y2-xy=17-2=15.(共28张PPT)
1 二元一次方程组
第七章 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程(组)的概念
基础过关练
1.(2024山东聊城莘县期中)下列方程:①2x-3y=5;②x+ =6;③3x-y
+2z=0;④2x+4y;⑤x=y.其中是二元一次方程的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 ①2x-3y=5,符合二元一次方程的定义;②x+ =6中分
母含有未知数,不符合二元一次方程的定义;③3x-y+2z=0,含 有3个未知数,不符合二元一次方程的定义;④2x+4y,不是方 程,不符合二元一次方程的定义;⑤x=y,符合二元一次方程的 定义,∴是二元一次方程的有2个.故选B.
方法归纳
(1)二元一次方程必须含有两个未知数;(2)“一次”是指含有 未知数的项的次数而不是某个未知数的次数,如xy=2不是二
元一次方程;(3)二元一次方程左右两边必须都是整式.
2.(2024山东聊城冠县期中)下列方程组是二元一次方程组的 是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 B选项中含有三个未知数,故不是二元一次方程组;C 选项中 =4,分母含有未知数,故不是二元一次方程组;D选项
中未知数x的最高次数为2,故不是二元一次方程组,故选A.
3.(2022北京西城期中)若(k-1)x|k|-5y=2是关于x,y的二元一次 方程,则k的取值满足 ( )
A.k=-1 B.k=1 C.k≠1 D.k=±1
A
解析 ∵(k-1)x|k|-5y=2是关于x,y的二元一次方程,∴|k|=1,k-1 ≠0,解得k=-1.故选A.
知识点2 二元一次方程(组)的解
4.(教材变式·P4T2)(2024山东济南莱芜期中)下列选项中,不 是二元一次方程2x-y=1的解的是 ( )
A. B. C. D.
C
解析 当 时,2x-y=2×1-1=1,∴ 是二元一次方程2x-
y=1的解,故选项A不符合题意;当 时,2x-y=2× -0=1,∴
是二元一次方程2x-y=1的解,故选项B不符合题意;当
时,2x-y=2×0-1=-1≠1,∴ 不是二元一次方程2x-y=
1的解,故选项C符合题意;
方法归纳
检验一组数值是不是二元一次方程的解,只需将其代入方程, 看一下方程的左、右两边是否相等即可.
当 时,2x-y=2×2-3=1,∴ 是二元一次方程2x-y=1的解,故选项D不符合题意.故选C.
5.(2024河南驻马店驿城期末)下列方程组中,解为 的方
程组是 ( )
A. B.
C. D.
B
解析 A.当 时,x-y=8-2=6≠4,故 不是这个方程组
的解;B.当 时,x+y=8+2=10,x-2y=8-4=4,所以 是这
个方程组的解;C.当 时,x+2y=8+4=12≠11,故 不是
这个方程组的解;D.当 时,x-2y=8-4=4≠5,故 不是
这个方程组的解.故选B.
6.(新独家原创)若关于x和y的方程组 的解是
则点P(m,n)关于x轴对称的点的坐标为 .
(1,-3)
解析 把 代入方程组 得 解得
所以点P的坐标为(1,3),所以点P关于x轴对称的点的坐
标为(1,-3).
7.(新独家原创)明明学习了“鸡兔同笼”的问题后,他让妈 妈购买了两种小动物准备饲养,明明问妈妈这两种小动物的 数量,妈妈笑着说:“我只知道这些小动物的脚共有8只,你自 己算一下鸡和小白兔各有多少只.”请你帮明明算一下,小白 兔和鸡各有多少只.
解析 设小白兔有x只,鸡有y只,根据题意得4x+2y=8,因为x,y 均为正整数,所以当x=1时,y=2;当x=2时,y=0(不合题意,舍去), 故小白兔有1只,鸡有2只.
8.(2023北京朝阳外国语学校期中,4,★☆☆)下列说法正确的是
( )
A. 是二元一次方程组
B. 的解表示为x=3,y=-1
C. 有无数个解
D.由两个二元一次方程组成的方程组一定是二元一次方程组
C
能力提升练
解析 A项,xy的次数为2,故不是二元一次方程组,故选项A说 法错误.B项,方程组的解应表示为 故选项B说法错误.
C项,方程组中第二个方程根据等式的性质可整理为2x+y=1, 因此该方程组的解实际上是方程2x+y=1的解,因此方程组的 解有无数个,故选项C说法正确.D项,例如: 是由两个
二元一次方程组成的方程组,但是 不是二元一次方
程组,故选项D说法错误.
9.(2024山东潍坊高密期中,4,★☆☆)下表中给出的每一对x,y 的值都是二元一次方程ax-y=9的解,则m等于 ( )
x 1 2 3
y -7 m -3
A
A.-5 B.-3 C.3 D.5
解析 把 代入二元一次方程ax-y=9得a+7=9,解得a=2,
∴二元一次方程为2x-y=9,把 代入方程2x-y=9得4-m=9,
解得m=-5,故选A.
10.(2024四川宜宾中考,8,★★☆)某果农将采摘的荔枝分装 为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3 千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求, 大、小箱都要装满,则所装的箱数最多为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
C
解析 设大箱装x箱,小箱装y箱,根据题意得4x+3y=32,
∴x=8- y,∵x,y均为自然数,∴ 或 或
∴x+y=8或9或10,∴所装的箱数最多为10.故选C.
