(共67张PPT)
(满分120分, 限时100分钟)
期末素养综合测试(一)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(跨语文·诗词赏析)(2024山西运城盐湖期末)“悠悠艾草香,片片粽叶长.一年一端午,一岁一安康.”饭前,妈妈拿出蜜枣粽和八宝粽共9个(大小和外包装都相同),其中有5个八宝粽,4个蜜枣粽,从中随机拿出5个粽子,则下列事件是不可能事件的是 ( )
A.拿出的5个粽子都是八宝粽
B.拿出的5个粽子中有4个是蜜枣粽、1个是八宝粽
C.拿出的5个粽子都是蜜枣粽
D.拿出的5个粽子中有1个是蜜枣粽、4个是八宝粽
C
解析 A.拿出的5个粽子都是八宝粽,是随机事件;B.拿出的5 个粽子中有4个是蜜枣粽、1个是八宝粽,是随机事件;C.拿出 的5个粽子都是蜜枣粽,是不可能事件;D.拿出的5个粽子中有 1个是蜜枣粽、4个是八宝粽,是随机事件.故选C.
2.(2023山东济南莱芜期中)下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.两直线平行,同位角相等 B.全等三角形的对应角相等
C.若a=b,则a2=b2 D.对顶角相等
A
解析 A项的逆命题为同位角相等,两直线平行,正确,是真命 题;B项的逆命题为角分别相等的三角形是全等三角形,错误, 是假命题;C项的逆命题为若a2=b2,则a=b,错误,是假命题;D项 的逆命题为相等的角为对顶角,错误,是假命题.故选A.
3.如图,在等边△ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD=
( )
A.1 B.2 C.3 D.6
B
解析 ∵三角形ABC是等边三角形,
∴AB=BC=4,∠ACB=60°,
∵BD∥AC,∴∠DBC=∠ACB=60°,
∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=30°,
∴BD= BC=2,故选B.
4.用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设 ( )
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
D
解析 因为“大于”的反面是“小于或等于”,所以应先假 设∠A≤60°,故选D.
5.已知点P(2x+6,x-4)在第四象限内,则实数x的取值范围在数 轴上表示正确的为 ( )
C
解析 ∵点P(2x+6,x-4)在第四象限内,
∴ 解得-3其解集在数轴上表示如图所示.
6.(2024安徽六安金寨期末)如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C, ∠1=∠2,BE⊥AE,AB=5,BE=3,则AC= ( )
A.10 B.11 C.13 D.15
B
解析 如图,延长BE交AC于点M,
∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠AEM=90°,
∴∠3=90°-∠1,∠4=90°-∠2,
∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴AB=AM=5,
∵BE⊥AE,∴BM=2BE=6,
∵∠4是△BCM的外角,∴∠4=∠5+∠C,
∵∠ABC=3∠C,∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5,
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C,∴∠5=∠C,
∴CM=BM=6,∴AC=AM+CM=5+6=11.故选B.
7.(2024山东德州德城期末)如果关于x的一元一次不等式xA.m<2 B.m≤2 C.m>3 D.m≥3
B
解析 由2x+1≤5得x≤2,∵关于x的一元一次不等式x8.(2024陕西西安莲湖期末)如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平 分线FD,GE分别交BC于点D,E,若∠B=30°,∠C=48°,则
∠DAE的度数为( )
A.26° B.15° C.24° D.30°
C
解析 ∵∠B=30°,∠C=48°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-48°=102°,
∵DF垂直平分AB,∴DA=DB,
∴∠DAB=∠B=30°,
同理可得EA=EC,∴∠EAC=∠C=48°,
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=102°-30°-48°=24°.故选C.
9.(山东常考题·多选题)(2023山东青岛胶州期中)已知直线y= k1x+b1与直线y=k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图 所示,则下列选项是关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2的正整数解 的是( )
AB
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由题图可知两函数图象的交点坐标为(3,2),且当x<3 时,直线y=k1x+b1在直线y=k2x+b2的上方,
∴关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2的解集为x<3,
∴关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2的正整数解为1,2.故选AB.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AB∥CD,过点B作BE⊥AC,交CA 的延长线于E,过点B作BD⊥CD于D,延长EB交CD的延长线 于点F,CD=8,BD=3,则△ABE的周长为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
B
解析 ∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,
∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,∴∠ACB=∠BCD,
∵BE⊥CE,BD⊥CD,∴BE=BD=3,
在Rt△BCE与Rt△BCD中,
∴Rt△BCE≌Rt△BCD(HL),∴CE=CD=8,
∴AC+AE=AB+AE=8,
∴△ABE的周长=AE+AB+BE=8+3=11,故选B.
11.如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=
10°,则∠P的度数为( )
A.19° B.20° C.22° D.25°
B
解析 延长DC,与AB交于点E(图略).∵∠ACD是△ACE的外 角,∠A=50°,∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC.∵∠AEC是 △BDE的外角,∠D=10°,∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°, ∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,∴∠ACD-∠ABD=60°.设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC,∴∠P+ ∠ACD=
∠A+ ∠ABD,∴∠P=50°- (∠ACD-∠ABD)=50°- ×60°=
20°.
12.(情境题·数学文化)(2023山东东营河口期末)我国明代《算法统宗》一书中有这样一题:“一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.”(一托按照5尺计算)大意如下:现有一根竿和一条绳索,如果用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺.问:绳索长几尺 设竿长x尺,绳索长y尺,根据题意可列方程组为 ( )
A. B.
A
C. D.
解析 根据用绳索去量竿,绳索比竿长5尺,可得出方程x+5 =y,根据将绳索对折去量竿,绳索就比竿短5尺,可得出方程x-5 = ,所以可列方程组为 故选A.
二、填空题(每小题3分,共24分)
13.(2022湖北黄冈中考)如图,已知AB∥DE,AB=DE,请你添加 一个条件: ,使△ABC≌△DEF.
∠A=∠D(答案不唯一)
解析 添加的条件可以是∠A=∠D.
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).故答案为∠A=∠D(答案不唯一).
14.(新独家原创)从下面六个命题中,任意选出一个命题,所选 命题正确的概率为 .
①若∠C=∠A+∠B,则△ABC为直角三角形;②若△ABC的三 边长分别为a,b,c,且a2-c2=b2,则△ABC为直角三角形;③若一 个三角形其中一个外角的补角等于与它不相邻的两个内角 的差,则这个三角形一定是直角三角形;④在直角三角形中, 两条边的长分别为2和3,则其斜边长为 ;⑤向如图所示的
飞镖盘(每个小正方形的边长均为1)中扔一枚飞镖,飞镖刚好 落在三角形(阴影部分)内的概率为 ;⑥关于x,y的方程2x+3y
=17有3个正整数解.