11.(2023山东枣庄峄城期末,22,★★☆)小亮求得方程组 的解为 由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好
遮住了两个数●和★,请你帮他找回这两个数,“●”“★” 表示的数分别为( )
A.5,2 B.-8,2 C.8,-2 D.5,4
C
解析 将 代入②得2×5-★=12,解得★=-
2,将 代入①得2×5-2=●,解得●=8,∴“●”“★”表
示的数分别为8,-2.故选C.
12.(2024山东滨州邹平期末,11,★★☆)在解关于x,y的方程组 时,甲看错①中的a,解得 乙看错②中的b,
解得 则 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 将 代入3x-by=4得12-2b=4,解得b=4,
将 代入ax+8y=7得-3a-8=7,解得a=-5,故选D.
13.(情境题·数学文化)(2024四川南充中考,6,★★☆)我国古 代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都 来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两 句的意思是如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果 每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设有客房x间,客人y 人,则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 根据“每一间客房住7人,那么有7人无房可住”,可列 方程为7x+7=y;
根据“每一间客房住9人,那么就空出一间客房”,可列方程 为9(x-1)=y.
∴可列方程组为 故选D.
14.(整体思想)(2022四川雅安中考改编,16,★★☆)已知
是方程ax+by=3的解,求代数式2a+4b-5的值.
解析 把 代入ax+by=3得a+2b=3,则原式=2(a+2b)-5=2
×3-5=6-5=1.
素养探究练
15.(推理能力)(换元法)(2023广西南宁西乡塘期中)关于x,y的 方程组 的解为 则关于m,n的方程组
的解是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 设5(m-3)=p,3(n+2)=q,则方程组 可变形为
∵关于x,y的方程组 的解为
∴关于p,q的方程组 的解为
∴5(m-3)=10,3(n+2)=6,∴m=5,n=0,故选A.(共28张PPT)
2 解二元一次方程组
第3课时 选择合适的方法解二元一次方程组
第七章 二元一次方程组
知识点3 选择合适的方法解二元一次方程组
基础过关练
1.(2024广东江门台山模拟)二元一次方程组 的解
是( )
A. B. C. D.
D
解析
由②得,x=2y+3③,将③代入①得3(2y+3)+4y=19,解得y=1,把y =1代入③得x=2×1+3=5,
∴原方程组的解是 故选D.
2.(2024河北廊坊月考)若5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,则n-m= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.3
A
解析 ∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,
∴ 由②-①得n-m=6-5=1.故选A.
3.解方程组:
(1) (2)
解析 (1)
由②-①得-3y=-6,解得y=2,
将y=2代入①得3x+2=7,解得x= ,
∴原方程组的解是
(2)
由①得3x-y=8③,由②得3x-5y=-20④,
③-④,得4y=28,解得y=7,
把y=7代入③得3x-7=8,解得x=5,
∴原方程组的解是
4.(2024湖南邵阳新宁月考)在代数式ax+by中,当x=5,y=2时,它 的值是7;当x=3,y=1时,它的值是4,试求a,b的值.
解析 ∵在代数式ax+by中,当x=5,y=2时,它的值是7;当x=3,y =1时,它的值是4,
∴
①-②×2得5a-6a=7-8,解得a=1,
将a=1代入②得3+b=4,解得b=1,∴a=1,b=1.
5.对于实数a,b,定义关于“ ”的一种运算:a b=2a+b,例如 3 4=2×3+4=10.
(1)求4 (-3)的值.
(2)若x (-y)=2,(2y) x=-1,求x+y的值.
解析 (1)根据题意得4 (-3)=2×4+(-3)=8-3=5.
(2)根据题意得
①+②得3x+3y=1,
∴x+y= .
能力提升练
6.(2024山东日照五莲期中,4,★☆☆)已知 是二元一次
方程组 的解,则2m-n的平方根为 ( )
A.2 B.4 C.± D.±2
D
解析 将 代入方程组 中,得
解得
∴2m-n=6-2=4,
∴2m-n的平方根为±2.
故选D.
7.(2024山东潍坊高密期中,6,★★☆)关于x,y的方程组 的解是方程2x+5y=-8的一个解,则a等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 由题意得
由①得x=2y+5③,将③代入②得2(2y+5)+5y=-8,
解得y=-2,
把y=-2代入③得x=2×(-2)+5=1,
所以 的解是
把 代入方程3x+ay=-1,得3-2a=-1,解得a=2,故选B.
8.(2024四川成都武侯期中,19,★☆☆)若 则代数
式x2- y2+1的值为 .
-2
解析
①+②得2x=-2,解得x=-1,
把x=-1代入①得-1+ y=1,解得y=4,
∴原方程组的解为
∴x2- y2+1=(-1)2- ×42+1=1-4+1=-2,
故答案为-2.
9.(2024湖北黄石一模,15,★★☆)解方程组 时,小
强正确解得 小刚只看错了c,解得 那么当x=-1时,
ax2+bx+c的值为 .
2
解析 由题意得 是方程组 的解,
∴2a+2b=6①,2c-8=-2,∴c=3,
∵小刚只看错了c,解得
∴ 是方程ax+by=6的解, ∴-2a+4b=6②,
联立①②得 解得
∴当x=-1时,ax2+bx+c=1×(-1)2+2×(-1)+3=2,故答案为2.
10.(新考向·阅读理解试题)(2024山东聊城莘县期中,21,★★★)
阅读下列材料.为了提高学生的运算能力和解题技巧,李 老师设计了以下题目:
解方程组: 王栋同学发现如果直接用代
入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,也容易出错.如 果把方程组中的2x+3y看做一个数,把2x-3y看做一个数,通过 换元,可以解决问题.下面是他的解题过程:令m=2x+3y,n=2x-
3y,这时方程组可化为 解得 把 代入
m=2x+3y,n=2x-3y得 解得
(1)在解二元一次方程组时,我们的基本思路是“消元”,即 通过代入法或加减法将“二元”化为“一元”,在“消元” 的过程中体现的数学思想是 .
A.数形结合思想 B.转化思想
C.分类讨论思想 D.类比思想
(2)请你参考王栋同学的做法,解决下面的问题.
解方程组:
解析 (1)B.
(2)令x+y=m,x-y=n,所以方程组化为 由①+②得
=2,解得m=6,
将m=6代入①得1+ =3,解得n=20,
将m=6,n=20代入x+y=m,x-y=n得
解得
素养探究练
11.(推理能力)(2023江苏南通启东期末)当a,b都是实数,且满 足2a-b=6时,就称点P 为完美点.
(1)判断点A(2,3)是不是完美点,并说明理由.
(2)已知关于x,y的方程组 当m为何值时,以方程组
的解为坐标的点B(x,y)是完美点
解析 (1)点A(2,3)不是完美点.理由:由a-1=2得a=3,由 +1=3
得b=4,
∵2×3-4=2≠6,∴点A(2,3)不是完美点.
(2)∵ ∴
由2+m=a-1得a=m+3,
由2-m= +1得b=2-2m,
∵点B(x,y)是完美点,∴2a-b=6,
∴2m+6-2+2m=6,∴m= ,
∴当m= 时,点B(x,y)是完美点.
微专题 二元一次方程组的特殊解法
方法指引 二元一次方程组的解法除常用的代入消元法和 加减消元法外,还有换元法、特殊消元法等方法,要根据方程 组的特点,灵活选择.
1.(2023福建泉州晋江期末)若关于x,y的方程组 的
解是 则关于m,n的方程组 的解是
.
解析 将所求方程组整理得
∵ 的解是
∴ 解得
2.方程组 的解为 .
解析
②-①得97x-97y=0,∴x=y,
把x=y代入①得217x+314x=177,
∴531x=177,
∴x= ,∴y= ,∴原方程组的解为
3.方程组 的解为 .
解析 令x+y=a,x-y=b,则 可化为
解得 则 解得 (共31张PPT)
3 二元一次方程组的应用
第七章 二元一次方程组
基础过关练
知识点1 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
1.(跨物理·天平平衡)下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为
( )
A.10 B.9 C.8 D.7
A
解析 设每个“△”的质量为x,每个“□”的质量为y,
依题意,得 解得 ∴2x+y=10,故选A.
2.(配套问题)现用190张铁皮做盒子,一张可以做8个盒身或2 2个盒底,1个盒身与2个盒底配一个盒子,问:用多少张铁皮制 盒身、多少张铁皮制盒底,可制成一批完整的盒子 设用x张
铁皮制盒身,y张铁皮制盒底,则可列方程组为 .
解析 根据“制作盒身和盒底的铁皮共190张,且盒底的总 数是盒身的2倍”,可列方程组为
3.(2023北京东城期中)如图,在大长方形中不重叠地放入七 个长、宽都相同的小长方形,根据图中给出的数据,可得出阴 影部分面积为 .
52
解析 设小长方形的长为a,宽为b,
根据题意得 解得
∴16(6+3b)-7ab=16×(6+3×2)-7×10×2=52,
∴阴影部分面积为52.
4.(教材变式·P19T3)某校组织学生乘汽车去某地野营,其中
路段为平路,其余路段为上坡路,已知汽车在平路上的平均速 度为60 km/h,在上坡路上的平均速度为30 km/h.汽车从学校 到目的地一共行驶了6.5 h,求汽车在平路和在上坡路上各行 驶了多长时间.
解析 设汽车在平路上行驶了x小时,在上坡路上行驶了y小时,
由题意,得 解得
答:汽车在平路上行驶了1.3小时,在上坡路上行驶了5.2小时.
知识点2 销售问题
5.(情境题·爱国主义教育)(2024吉林松原模拟)“体育承载着国家
强盛、民族振兴的梦想,体育强则中国强,国运兴则体育兴.”
为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质,学校开展大
课间活动,七年级五班拟组织学生参加跳绳活动,需购买A,B
两种跳绳若干,已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元;购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元.求A,B两种跳绳的单价.
解析 设A种跳绳的单价为x元,B种跳绳的单价为y元,
由题意得 解得
答:A种跳绳的单价为25元,B种跳绳的单价为30元.
6.(2023湖南怀化通道期中)列二元一次方程组解应用题:某 商场购进甲、乙两种服装后,都加价40%再标价出售,春节期 间商场搞优惠促销活动,决定将甲、乙两种服装分别按标价 的八折和九折出售,某顾客购买甲、乙两种服装各一件共付 款364元,两种服装标价之和为420元,这两种服装每一件的进 价和标价各是多少元
解析 设甲种服装每一件的进价为x元,乙种服装每一件的 进价为y元,则甲种服装每一件的标价为x(1+40%)元,乙种服 装每一件的标价为y(1+40%)元,
∴
解得 ∴x(1+40%)=140,y(1+40%)=280.