解析 ①∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=∠A+∠B,∴∠C=90°, ∴△ABC为直角三角形,∴该命题正确;②∵a2-c2=b2,∴a2=b2+ c2,∴△ABC为直角三角形,∴该命题正确;③设这个外角的补 角为∠1,三角形中另外两个内角为∠2,∠3,且∠1=∠2-∠3, ∵180°-∠1=∠2+∠3,∴2∠2=180°,∴∠2=90°,∴这个三角形是直角三角形,∴该命题正确;④当边长为2,3的两条边是直 角边时,斜边长= = ,当边长为2的边是直角边,边长
为3的边是斜边时,斜边长为3,∴该命题错误;⑤由题意可知飞
镖盘的总面积为3×3=9,三角形(阴影部分)的面积为 ×3×2
=3,∴向题图所示的飞镖盘(每个小正方形的边长均为1)中扔 一枚飞镖,飞镖刚好落在三角形(阴影部分)内的概率是 = ,
∴该命题错误;⑥∵2x+3y=17,∴x= ,∵x,y均为正整数,
∴ 或 或 ∴关于x,y的方程2x+3y=17有3个正
整数解,∴该命题正确.∴从六个命题中任意选出一个命题, 所选命题正确的概率为 = .
15.(2024山东济南莱芜期中)如图,直线l经过正方形ABCD的 顶点C,点B,D到直线l的距离分别是2,1,则正方形的边长为
.
解析 由题意得CD=CB,∠DCB=90°,
∴∠DCF+∠BCE=90°,
∵∠DFC=∠BEC=90°,
∴∠DCF+∠CDF=90°,∴∠CDF=∠BCE,
在△DCF和△CBE中,
∴△DCF≌△CBE(AAS),∴DF=CE=1,
∴BC= = = ,故答案为 .
16.(2024山东东营利津期末)李明、王超两位同学同时解方 程组 李明解对了,得出方程组的解为 王超
抄错了m,得出方程组的解为 则原方程组中a的值为
.
-5
解析 把 和 分别代入ax+by=2得
①+②得b=4,
把b=4代入①得2a+12=2,
解得a=-5.故答案为-5.
17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,分别以A,B为圆心, 大于 AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,作直线DE,分别
交AB,BC于点F,G,若BC=6,则GF= .
2
解析 如图,连接AG,
由作图可知,DE垂直平分AB,
∴AG=BG,FG⊥AB,垂足为F,∴∠GAB=∠B=30°,
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,∴∠CAG=30°,
∴∠CAG=∠BAG,∴CG=FG,
∵∠CAG=30°,∴AG=BG=2CG,
∴3CG=6,∴CG=2,∴FG=2,故答案为2.
18.(2024陕西西安阎良月考)在一个不透明的口袋中,装有红 色、黑色、白色小球共40个,这些小球除颜色外其他完全相 同,任意摸出一个小球,记下颜色,放回后搅匀,重复上述过程, 通过多次摸球试验后,摸到红色、黑色小球的频率分别稳定 在0.25,0.45附近,则口袋中白色小球的个数可能是 .
12
解析 ∵通过多次摸球试验后,摸到红色、黑色小球的频率 分别稳定在0.25,0.45附近,∴可估计摸到红色、黑色小球的 概率分别为0.25,0.45,∴估计红色小球有40×0.25=10(个),黑 色小球有40×0.45=18(个),
∴口袋中白色小球的个数可能是40-10-18=12,故答案为12.
19.已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x
+y>-3,其中m是非负整数,则m的值为 .
1或0
解析
由①+②得3x+3y=-3m-3,∴x+y=-m-1,
∵x+y>-3,∴-m-1>-3,∴m<2,
∵m是非负整数,∴m=1或m=0.
20.(2024山东烟台牟平期末)如图,∠MON=30°,点A1,A2,A3,… 在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,
△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA1=1,则△A8B8A9的边长为
.
128
解析 ∵△A1B1A2为等边三角形,
∴∠B1A1A2=60°,A1B1=A1A2,
∵∠MON=30°,∠B1A1A2=∠A1B1O+∠MON,
∴∠A1B1O=30°,∴A1B1=OA1,
∴A1B1=A1A2=OA1=1,
同理可得A2B2=A2A3=OA2=2OA1,
A3B3=A3A4=OA3=2OA2=22·OA1,
A4B4=A4A5=OA4=2OA3=23·OA1,
……
∴AnBn=AnAn+1=2n-1·OA1=2n-1.
∴△A8B8A9的边长为27=128,
故答案为128.
三、解答题(共60分)
21.[答案含评分细则](12分)解下列方程组、不等式组(并把 解集在数轴上表示出来):
(1) (2)
(3) (4)-2≤ <5.
解析 (1)
①-②×2得9y=27,解得y=3, 1分
将y=3代入①,得6x+15=7,解得x=- , 2分
∴原方程组的解为 3分
(2)将方程组整理得
①+②得-2x=-3,解得x= , 4分
将x= 代入①,得- +4y=-6,解得y= , 5分
∴原方程组的解是 6分
(3)
解不等式①得x≥-2, 7分
解不等式②得x< , 8分
∴不等式组的解集是-2≤x< .
将解集在数轴上表示,如图.
9分
(4)不等式可化为
解不等式①得x≤2, 10分
解不等式②得x>- , 11分
∴不等式组的解集是- 将解集在数轴上表示,如图.
12分
22.[答案含评分细则](6分)如图,已知AD∥EF,∠2=50°.
(1)求∠3的度数.
(2)若∠1=∠2,求证:DG∥BA.
(3)若∠1=∠2,且∠GAD=20°,求∠AGD的度数.
解析 (1)∵AD∥EF,∴∠3=∠2=50°. 2分
(2)证明:由(1)知∠3=∠2,∵∠1=∠2,
∴∠3=∠1,∴DG∥BA. 4分
(3)∵∠1=∠2=50°,∠GAD=20°,
∴∠AGD=180°-∠GAD-∠1=180°-20°-50°=110°. 6分
23.[答案含评分细则](6分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°.
(1)作∠ABC的平分线BD,交AC于点D;作BC的垂直平分线交 BD于点E,交BC于点F.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接CE,若∠ACE=42°,求∠BEF的度数.
解析 (1)如图.
2分
(2)设∠DBC=x,∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=x, 3分
∵EF垂直平分BC,∴BE=CE,∠BFE=90°,
∴∠ECB=∠DBC=x, 4分
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴60°+42°+x+x+x=180°,解得x=26°, 5分
∴∠BEF=90°-∠DBC=90°-26°=64°,
∴∠BEF的度数为64°. 6分
24.[答案含评分细则](2024安徽马鞍山和县期末)(8分)如图, 在△ABC中,DE是边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于 点D,E,BF⊥AC,且F为线段AD的中点,延长BF与BC的垂直平 分线交于点G,连接CG.