答:甲种服装每一件的进价为100元,标价为140元;乙种服装 每一件的进价为200元,标价为280元.
知识点3 数字问题
7.(一题多解)(2023宁夏中卫中宁期末)一个两位数,个位上的 数字与十位上的数字的和是8,个位上的数字与十位上的数 字互换后所得的新数比原数小18,则原数是( )
A.26 B.62 C.35 D.53
D
解析 【解法一】二元一次方程组法:设原两位数的十位上 的数字为x,个位上的数字为y,
根据题意得 解得
∴10x+y=10×5+3=53,∴原两位数为53.故选D.
【解法二】一元一次方程法:设原数的十位上的数字为x,
则个位上的数字为8-x,∴10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18,解得x=5,
∴个位上的数字为8-x=3,∴原来的两位数为53.故选D.
8.(2024山东聊城东昌府外国语学校模拟)幻方是古老的数学 问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格. 将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及 两条对角线上的3个数之和相等,图1就是一个幻方,图2是一 个未完成的幻方,则x+y的值为 ( )
D
A.11 B.12 C.13 D.14
解析 由题意可得,题图2右上角的数字为(20+5+x)-(21+x)=4,
最中间的数字为(20+5+x)-(20+4)=x+1,
∴ 解得
∴x+y=14.故选D.
9.一个三位数是它各数位上数字之和的27倍.已知百位上的 数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1.若把百位上 的数字与个位上的数字交换位置,则所得的新数比原数大99. 求这个三位数.
解析 设百位上的数字为x,个位上的数字为y,则十位上的数 字为(x+y-1),依题意得
解得 ∴100x+10(x+y-1)+y=243.
答:这个三位数为243.
能力提升练
10.(2024山东淄博张店二模,7,★★☆)《孙子算经》是我国古代数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何 ”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折后再量木头的长,木头还剩余1尺,问木头长多少尺 若设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 根据“用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5 尺”,可列方程为y=x+4.5;根据“将绳子对折后再量木头的 长,木头还剩余1尺”,可列方程为0.5y=x-1,故选A.
11.(2024山东泰安新泰月考,8,★★☆)如图,四边形ABCD为一长条形纸带,AB∥CD,将四边形ABCD沿EF折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠CFE= ∠CFD',设∠CFD'=x°,∠CFE=y°,则可列方程组为 ( )
A. B.
D
C. D.
解析 根据翻折的性质可得∠DFE=∠EFD'=x°+y°,∴x+2y= 180,∵∠CFE= ∠CFD',∴y= x,即3x=2y,
∴可列方程组为 故选D.
12.(山东人文·梁山)(2023浙江金华永康一模,14,★★☆)《水浒传》的故事发生在今山东梁山县境内,其中关于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里,朝去暮还来.某日,戴宗去180里之外的地方打探情报,去时顺风,用了2小时;回来时逆风,用了6小时,则戴宗的速度为 里/小时.(1里=500米)
60
解析 戴宗顺风行走的速度为180÷2=90(里/小时),
戴宗逆风行走的速度为180÷6=30(里/小时),
设戴宗的速度为x里/小时,风速为y里/小时,
由题意得 解得
∴戴宗的速度为60里/小时,故答案为60.
13.(2024山东菏泽巨野期中,15,★★☆)节日期间,某超市促 销,由顾客抽奖决定折扣,某顾客购买甲、乙两种商品,分别 抽到七折(按原售价的70%销售)和九折(按原售价的90%销 售),共付款386元,这两种商品原售价之和为500元,则甲、乙 两种商品原售价分别为 、 .
320元/个
180元/个
解析 设甲、乙两种商品的原售价分别是x元/个、y元/个, 根据题意,得 解得
答:甲、乙两种商品的原售价分别是320元/个、180元/个.
14.(教材变式·P15例2)(2024安徽中考,17,★★☆)乡村振兴战 略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承 包了一些田地,采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种 农作物每公顷所需人数和投入资金如下表:
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需
投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植, 投入资金共60万元,则A,B两种农作物的种植面积各为多少 公顷
解析 设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植 面积是y公顷,
根据题意得 解得
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是 4公顷.
素养探究练
15.(应用意识)(2023湖南长沙芙蓉三模)阅读下列材料:《张丘建算经》是一部数学问题集,其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题,通常称为“百鸡问题”:“鸡翁一,值钱五;今有鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何 ”
译文:每一只公鸡值五文钱,每一只母鸡值三文钱,每三只小 鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡,问:这一百只鸡中, 公鸡、母鸡、小鸡各有多少只
结合你学过的知识,解决下列问题:
(1)若设母鸡有x只,公鸡有y只.
①小鸡有 只,买小鸡一共花费 文钱;(用含x, y的式子表示)
②根据题意,列出一个含有x,y的方程: .
(2)若对“百鸡问题”增加一个条件:母鸡数量比公鸡数量的 4倍多2只,求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只.
(3)除了(2)中的解之外,请你再直接写出两组符合“百鸡问 题”的解.
解析 (1)①∵要买100只鸡,且小鸡每三只值一文钱,∴买了 (100-x-y)只小鸡,买小鸡花了 文钱,
故答案为(100-x-y); .
②根据题意得3x+5y+ =100.
故答案为3x+5y+ =100.
(2)设母鸡有a只,公鸡有b只,则小鸡有(100-a-b)只,根据题意得
解得 ∴100-a-b=78.