(1)若D是AC的中点,求证:AC=2AB.
(2)若∠ACB=30°,求证:△BGC为等边三角形.
解析 证明 (1)如图,连接BD, 1分
∵DE垂直平分BC,∴DB=DC,
∵D为AC的中点,∴DA=DC,∴DB=DA, 2分
∵BF⊥AC,F为AD的中点,∴AB=BD,
∴AB=BD=AD, 3分
∴AC=2AD=2AB. 4分
(2)∵DB=DC,∠ACB=30°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ADB=60°, 5分
易知AB=BD,∴△ABD为等边三角形, 6分
∴∠ABD=60°,∴∠DBF=30°,∴∠CBF=60°, 7分
∵DE垂直平分BC,∴BG=CG,
∴△BCG为等边三角形. 8分
25.[答案含评分细则](2023浙江丽水中考)(8分)我市“共富 工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生 产,公司提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工 可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答问题:
(1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的月报酬 一样多.
(2)求方案二中y关于x的函数表达式.
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据 自己的生产能力选择方案
解析 (1)观察题图可知,
方案一与方案二的图象相交于点(30,1 200), 1分
∴员工生产30件产品时,两种方案付给的月报酬一样多. 2
分
(2)设方案二中y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0), 3分
将(0,600),(30,1 200)代入得 4分
解得
∴方案二中y关于x的函数表达式为y=20x+600. 5分
(3)若生产件数x的取值范围为0≤x<30,则选择方案二; 6分
若生产件数x=30,则选择两个方案都可以; 7分
若生产件数x的取值范围为x>30,则选择方案一. 8分
26.[答案含评分细则](情境题·现实生活)(2024山东淄博淄川期末)
(8分)为了提倡低碳经济,某公司决定购买节省能源的10台新设备,现有甲、乙两种型号的设备,每台的价格、产量如下表所示.
类别 甲型 乙型
价格/(万元/台) a b
产量/(吨/月) 240 180
经调查,购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多2万元,购买2 台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元.
(1)求a与b的值.
(2)已知该公司购买节能设备的资金不超过110万元,试通过 计算说明该公司有几种购买方案.
(3)在(2)的条件下,若每月要求产量不低于2 040吨,为了节省 资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.
解析 (1)根据题意得
解得 2分
(2)设购买甲型设备x台,乙型设备(10-x)台, 3分
由题意得12x+10(10-x)≤110, 4分
解得x≤5,
∵x取非负整数,∴x=0,1,2,3,4,5,
∴该公司有6种购买方案. 5分
(3)由题意得240x+180(10-x)≥2 040,∴x≥4,
∴x为4或5. 6分
当x=4时,购买资金为12×4+10×6=108(万元);
当x=5时,购买资金为12×5+10×5=110(万元).
∴最省钱的购买方案为购买甲型设备4台,乙型设备6台. 8分
27.[答案含评分细则](12分)如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=α,AD,BE相交于点M,连接CM.
(1)求证:BE=AD.
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数.
(3)当α=90°时,分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图 2,判断△CPQ的形状,并证明.
解析 (1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACD=∠BCE, 1分
在△ACD和△BCE中, 3分
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD. 4分
(2)∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE, 5分
∵∠BAC+∠ABC=180°-α,
∴∠BAM+∠ABM=180°-α, 6分
∴∠AMB=180°-(180°-α)=α. 7分
(3)△CPQ为等腰直角三角形. 8分
证明:易证△ACD≌△BCE,∴BE=AD,∠CAP=∠CBQ, 9分
∵AD,BE的中点分别为点P,Q,
∴AP=BQ, 10分
在△ACP和△BCQ中,
∴△ACP≌△BCQ(SAS), 11分
∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ,
∵∠ACP+∠PCB=90°,
∴∠BCQ+∠PCB=90°,
∴∠PCQ=90°,
∴△CPQ为等腰直角三角形. 12分(共65张PPT)
(满分120分, 限时100分钟)
期中素养综合测试
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(新独家原创)新能源汽车越来越多,敏敏外出时,看到一辆 汽车,这辆汽车正好是一辆新能源汽车,这一事件的类型为
( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.确定事件
A
解析 出门看到一辆汽车,这辆汽车有可能是新能源汽车,也 有可能不是,所以该事件为随机事件,故选A.
2.(2024湖南衡阳雁峰期末)如图,下列选项中,不能判定l1∥l2 的是 ( )
A.∠1=∠3 B.∠4=∠5
C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180°
C
解析 A.∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故此选项不合题意;
B.∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故此选项不合题意;
C.由∠2=∠3无法判定l1∥l2,故此选项符合题意;
D.∵∠2+∠4=180°,∴l1∥l2,故此选项不合题意.
故选C.
3.(2023安徽芜湖期末)已知 是二元一次方程ax+3y=0
的解,则点(a,a-3)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 把 代入方程得3a-6=0,解得a=2,则点(2,-1)所在
的象限是第四象限.故选D.
4.(2024山东济南莱芜期中)从下列四个命题中随机选取一 个,是真命题的概率为 ( )
①两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
②如果x2=1,那么x=±1.
③三角形的一个外角大于任何一个内角.
④如果∠1=∠2,那么∠1和∠2是对顶角.
A. B. C. D.0
A
解析 ①两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,故原 命题是假命题.
②如果x2=1,那么x=±1,故原命题是真命题.
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,故原 命题是假命题.
④如果∠1=∠2,那么∠1和∠2不一定是对顶角,故原命题是 假命题.
共有4个命题,其中真命题有1个,所以是真命题的概率为 ,故选A.
5.(2024山东泰安新泰期末)如图所示,选项A,B中的转盘被分 成8等份,若让四个选项中的转盘自由转动一次,当转盘停止 时,指针落在阴影区域内的概率最大的是 ( )
D
解析 A.指针落在阴影区域内的概率是 = ;
B.指针落在阴影区域内的概率是 = ;
C.指针落在阴影区域内的概率是 = ;
D.指针落在阴影区域内的概率是 = .
∵ > > ,∴指针落在阴影区域内的概率最大的是D选项中
的转盘.
故选D.
6.(跨生物·小白鼠试验)某生物学家想通过随机抽取的方式 来估计50只小白鼠中雄鼠的个数,这些小白鼠被抓取后能够 清晰地判断性别.将小白鼠随机放置在实验箱后,从中随机抽 出一只小白鼠,记下它的性别后再放回实验箱中,不断重复这 一过程,通过大量重复试验发现,抽到雌鼠的频率稳定在0.4 附近,则实验箱中雄鼠的个数约为 ( )
A.25 B.30 C.20 D.35
B
解析 ∵抽到雌鼠的频率稳定在0.4附近,∴可估计抽到雌鼠 的概率为0.4,∴实验箱中雄鼠的个数约为50×(1-0.4)=30,故 选B.
7.下面四条直线,其中直线上的每个点的坐标都是二元一次 方程x-2y=2的解的是 ( )
C
解析 ∵x-2y=2,∴y= x-1,
当x=0时,y=-1,当y=0时,x=2,
∴一次函数y= x-1的图象与y轴交于点(0,-1),与x轴交于点(2,0),
结合选项可知选项C符合要求,故选C.
8.已知直线y=3x+2与直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的交点 的纵坐标为5,则关于x,y的二元一次方程组 的解为
( )
A. B.
C. D.
A
解析 把y=5代入y=3x+2,得3x+2=5,解得x=1,
∴直线y=3x+2与直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的交点的坐 标为(1,5),
∴二元一次方程组 的解为 故选A.
9.(跨物理·镜面反射)(2023山西大同模拟)如图,某物理兴趣小 组在研究光的镜面反射时,为了更加直观地显示光的反射规 律,于是把光的入射路径与反射路径画在了平面直角坐标系 中,一束光线从点A(1,4)出发,经x轴上的点B(3,0)反射,沿射线 BC方向反射出去,则反射光线BC所在的直线的解析式是(提 示:图中∠1=∠2)( )
A.y=2x-6 B.y=-2x+6
C.y=2x+6 D.y=6x-2
A
解析 如图,设直线AB与y轴的交点为E,直线BC与y轴的交点 为F,
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵A(1,4),B(3,0),
∴ 解得
∴y=-2x+6,
当x=0时,y=6,∴直线AB与y轴的交点E的坐标为(0,6),则OE=6,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3,易证△EOB≌△FOB,则OF= OE=6,∴F(0,-6),
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),
∴ 解得 ∴y=2x-6,故选A.
10.(跨体育与健康·竞技体操)图1是男子竞技体操项目双杠 的静止动作,图2是其俯视示意图,已知a∥b,若AB与BC的夹 角为105°,∠1=55°,则∠2的度数为( )
A.105° B.125° C.130° D.150°
C
解析 如图,
设BC与直线b相交于点E,反向延长BA
交直线b于点D,∵∠ABC=105°,
∴∠EBD=180°-∠ABC=75°,
∵a∥b,∴∠1=∠BDE=55°,
∵∠2是△BED的一个外角,
∴∠2=∠BDE+∠EBD=130°,故选C.
11.(2023山东济南莱芜期中)如图,AB∥EF,BC⊥CD,则∠α,∠β,
∠γ之间的关系是 ( )
A.∠β=∠α+∠γ B.∠α+∠β+∠γ=180°
C.∠α+∠β-∠γ=90° D.∠β+∠γ-∠α=90°
C
解析 如图,
分别过C,D作AB的平行线CM和DN,∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠α=∠BCM,∠MCD=∠NDC,∠NDE=∠γ,∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ=∠BCD+∠γ,
又BC⊥CD,∴∠BCD=90°,∴∠α+∠β=90°+∠γ,即∠α+∠β-∠γ=90°,故选C.
12.(2024辽宁抚顺望花期末)明代《算法统宗》有一首饮酒 数学诗:“肆中饮客乱纷纷,薄酒名醨厚酒醇.醇酒一瓶醉三 客,薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九,三十三客醉颜生.试问 高明能算士,几多醨酒几多醇 ”这首诗是说:“好酒一瓶,可 以醉倒3位客人;薄酒三瓶,可以醉倒1位客人,如今33位客人 醉倒了,他们总共饮了19瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是 多少瓶 ”设有好酒x瓶,薄酒y瓶.根据题意,可列方程组为
( )
A
A. B.
C. D.
解析 根据“他们总共饮了19瓶酒”可列方程为x+y=19,根 据“好酒一瓶,可以醉倒3位客人;薄酒三瓶,可以醉倒1位客 人,如今33位客人醉倒了”可列方程为3x+ =33,故可列方程
组为 故选A.
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.(2024山东济南莱芜期中)若3x|k-1|+(k-2)y=3是关于x,y的二 元一次方程,则k的值为 .
0
解析 ∵3x|k-1|+(k-2)y=3是关于x,y的二元一次方程,∴|k-1|=1 且k-2≠0,解得k=0,故答案为0.
14.(情境题·国防教育)某部队正在进行航海军事演练,乙队正 在追击甲队的军舰,想要抓住其领队.已知甲队共有5艘完全 一样的军舰,领队在其中1艘军舰中,则乙队在甲队的5艘中任 选1艘进行追击,抓住其领队的概率为 .
解析 甲队一共有5艘军舰,其中领队所在的军舰只有1艘,所 以乙队抓住甲队领队的概率为 .
15.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 .
360°
解析 ∵∠AIC=∠A+∠B,∠EPC=∠C+∠D,∠AOE=∠E+
∠F,∠POI+∠PIO+∠OPI=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AIC+∠EPC+∠AOE=180°-∠PIO+180°-∠OPI+180°-∠POI=540°-(∠PIO+∠OPI+
∠POI)=540°-180°=360°.
故答案为360°.
16.能够说明“设a,b是任意非零实数,若a>b,则 < ”是假命
题的一组整数a,b的值分别为 .
2,-1(答案不唯一)
解析 答案不唯一,当a=2,b=-1时,a>b,但 > ,从而可得出所
给命题是假命题.
17.已知关于x,y的方程组 的解满足x+y=5,则k=
.
7
解析
①×2,得6x+10y=2k+4③,
②×3,得6x+9y=3k④,
③-④,得y=4-k,
把y=4-k代入②,得2x+12-3k=k,解得x=2k-6,
∵关于x,y的方程组 的解满足x+y=5,
∴(2k-6)+(4-k)=5,解得k=7.
18.(双角平分线模型)如图,△ABC中,∠A=β,∠ABC与∠ACD 的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线交于 点A2,得∠A2,…,∠A2 022BC与∠A2 022CD的平分线交于点A2 023, 得∠A2 023,则∠A2 023= .
β
解析 ∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠ABC.
∵BA1是∠ABC的平分线,CA1是∠ACD的平分线,
∴∠A1BC= ∠ABC,∠A1CD= ∠ACD,
∵∠A1CD是△A1BC的外角,
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC= (∠A+∠ABC)- ∠ABC= ∠A= β.
同理,可得∠A2= ∠A1= β,∠A3= ∠A2= β,∠A4= ∠A3=
β,∠A5= ∠A4= β,……,∴∠An= β(n为正整数),
∴∠A2 023= β.