答:公鸡有4只,母鸡有18只,小鸡有78只.
(3)根据题意得3a+5b+ =100,化简得a=25- b,
当b=0时,a=25,100-a-b=75;
当b=4时,a=18,100-a-b=78;
当b=8时,a=11,100-a-b=81;
当b=12时,a=4,100-a-b=84;
当b=16时,a=-3,不符合题意.
故除了(2)中的解之外,以下3组答案均为符合“百鸡问题” 的解:①公鸡有0只,母鸡有25只,小鸡有75只;②公鸡有8只,母 鸡有11只,小鸡有81只;③公鸡有12只,母鸡有4只,小鸡有84 只.(写出其中任意两组即可,答案不唯一)(共27张PPT)
*5 三元一次方程组
第七章 二元一次方程组
知识点1 三元一次方程(组)的有关概念
基础过关练
1.下列方程组: 其中是
三元一次方程组的有 个.
1
解析 中含有4个未知数,故不是三元一次方程
组; 中xy的次数是2,故不是三元一次方程组;
中第二个方程不是整式方程,故不是三元一次
方程组; 是三元一次方程组.故答案为1.
知识点2 三元一次方程组的解法
2.(2024四川眉山仁寿期中)下列四组数值是方程组 ,的解的是( )
A. B. C. D.
B
解析
①+③得4a=-4,解得a=-1,
②+③得5a-2b=-9④,
把a=-1代入④得-5-2b=-9,解得b=2,
把a=-1,b=2代入①得-1+2+c=0,解得c=-1,
故原方程组的解为 故选B.
3.(整体思想)(2024浙江杭州拱墅一模)已知方程组
则x+y+z的值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
A
解析 ①+②+③得2x+2y+2z=4+6+8,∴x+y+z=9,
故选A.
4.(教材变式·P27T2)(2022湖南株洲荷塘期中)已知代数式ax2 +bx+c,当x=-1时,其值为4;当x=1时,其值为8;当x=2时,其值为
25.则当x=3时,其值为 ( )
A.4 B.8 C.62 D.52
D
解析 由题意得 ①+②得2a+2c=12,即a+c=
6④,①×2+③得6a+3c=33,即2a+c=11⑤,⑤-④得a=5,把a=5代 入④得5+c=6,解得c=1,把a=5,c=1代入①得5-b+1=4,解得b=2, ∴ax2+bx+c=5x2+2x+1,∴当x=3时,ax2+bx+c=5×32+2×3+1=45+ 6+1=52.故选D.
5.(新独家原创)方程组 消元时,最简单的消元
方法是消去未知数 ,其方法是先利用 ,
再利用 ,得到二元一次方程组为 .（本题答案不唯一）
y
②-①消去y
③+①消去y
6.(2023山东烟台牟平期中)解三元一次方程组:
解析 ②×3得9y-6z-3=0④,
①-④得4x+6z-9=0⑤,
③×4得28x+20z-19=0⑥,
⑤×7得28x+42z-63=0⑦,
⑦-⑥得22z-44=0,解得z=2,
把z=2代入②得3y-4-1=0,解得y= ,
把y= 代入①得4x+15-12=0,解得x=- .
∴原方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的实际应用
7.(跨化学·液体浓度)有A,B,C三种盐水,按A与B的数量之比为 2∶1混合,得到浓度为13%的盐水;按A与B的数量之比为1∶2 混合,得到浓度为14%的盐水,按A,B,C的数量之比为1∶1∶3 混合,得到浓度为10.2%的盐水.则盐水C的浓度是多少
解析 设盐水A的浓度是x,盐水B的浓度是y,盐水C的浓度是z,
根据题意得
解得
答:盐水C的浓度是8%.
8.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和 蔬菜.已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设 备资金如下表:
农作物
品种 每公顷
所需劳动力 每公顷所需
投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排这三种 农作物的种植面积,才能使所有职工有工作,而且投入的资金 正好够用
解析 设种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜z公顷,由题意,得 解得
答:种植水稻15公顷,棉花20公顷,蔬菜16公顷.
能力提升练
9.(2023山东济宁学院附中期中,14,★★☆)若对于有理数x和 y,定义一种运算“△”:x△y=ax+by+c,其中a,b,c为常数,例如: 3△2=3a+2b+c.已知1△1=0,4△2=3,9△(-3)=28,则5△7的值 为 .
-10
解析 由题意得
②-①得3a+b=3④,
③-②得5a-5b=25,即a-b=5⑤,
④+⑤得4a=8,
解得a=2,
把a=2代入④得6+b=3,
解得b=-3.
把a=2,b=-3代入①得2-3+c=0,
解得c=1,
∴原方程组的解为 ∴x△y=2x-3y+1,
∴5△7=5×2-7×3+1=10-21+1=-10,
故答案为-10.
10.(2023山东滨州沾化期中,24,★★☆)【阅读材料】解方程 组或求整式的值时,可以用整体代入或整体求值的方法,化难 为易.例如:
(1)解方程组:
(2)已知 求x+y+z的值.
解:(1)把②代入①得x+2×1=3,解得x=1.把x=1代入②得y=0,所 以原方程组的解为
(2)①×2得8x+6y+4z=20③,
②-③得x+y+z=5.
【类比迁移】
(1)若 则 x+y+ z= .
(2)解方程组:
解析 (1)
(①+②)÷4得 x+y+ z=9,
故答案为9.
(2)
由①可得2x-y=2③,
将③代入②得 +2y=9,解得y=4,
将y=4代入①得2x-4-2=0,解得x=3,
∴原方程组的解为
素养探究练
11.(运算能力)已知方程组 求-2x+y+4z的值.小明凑出“-2x+y+4z=2·(x+2y+3z)+(-1)·(4x+3y+2z)=20-15=5”,虽然问题获得解决,但他觉得凑数字很麻烦.他问数学老师有没有不用凑数字的方法,数学老师给的提示为假设-2x+y+4z=m·(x+2y+3z)+n·(4x+3y+2z),对照方程两边各项的系数可列出方程组 它的解就是你凑的数.根据数学老师的提示,解决下列问题:
已知方程组 求2x+5y+8z的值.
解析 假设2x+5y+8z=m·(x+2y+3z)+n·(4x+3y+2z),
对照方程两边各项的系数,可列出方程组 解得
∴2x+5y+8z= ·(x+2y+3z)- ·(4x+3y+2z),
∴2x+5y+8z= ×3- ×7=7.(共29张PPT)
2 解二元一次方程组
第2课时 加减消元法
第七章 二元一次方程组
知识点2 加减消元法
基础过关练
1.(2024山东东营广饶月考)数学课堂上,王老师让大家用加 减消元法解方程组 下面是四位同学的求解
过程,其中正确的是 ( )
A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去x,可以将①×3-②×5
C.要消去y,可以将①×3+②×2 D.要消去x,可以将①×5-②×2
D
解析
要消去y,可以将①×3+②×5,
要消去x,可以将①×5-②×2,
故选D.
2.(整体思想)(2024福建宁德模拟)已知方程组 则x+
y的值是 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
D
解析 ①+②得3x+3y=9,所以x+y=3,故选D.
3.(2024山西临汾尧都期中)已知关于x,y的二元一次方程组为 则x-y的值为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.2
B
解析 ①+②得3x=3m+9,∴x=m+3,把x=m+3
代入①得y=m-2,
∴x-y=m+3-(m-2)=m+3-m+2=5,故选B.
4.(2023海南海口期中)已知|2x-y-3|+(4x-3y-5)2=0,则x和y的值 分别为( )
A.1,2 B.2,2 C.2,1 D.-2,2
C
解析 ∵|2x-y-3|+(4x-3y-5)2=0,
∴ 解得 故选C.
5.小明在解关于x,y的二元一次方程组 时,得到了正
确结果 则△,□处的数分别是 ( )
A.2,2 B.1,2 C.2,1 D.1,1
C
解析 ①+②得4x=4,解得x=1,所以□=1.把x=1,y
=1代入①得1+△=3,所以△=2,故选C.
6.(2022山东潍坊中考)方程组 的解为 .
解析
①×2得4x+6y=26③,
②×3得9x-6y=0④,
③+④得13x=26,解得x=2,
将x=2代入②得3×2-2y=0,
解得y=3,所以原方程组的解为
7.(新独家原创)已知关于x和y的方程组 则代数式
4x2+4xy+y2的值为 .
9
解析 由①×2-②得11y=11,解得y=1,把y=1代
入①得2x+3×1=5,解得x=1,所以原方程组的解为 ∴当x
=1,y=1时,4x2+4xy+y2=4×12+4×1×1+12=9,故答案为9.
8.(2024浙江杭州上城期中)解方程组:
(1) (2)
解析 (1)
①+②得9x=3,解得x= ,将x= 代入①得3× +2y=4,解得y= ,
∴原方程组的解为
(2)整理 得
②×5得-5x+45y=10③,
①+③得46y=46,解得y=1,
把y=1代入②得-x+9×1=2,解得x=7,
所以原方程组的解是
能力提升练
9.(2024山东潍坊潍城期中改编,11,★☆☆)解方程组 时,下列消元方法不正确的是 ( )
A.②×3-①,消去x
B.①×3+②×2,消去y
C.②×2-①×3,消去y
D.由②得x=31+3y,将其代入①中消去x
C
解析 A.②×3-①,消去x,正确,故A不符合题意;B.①×3+②×2, 消去y,正确,故B不符合题意;C.②×2+①×3,消去y,原消元方法 错误,故C符合题意;D.由②得x=31+3y,将其代入①中消去x,正 确,故D不符合题意.故选C.
10.(2024山东济宁邹城一模,6,★★☆)在解二元一次方程组 时,若①-②可直接消去未知数y,则m和n满足
( )
A.m=n B.mn=1 C.m+n=0 D.m+n=1
C
解析 由①-②得4x+(m+n)y=9,
∵①-②可直接消去未知数y,∴m+n=0.故选C.
11.(2024河北邢台内丘期末,11,★★☆)定义一种新运算 “※”,规定x※y=ax+by2,其中a,b为常数,且1※2=5,2※1=3, 则2※3= ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
B
解析 ∵x※y=ax+by2,其中a,b为常数,且1※2=5,2※1=3,
∴ ①-②×4,得-7a=-7,解得a=1,
把a=1代入①,可得1+4b=5,解得b=1,
∴x※y=x+y2,∴2※3=2+32=2+9=11.故选B.
12.(2024山东滨州惠民一模,11,★★☆)若|a-b+1|与
互为相反数,则a-b= .