三、解答题(共66分)
19.[答案含评分细则](12分)
(1)(2024山东潍坊潍城期末)解方程组:
(2)(2024山东潍坊潍城期末)解方程组:
(3)(2024山东济南长清期末)解方程组:
解析 (1)
把①代入②,得8y+12+5y=-1, 2分
解得y=-1,
把y=-1代入①,得x=1, 3分
则方程组的解为 4分
(2)方程组整理得
①×3+②×2,得19x=114,解得x=6, 6分
把x=6代入①,得y=- , 7分
则方程组的解为 8分
(3)
①×2+②,得9x=18,解得x=2, 10分
把x=2代入②,得y=-3, 11分
则方程组的解为 12分
20.[答案含评分细则](6分)如图,B,F,E,C在同一条直线上,∠A =∠D.
(1)若∠A=78°,∠C=47°,求∠BFD的度数.
(2)若∠AEB+∠BFD=180°,求证:AB∥CD.
解析 (1)∵∠A=78°,∠A=∠D,
∴∠D=78°, 2分
∵∠C=47°,∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°. 3分
(2)证明:∵∠AEB+∠BFD=180°,∠CFD+∠BFD=180°,
∴∠AEB=∠CFD, 4分
∵∠A=∠D,∴180°-∠A-∠AEB=180°-∠D-∠CFD, 5分
∴∠B=∠C,
∴AB∥CD. 6分
21.[答案含评分细则](6分)6月18日上午,某商家在广场上举 行有奖销售活动,抽奖活动设置了如图所示的翻奖牌,翻奖牌 的正面、背面如图①所示,若只能在9个数字中选择一个数 字翻牌,请解决下面的问题:
(1)得到以下奖品的可能性最小的是 .
A.平板 B.手机 C.球拍 D.水壶
(2)如图②,请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品,奖品包含 “手机”“球拍”“水壶”,使得抽到“水壶”的可能性> 抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性.
图① 图②
解析 (1)由题意知抽到“水壶”的可能性= ,抽到“球
拍”的可能性= ,抽到“手机”的可能性= ,抽到“平板”
的可能性= ,
∵ < ,∴抽到“手机”的可能性最小.故答案为B. 2分
(2)如图所示.(填法不唯一)
6分
22.[答案含评分细则](2024江苏苏州期末)(6分)如图,点D在 △ABC的边BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE交AC于点 F,∠C=∠D.
(1)求证:∠CAD=∠CED.
(2)若∠DFC=117°,∠DFC=3∠B,求∠BED的度数.
解析 (1)证明:∵∠CAD是△ABC的外角,
∴∠CAD=∠B+∠C. 1分
∵∠CED是△BDE的外角,
∴∠CED=∠B+∠D. 2分
∵∠C=∠D,
∴∠CAD=∠CED. 3分
(2)∵∠DFC=117°,∠DFC=3∠B,
∴∠AFD=180°-∠DFC=180°-117°=63°,∠B= ∠DFC=
×117°=39°. 4分
在△ADF中,∠CAD+∠D+∠AFD=180°,
∵∠CAD=∠B+∠C,∠C=∠D,
∴∠B+∠C+∠C+∠AFD=180°,
即39°+∠C+∠C+63°=180°,
∴∠C= ×(180°-39°-63°)=39°,
∴∠D=39°. 5分
在△BED中,∠B=39°,∠D=39°,
∴∠BED=180°-∠B-∠D=180°-39°-39°=102°. 6分
23.[答案含评分细则](2023广东中山期中)(6分)甲、乙两人 解方程组 甲看错了方程①中的a,得到方程组的
解为 乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为
试求出方程组正确的解.
解析 将 代入②,得7+b=4,∴b=-3. 1分
将 代入①,得-a+7=2,∴a=5. 2分
∴原方程组为 3分
③×3,得15x+3y=6⑤.
④+⑤,得16x=10,∴x= . 4分
将x= 代入③,解得y=- . 5分
∴原方程组的解是 6分
24.[答案含评分细则](2024山东济宁兖州期末)(9分)某品牌 推出西游记人偶摆件,一上市就深受人们喜爱.已知购买3个 A型摆件和4个B型摆件共需470元;购买2个A型摆件和3个B 型摆件共需340元.
(1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元.
(2)小李爱好收藏,他打算用1 600元(全部用完)购买A型、B型 两种摆件(要求两种型号的摆件均购买),正好赶上商店对摆 件价格进行调整,其中A型摆件售价上涨40%,B型摆件按原价 出售,求小李有几种购买方案.
解析 (1)设一个A型摆件的售价是x元,一个B型摆件的售价 是y元, 1分
根据题意得 3分
解得
答:一个A型摆件的售价是50元,一个B型摆件的售价是80元. 4分
(2)设小李购买A型摆件m个,B型摆件n个, 5分
根据题意得50(1+40%)m+80n=1 600, 7分
整理得n=20- m,
∵m,n均为正整数,∴ 或 8分
∴小李有2种购买方案:
①购买A型摆件8个,B型摆件13个;
②购买A型摆件16个,B型摆件6个. 9分
25.[答案含评分细则](2023山东威海环翠期中)(10分)如图,已 知直线l1:y1=2x+1与坐标轴交于A,C两点,直线l2:y2=-x-2与坐标 轴交于B,D两点,两直线的交点为P点.
(1)求P点的坐标.
(2)求△APB的面积.
(3)x轴上存在点T,使得S△ATP=S△APB,求出点T的坐标.
解析 (1)由题意得
解得 1分
所以P(-1,-1). 2分
(2)令x=0,得y1=1,y2=-2,
∴A(0,1),B(0,-2), 3分
∴S△APB= ×(1+2)×1= . 5分
(3)在y1=2x+1中,令y1=0,解得x=- ,
∴C , 6分
设T(m,0),
∴CT= , 7分
∵S△ATP=S△APB,S△ATP=S△ATC+S△PTC= · ·(1+1)= , 8分
∴ = ,
解得m=1或-2, 9分
∴点T的坐标为(1,0)或(-2,0). 10分
26.[答案含评分细则](跨物理·光的反射)(2024山东青岛崂山期末)
(11分)一条光线照射在平面镜上的O点会被反射,经过 入射点O垂直于镜面的直线叫做法线,入射光线与法线的夹 角叫做入射角,反射光线与法线的夹角叫做反射角.在反射现 象中,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、 入射光线位于法线两侧,并且反射角等于入射角.利用上面结 论我们进行以下探究活动:
探究一:如图1,一束光线m照射到平面镜a上,被平面镜a反射 到平面镜b上,又被平面镜b反射,反射光线为n,已知∠1=70°,
入射角为40°,则反射角β为 °.