-1
解析 ∵|a-b+1|与 互为相反数,
∴|a-b+1|+ =0,
∴
由②-①得3b+3=0,解得b=-1,
将b=-1代入①得a-(-1)+1=0,
解得a=-2,∴a-b=-1,故答案为-1.
13.(2023山东枣庄十五中西校期末,14,★★☆) = =x
+2的解是 .
解析 由 = =x+2得
整理得 ①+②得-2x=10,解得x=-5,
把x=-5代入①,得-(-5)+y=4,解得y=-1,
故原方程组的解为
14.(整体思想)(2023山东威海环翠期中,15,★★★)若关于x,y 的方程组 的解满足x+2y=2,则k的值为 .
-6
解析 ①+②得3x+6y=-k.
∵x+2y=2,∴3x+6y=3(x+2y)=3×2=-k,∴k=-6.
15.(2024山东东营广饶月考,20,★★☆)解下列方程组:
(1) (2)
(3) (4)
解析 (1)
①+②,得10x=20,解得x=2,
把x=2代入①,得7×2-6y=8,解得y=1,
∴原方程组的解是
(2) ①×3-②,得-2x=-3,解得x= ,
把x= 代入①,得2× +y=2,解得y=-1,
∴原方程组的解是
(3)
①×6,得3x-2y-2=6③,
②×2,得2x+2y=2④,
③+④,得5x=10,解得x=2,
把x=2代入②,得2+y=1,解得y=-1,∴原方程组的解是
(4)
由①得,-x+5y=3③,
②×6得,3x+3y+2x-2y=11,
整理得,5x+y=11④,
③×5+④,得26y=26,解得y=1,
把y=1代入③,得-x+5=3,解得x=2,
∴原方程组的解是
16.(2024山东济南平阴期中,23,★★☆)已知方程组 与 有相同的解,求m和n的值.
解析 由题意可得 ①×2-②得9x=9,解得x=1,
将x=1代入②得1-4y=-3,解得y=1.
把 代入方程组 得 解得
方法归纳
同解方程组的解法:一般把含有数字系数的方程组成新的方 程组,利用代入消元法或加减消元法求出方程组的解,然后再 把新的方程组的解代入含有字母系数的方程组成的方程组 中,最后求出字母系数的值.
17.(新考向·阅读理解试题)(2023山东东营广饶月考改编,24,★★☆)
阅读以下材料:
解方程组:
小亮在解决这个问题时,发现了一种新的方法,他把这种方法 叫做“整体加减法”,解题过程如下:
解:①×2得4(x-y)-4=0③,②-③得……
(1)请你替小亮补全解题过程.
(2)请你用这种方法解方程组:
解析 (1)①×2得4(x-y)-4=0③,
②-③得-y+4=0,解得y=4,
把y=4代入①得2(x-4)-2=0,解得x=5,
故原方程组的解是
(2)整理得
②-①×2得2×2+1+15y=50,解得y=3,
把y=3代入①得3x-3-2=0,解得x= ,
故原方程组的解是 (共29张PPT)
4 二元一次方程与一次函数
第七章 二元一次方程组
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
基础过关练
1.(2023山东威海荣成期末)下列四条直线,其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是( )
D
解析 ∵2x-3y=6,∴y= x-2,∴当x=0时,y=-2;当y=0时,x=3,
∴一次函数y= x-2的图象与y轴交于点(0,-2),与x轴交于点(3,0),
结合选项可知选项D符合要求,故选D.
2.(2023陕西蓝田一模)以二元一次方程x+2y-a=0的解为坐标 的点都在一次函数y=- x+a-1的图象上,则常数a的值为( )
A.- B. C.-2 D.2
D
解析 ∵以二元一次方程x+2y-a=0的解为坐标的点都在一 次函数y=- x+a-1的图象上,且y=- x+a-1可变形为x+2y-2a+2
=0,所以-a=-2a+2,解得a=2,故选D.
知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系
3.(数形结合思想)(教材变式·P21习题T3)如图,在平面直角坐 标系中,一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)的图象与一次函 数y=x+4的图象相交于点P,若点P的纵坐标为8,则关于x,y的 方程组 的解是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 对于一次函数y=x+4,当y=8时,x=4,∴点P的坐标为(4, 8),∴关于x,y的方程组 的解是 故选A.
4.(2024广东深圳期末)若一次函数y=3x-5与y=2x-7的图象的 交点P的坐标为(-2,-11),则方程组 的解为 .
解析 因为两个一次函数图象的交点坐标,就是把自变量和 函数当成未知数的二元一次方程组的解,所以方程组 的解为
5.(2022山东淄博临淄期中)已知关于x,y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y=ax+b和y=-x-2的图象
的交点坐标为 .
(-4,2)
解析 ∵关于x,y的二元一次方程组 的解是
∴m=4-2=2,∴一次函数y=ax+b和y=-x-2的图象的交点坐标为 (-4,2).
知识点3 待定系数法
6.(2024江苏南通崇川月考)如图,直线l1,l2的交点坐标可以看 做方程组 的解 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 设直线l1的函数解析式为y=kx+b(k≠0),直线l2的函数 解析式为y=mx+n(m≠0),
由题图可知直线l2过点(2,3),(0,-1),所以 解得
因此直线l2的函数解析式为y=2x-1;
由题图可知直线l1过点(2,3),(0,1),所以 解得
因此直线l1的函数解析式为y=x+1.
所以直线l1,l2的交点坐标可以看做方程组 的解,故选A.