探究二:如图2,∠1=90°,一束光线m照射到平面镜a上,被平面 镜a反射到平面镜b上,又被平面镜b反射,已知反射角β为50°, 则入射角α为 °.
探究三:如图3,猜想:当∠1= °时,任何照射到平面镜a 上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后,入射光线m与反射 光线n总是平行的.请证明上述猜想.
解析 探究一:如图所示,
依题意得∠BAC=∠EAC=40°,AC⊥直线a,DB⊥直线b,
∴∠2+∠BAC=90°,∠3+∠ABD=90°,
∴∠2=90°-40°=50°,
∵∠1+∠2+∠3=180°,∠1=70°,
∴∠3=180°-70°-50°=60°,
∴∠ABD=90°-60°=30°,
∴反射角β=30°.
故答案为30. 3分
探究二:如图所示,
依题意得∠2=∠4,∠4+α=90°,∠3=∠5,
∠5+β=90°,
∴∠2=90°-α,∠3=90°-β,
∵∠1=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴90°-α+90°-β=90°,
∴α+β=90°,
∵反射角β为50°,
∴α=40°,
故答案为40. 6分
探究三:猜想:当∠1=90°时,任何照射到平面镜a上的光线m经 过平面镜a和b的两次反射后,入射光线m与反射光线n总是平 行的.
证明:如图所示,过点A作AC⊥直线a,过点B作BD⊥直线b, 7分
设∠EAC=α,∠FBD=β,
依题意得∠BAC=∠EAC=α,∠2=∠4,∠4+α=90°,∠FBD=
∠ABD=β,∠3=∠5,∠5+β=90°, 8分
∴α=90°-∠2,β=90°-∠3,∠EAB=2α,∠FBA=2β,
∴α+β=180°-(∠2+∠3), 9分
∵∠1=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴α+β=90°, 10分
∴∠EAB+∠FBA=2α+2β=180°,
∴AE∥BF. 11分(共75张PPT)
(满分120分, 限时100分钟)
期末素养综合测试(二)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(新独家原创)下列说法正确的是 ( )
A.打开电视正在播放《西游记》是随机事件
B.从一副没有大、小王的扑克牌中抽出一张扑克牌,正好抽 中红桃A的概率为
C.“明天会下暴雨吗 ”这是一个命题
D.“对顶角相等”是对顶角的定义
A
解析 A.打开电视正在播放《西游记》是随机事件,故本选 项说法正确;B.抽中红桃A的概率为 ,故本选项说法错误;C.
没有作出判断,不是命题,故本选项说法错误;D.“对顶角相 等”是对顶角的性质,故本选项说法错误.
2.(跨物理·天平)(2024河北石家庄长安期末)用不等式的性质说明图中从左至右的变化所体现的数学事实,正确的是 ( )
A.如果a+c>b+c,那么a>b B.如果aC.如果a-c>b-c,那么a>b D.如果ab>bc,那么a>b
A
解析 由题图1可得a+c>b+c,由题图2可得a>b,所以题图中 从左至右的变化所体现的数学事实为如果a+c>b+c,那么
a>b,故选A.
3.(2024山东济宁鱼台期末)△ABC的三边长分别为a,b,c,下列 条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③a2=(b+c)
(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三 角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ①∵∠A=∠B-∠C,∴∠A+∠C=∠B,又∠A+∠B+∠C =180°,∴∠B=90°,故①能判定△ABC是直角三角形;
②∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=
5x°,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180,解得x=15,∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,故②不能判定△ABC是直角三角形;
③∵a2=(b+c)(b-c),∴a2+c2=b2,符合勾股定理的逆定理,故③能 判定△ABC是直角三角形;
④∵a∶b∶c=5∶12∶13,∴设a=5k,b=12k,c=13k,∴a2+b2=c2, 符合勾股定理的逆定理,故④能判定△ABC是直角三角形,
∴能判定△ABC是直角三角形的有3个.故选C.
4.(新考向·尺规作图)(2023云南曲靖麒麟一模)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,先分别以点A,C为圆心,以适当的长度为 半径画弧,过两弧的交点作直线交AB于点D,连接CD;再按如 图所示的方式作射线BP,交CD于点P.根据图中尺规作图的 痕迹推断,以下结论错误的是 ( )
A.AD=CD B.∠ABP=∠CBP
C.∠PBC=∠A D.∠BPC=115°
C
解析 由题意得点D为AC的垂直平分线与AB的交点,BP平 分∠ABC,∴DA=DC,∠ABP=∠CBP,∴∠ACD=∠A=40°,
∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB= ×(180°-40°)=70°,∴∠PBC= ∠ABC=35°,∠PCB=∠ACB-∠ACD=30°,
∴∠BPC=180°-35°-30°=115°.故选C.
5.如图,螳螂亦称刀螂,无脊椎动物,属肉食性昆虫.在螳螂的 示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,
∠CDE=72°,则∠ACD的度数为 ( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
C
解析 如图,延长ED,交AC于F,
∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∴∠A=∠ACB=28°,
∵AB∥DE,∴∠CFD=∠A=28°,
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°, ∴∠ACD=72°-28°=44°,故选C.
6.如图,在△ABC与△DFE中,AC=DE,∠ACB=∠DEF,添加下 列条件后,仍不能得到△ABC≌△DFE的是 ( )
A.∠B=∠F B.BE=CF
C.∠A=∠D D.AB=DF
D
解析 A项,∵∠ACB=∠DEF,∠B=∠F,AC=DE,∴△ABC≌ △DFE(AAS);B项,∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,∴BC=EF,又 ∵∠ACB=∠DEF,AC=DE,∴△ABC≌△DFE(SAS);C项,
∵∠A=∠D,AC=DE,∠ACB=∠DEF,∴△ABC≌△DFE(ASA); D项,由AC=DE,∠ACB=∠DEF,AB=DF不能得到△ABC与
△DFE全等.故选D.
7.(2024山东青岛莱西期末)如图,AD是△ABC中∠BAC的平 分线,DE⊥AB于点E,AB=8,DE=4,AC=6,则 = ( )
A.14 B.26 C.56 D.28
D
解析 如图,过点D作DF⊥AC交AC于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=4,
∴S△ABC=S△ADC+S△ADB= AC·DF+ AB·DE= DE·(AC+AB)= ×
4×(6+8)=28.
8.(2024山东烟台栖霞期末)若关于x,y的二元一次方程组 的解也是2x+y=10的解,则k的算术平方根为( )
A.2
B.
C.±
D.由于不知道x,y的值,所以无法求出
B
解析
①-②得3y=3k,解得y=k,
把y=k代入②得x=2k,
∴原方程组的解为
∵二元一次方程组的解也是2x+y=10的解,
∴2×2k+k=10,∴5k=10,∴k=2,∵2的算术平方根是 ,∴k的
算术平方根是 .故选B.
9.(2024山东威海乳山期末)如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,边AD的垂直平分线分别交BC,AD于点E,F,且AF=EF.若AB =5,CD=12,则BE的长为 ( )
A.7 B.12 C.13 D.17
答案 B
B
解析 如图,连接AE,DE,
∵边AD的垂直平分线分别交BC,AD于点E,F,
∴EF⊥AD,AF=DF,AE=DE,
∵AF=EF,∴AF=EF=DF,
∴∠EAD=∠ADE=45°,
∴∠AED=90°,
∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AED=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠BAE=∠DEC,
在△AEB与△EDC中,
∴△AEB≌△EDC(AAS),∴BE=DC=12,故选B.
10.对于实数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.例 如:max{-1,2,6}=6,max{0,4,4}=4,若max{-x-1,2,2x-2}=2,则x的 取值范围在数轴上表示为 ( )
A
解析 ∵max{-x-1,2,2x-2}=2,∴
解得-3≤x≤2,故选A.
11.若关于x的不等式组 的整数解共有4个,则m的取
值范围是 ( )
A.6C.6≤m≤7 D.6D
解析 由7-2x≤1得x≥3,
∵x∵不等式组的正整数解有4个,
∴不等式组的正整数解应为3,4,5,6,
∴m的取值范围是612.(2024山东枣庄滕州月考)如图,△ACB和△DCE均为等腰 直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线 上,CM平分∠DCE,连接BE.以下结论:①AD=CE;②CM⊥AE; ③AE=BE+2CM;④CM∥BE;⑤S△COE=S△BOM.其中正确的为
( )
B
A.①②③⑤ B.②③④⑤
C.②③⑤ D.①②③④⑤
解析 ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
根据已知条件无法判定AD=CE,故①错误.
∵△DCE为等腰直角三角形,CM平分∠DCE,
∴CM⊥AE,故②正确.
∵CM平分∠DCE,∠DCE=90°,∴∠DCM=∠ECM=45°,
易知∠CDE=∠CED=45°,∴∠CDE=∠DCM,∠CED=
∠ECM,∴CM=DM,CM=EM,
∴DM=ME=CM,∴DE=2CM,
∵AD=BE,∴AE=AD+DE=BE+2CM,故③正确.
∵点A,D,E在同一条直线上,△ACB和△DCE均为等腰直角三
角形,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°,
∴∠AEB=∠CME=90°,∴CM∥BE,故④正确.
∵CM∥BE,∴S△CMB=S△CME,
∴S△CMO+S△BOM=S△CMO+S△COE,
∴S△COE=S△BOM,故⑤正确.所以正确的为②③④⑤.故选B.
二、填空题(每小题3分,共24分)
13.(2024山东枣庄薛城期中)用反证法证明“在△ABC中,若 AB=AC,则∠C<90°”时,应先假设 .
∠C≥90°
解析 由反证法的定义可知,假设需要否定结论,
所以先假设∠C≥90°,故答案为∠C≥90°.
14.将含30°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置, 若∠1=48°,则∠2= .
108°
解析 如图,
易知∠3=∠1=48°,
由题意可知∠4=60°,
∴∠2=∠3+∠4=48°+60°=108°.
15.如图,若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象交于点P(1,3), 则关于x的不等式组 的解集为 .
1解析 由题图可知不等式k1x+b1>k2x+b2的解集为x>1,不等式 k2x+b2>0的解集为x<4,所以不等式组的解集为116.(2023山东泰安肥城期末)等腰三角形一腰上的高与另一 腰所成的夹角为45°,则这个等腰三角形的顶角的度数为
.
45°或135°
解析 分两种情况讨论:
①如图,当等腰三角形为锐角三角形时,
∵BD⊥AC,∠ABD=45°,
∴∠A=45°,即顶角的度数为45°;
②如图,当等腰三角形为钝角三角形时,
∵BD⊥AC,∠DBA=45°,
∴∠BAD=45°,
∴∠BAC=135°.
综上所述,这个等腰三角形的顶角的度数为45°或135°.
故答案为45°或135°.
17.某市为了倡导居民节约用水,生活用水按阶梯式水价计 费.居民每户每月的水费y(元)与所用的水量x(m3)之间的函数 图象如图所示.当17≤x≤30时,y与x之间的函数关系式为
.
y=5x-34
解析 当17≤x≤30时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
(k≠0),
将(30,116),(20,66)代入得 解得 ∴当17
≤x≤30时,y与x之间的函数关系式为y=5x-34.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE垂直平分AB,垂 足为D,交AC于点E,延长DE交BC的延长线于点F,连接AF,BE, 则图中共有 个等腰三角形.
5
解析 ∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,FA=FB,
∴△ABE,△ABF是等腰三角形.
∵△ABC中,∠BAC=36°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC= (180°-∠BAC)=72°,
∵EA=EB,
∴∠ABE=∠BAC=36°,
∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=72°=∠ACB,
∴BE=BC,
∴△BEC是等腰三角形.
∵FA=FB,
∴∠FAB=∠ABC=72°,
∴∠CAF=∠FAB-∠BAC=72°-36°=36°,
∴∠CFA=∠ACB-∠CAF=72°-36°=36°=∠CAF,
∴CA=CF,
∴△ACF是等腰三角形.
综上可知,△ABC,△ABE,△ABF,△BEC,△ACF是等腰三角 形,共5个.
19.如图,DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC于F,若BD=CD, BE=CF.则线段AC,AB,BE之间的数量关系为 .
AC-AB=2BE
解析 ∵DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC于F,
∴∠E=∠DFC=90°,
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴AB+BE=AC-CF,
即AC-AB=BE+CF=2BE.
20.(2024山东烟台牟平期末)对于有理数m,我们规定[m]表示 不大于m的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若 =
-5,则m的取值范围是 .
-7≤m<-5
解析 ∵ =-5,∴-5≤ <-4,
∴-10≤m-3<-8,∴-7≤m<-5,
故答案为-7≤m<-5.
三、解答题(共60分)
21.[答案含评分细则](12分)
(1)(2023山东淄博桓台期末)解方程组:
(2)(2023山东淄博桓台期末)解不等式: ≥ +1,并把
解集在数轴上表示出来.
(3)(2023山东泰安岱岳期末)解不等式组: 并求
不等式组的整数解.
解析 (1)
①×3-②×2得y=3, 2分
把y=3代入①得2x+9=13,
解得x=2, 3分
∴原方程组的解为 4分
(2) ≥ +1,
去分母,得2(1-2x)≥4-3x+6,
去括号,得2-4x≥4-3x+6, 5分
移项,得-4x+3x≥4+6-2,
合并同类项,得-x≥8, 6分
系数化为1,得x≤-8, 7分
将解集在数轴上表示如图.