7.(2024湖南邵阳武冈期末)一次函数中,当x=1时,y=5;当x=-1 时,y=9,则一次函数的解析式为 .
y=-2x+7
解析 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵当x=1时,y=5;当x=-1时,y=9,
∴ 解得
∴一次函数的解析式为y=-2x+7.
8.(新独家原创)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,已知点A在x轴的正半轴上,且点A到y轴的距离为4,点B到x轴的距离为8,则一次函数的解析式为 .
y=-2x+8或y=2x-8
解析 由题意可得点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,8)或(0,-8).
当一次函数y=kx+b的图象过A(4,0),B(0,8)时, 解得
∴一次函数的解析式为y=-2x+8;当一次函数y=kx+b的图象过A(4,0),B(0,-8)时, 解得
∴一次函数的解析式为y=2x-8.故答案为y=-2x+8或y=2x-8.
9.(跨生物·昆虫鸣叫)(教材变式·P23习题T1)某生物学家发现,气温y
(℃)在一定范围内,某种昆虫每分钟鸣叫的次数x与气温y(℃)成一次函数关系,其图象如图所示.
(1)请你根据图中标注的数据,求y与x之间的函数关系式.
(2)当这种昆虫每分钟鸣叫56次时,该地当时的气温为多少
解析 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),∵函数 图象经过点(40,30),点(80,40),
∴ 解得
∴y与x之间的函数关系式为y= x+20(40≤x≤80).
(2)当x=56时,y= ×56+20=34.
故该地当时的气温是34 ℃.
能力提升练
10.(2023山东威海环翠期中,10,★★☆)已知关于x,y的二元一 次方程组 无解,则一次函数y=kx+2的图象经
过第 象限( )
A.一、二、四 B.二、三、四
C.一、三、四 D.一、二、三
A
解析 ∵关于x,y的二元一次方程组 无解,
∴直线y=(2-k)x+1与直线y=(2k+5)x+3无交点,即两直线平行, ∴2-k=2k+5,解得k=-1,
∴y=kx+2=-x+2,其图象经过第一、二、四象限,故选A.
11.(2024山东济南历城期末,9,★★☆)一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象如图所示,几位同学根据图象得到了下面的结论:
甲:关于x,y的二元一次方程组 的解是
乙:关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=-2;
丙:关于x的一元一次方程mx+n=0的解是x=-5.
其中正确的结论是 ( )
B
A.甲,乙 B.甲,丙
C.乙,丙 D.甲,乙,丙
解析 ∵一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象交于点(-3,2),∴ 关于x,y的二元一次方程组 的解是 关于x的
一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=-3,故甲的结论正确,乙的 结论错误;由题图可得关于x的一元一次方程mx+n=0的解是x =-5,故丙的结论正确.故选B.
12.(跨生物·蛇的尾长)(2024山西中考,9,★★☆)生物学研究 表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一 次函数,部分数据如下表所示,则y与x之间的关系式为( )
A
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
解析 ∵体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,
∴可设y=kx+b(k≠0),
把x=6,y=45.5;x=8,y=60.5代入得 解得
∴y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5.故选A.
13.(情境题·中华优秀传统文化)(2023湖北武汉部分学校模 拟,7,★★☆)如图,“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛 一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶内壁有刻度,人们根据 壶中水面的位置计算时间.用x(小时)表示漏水时间,y(厘米) 表示壶底到水面的高度.根据过程中记录到的部分数据绘制 出y与x的函数图象,则刚开始时,壶底到水面的高度为( )
A.9厘米 B.12厘米
C.15厘米 D.18厘米
C
解析 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意得 解得
∴y=-2x+15,当x=0时,y=15,
即刚开始时,壶底到水面的高度为15厘米.
故选C.
14.(情境题·现实生活)(2024陕西西安爱知中学模拟,21,★★☆)
近几年,网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一, 它提高了人们的出行效率,节省了出行时间和金钱成本.下图 反映了某网约车平台收费y(元)与所行驶的路程x(千米)的函 数关系,根据图中的信息解答下列问题.
(1)求直线AB的表达式.
(2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元,若车速始终保持 60千米/小时不变,不考虑其他因素(红绿灯、堵车等),则小张 从家到机场需要多长时间
解析 (1)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),
把A(3,10),B(7,18)代入得 解得
∴直线AB的表达式为y=2x+4.
(2)根据题图可知收费64元时,行程已超过3千米,
把y=64代入y=2x+4,得2x+4=64,
解得x=30,
30÷60×60=30(分钟).
答:小张从家到机场需要30分钟.
素养探究练
15.(运算能力)(2023浙江温州中考)如图,在平面直角坐标系 中,点A(2,m)在直线y=2x- 上,过点A的直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点P(t,y1)在线段AB上,点Q(t-1,y2)在直线y=2x- 上,求y1-y2
的最大值.
解析 (1)把A(2,m)代入y=2x- ,得m= .
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A ,B(0,3)代
入得 解得
∴直线AB的函数表达式为y=- x+3.
(2)∵点P(t,y1)在线段AB上,
∴y1=- t+3(0≤t≤2),
∵点Q(t-1,y2)在直线y=2x- 上,
∴y2=2(t-1)- =2t- ,
∴y1-y2=- t+3- =- t+ ,
∵- <0,∴y1-y2随t的增大而减小,
∴当t=0时,y1-y2取得最大值,最大值为 .