8分
(3)
解不等式①,得x>-2, 9分
解不等式②,得x≤ , 10分
所以不等式组的解集是-2所以不等式组的整数解是-1,0,1,2,3,4. 12分
22.[答案含评分细则](2024山东东营利津期末)(6分)如图,已 知点E,F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C +∠BFG=180°,∠CED=∠GHD.
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由.
(2)若∠EHG=100°,∠D=30°,求∠AEM的度数.
解析 (1)∠AED+∠D=180°. 1分
理由如下:
∵∠CED=∠GHD,∴CE∥GF,
∴∠C=∠FGD, 2分
∵∠C+∠BFG=180°,∴∠FGD+∠BFG=180°,
∴AB∥CD,∴∠AED+∠D=180°. 3分
(2)由(1)知CE∥GF,
∴∠CED=180°-∠EHG=80°, 4分
由(1)知AB∥CD,
∴∠BED=∠D=30°, 5分
∴∠BEC=∠BED+∠CED=110°,
∴∠AEM=∠BEC=110°. 6分
23.[答案含评分细则](2024山东济南莱芜期末)(6分)在数学 实践活动课上,小明和小红玩游戏,分别转动如图所示的两个 转盘(每个转盘都被分成3等份).
(1)转动转盘①,当转盘①停止时,指针指向“3”的概率是
.
(2)同时转动两个转盘,规定:转盘停止转动时,若指针指向的 两个数字之和为奇数,则小明获胜;若指针指向的两个数字之 和为偶数,则小红获胜.你认为这个游戏对双方是否公平;请 说明理由.
解析 (1)∵转盘①被分成3等份,其中标有“3”的只有1份,
∴转动转盘①,当转盘①停止时,指针指向“3”的概率是 ,
故答案为 . 2分
(2)这个游戏对双方不公平.理由:易知指针指向的两个数字 之和共有9种等可能的情况,其中和为奇数的情况有5种,和为 偶数的情况有4种, 3分
∴P(和为奇数)= ,P(和为偶数)= ,∵ ≠ ,
∴这个游戏对双方不公平. 6分
24.[答案含评分细则](6分)已知关于x,y的二元一次方程组 的解是正整数,关于x的不等式组
有且仅有2个整数解,求整数m的值.
解析
①+②得2x=21-3m,∴x= , 1分
①-②得2y=5m-21,∴y= , 2分
∵二元一次方程组的解是正整数,
∴ 解得 ≤m≤ ,
∴m=5或m=6, 4分
当m=5时,x=3,y=2,
当m=6时,x=1.5不符合题意,舍去,
∴m=5.
解不等式组 得 ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解,
∴4≤ <5,解得5≤m< ,∴m的值是5. 6分
25.[答案含评分细则](2024山东临沂临沭期末)(8分)随着人 们环保意识的增强,油电混动汽车也成了广大消费者的宠儿, 因为油电混动汽车既可以用纯油模式行驶,也可以切换成纯 电模式行驶.已知某型号油电混动汽车从甲地行驶200 km到 乙地,若纯电模式行驶150 km,纯油模式行驶50 km,则电费、 油费一共花费35元;若纯电模式行驶100 km,纯油模式行驶
100 km,则电费、油费一共花费50元.
(1)求该汽车纯电模式行驶时每千米需要的电费是多少元,纯 油模式行驶时每千米需要的油费是多少元.
(2)该汽车从甲地到乙地,部分路段使用纯电模式行驶,其余 路段采用纯油驱动,若所需的油费、电费合计不超过44元,求 至少需要在纯电模式下行驶多少千米.
解析 (1)设该汽车纯电模式行驶时每千米需要的电费是x 元,纯油模式行驶时每千米需要的油费是y元,
由题意得 2分
解得 4分
答:该汽车纯电模式行驶时每千米需要的电费是0.1元,纯油 模式行驶时每千米需要的油费是0.4元.
(2)设该汽车需要在纯电模式下行驶m千米, 5分
由题意得0.1m+0.4×(200-m)≤44, 6分
解得m≥120.
答:至少需要在纯电模式下行驶120千米. 8分
26.[答案含评分细则](2023新疆乌鲁木齐天山期末)(10分)线 段BD上有一点C,分别以BC,CD为边作等边三角形ABC和等 边三角形ECD,连接BE交AC于M,连接AD交CE于N,连接MN.
(1)求证:∠1=∠2.
(2)求∠AFB的度数.
(3)判断△CMN的形状,并说明理由.
解析 (1)证明:∵△ABC和△ECD是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,EC=DC, 1分
∴∠ACE+∠DCE=∠ACB+∠ACE,
即∠ACD=∠BCE, 2分
在△ACD与△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠1=∠2. 3分
(2)∵∠1=∠2,∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠ABF+∠BAF=∠BAC+∠ABC=120°, 4分
∴∠AFB=180°-(∠ABF+∠BAF)=180°-120°=60°. 5分
(3)△CMN是等边三角形. 6分
理由如下:∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACE=60°,
即∠MCN=60°, 7分
在△BCM与△ACN中,
∴△BCM≌△ACN(ASA),∴CM=CN, 9分
∴△CMN是等边三角形. 10分
27.[答案含评分细则](2024山东烟台芝罘期末)(12分)如图1, AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD,点D在AB上,连接AE,∠DCE 的平分线交AD于点F.
(1)求证:AE=BD.
(2)若∠ACB=90°,求证:AF2+BD2=DF2.
(3)如图2,若∠ACB=120°,BC=2,EF⊥AB,求AF的长度.
解析 (1)证明:∵∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE, 2分
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS), 3分
∴AE=BD. 4分
(2)证明:如图,连接EF,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠B,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴∠EAC=45°,
∴∠EAF=∠EAC+∠CAB=90°,
∴AF2+AE2=EF2, 6分
∵AE=BD,∴AF2+BD2=EF2,
∵CF平分∠DCE,∴∠ECF=∠DCF,
在△ECF和△DCF中,
∴△ECF≌△DCF(SAS), 7分
∴EF=DF,
∴AF2+BD2=DF2. 8分
(3)如图,过点C作CG⊥AB于点G,
9分
则∠AGC=90°,
∵BC=2,∴AC=BC=2, 10分
∵∠ACB=120°,
∴∠CAB=∠B= ×(180°-120°)=30°,
∴CG= AC= ×2=1,
∴AG= = = , 11分
∵EF⊥AB,∴∠DFE=90°,
易证△ECF≌△DCF,
∴∠CFE=∠CFD= ∠DFE=45°,
∴∠FCG=∠CFD=45°,
∴FG=CG=1,
∴AF=AG-FG= -1,
∴AF的长度是 -1. 12分
