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2024~2025学年八年级下册第一次月考卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 澧县期末）在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025 沈阳模拟）若，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
3．（2024秋 新泰市期末）下列各组数据中，能构成直角三角形的是
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17
4．（2025春 包河区月考）不等式的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2025 红桥区模拟）如图，在△中，，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于，两点，画直线与边相交于点，则的大小为
A． B． C． D．
6．（2025 金水区一模）一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为
A． B． C． D．
7．（2024秋 许昌期末）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是
A． B． C． D．
8．（2025 沈阳模拟）如图，直线与直线、为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
9．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024秋 合肥期末）如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④△是等边三角形．正确的是
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 新县期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
12．（2024秋 仁寿县期末）在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，第一步是假设 ．
13．（2025 喀什地区开学）如图，在△中，为的平分线，于点，于点，△的面积是，，， ．
14．（2025春 碑林区校级月考）已知关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为 ．
15．（2024春 武汉期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每名人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有名学生，则可列不等式组为 ．
16．（2024秋 两江新区校级期末）青朱出入图（图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 碑林区校级月考）解不等式（组
（1）（把解集表示在数轴上）；
（2）．
18．（2025 光山县二模）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）求的度数？
（2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：．
19．（2025 黔南州模拟）定义一种新运算“△”：当时，△；当时，△．例如：3△，1△．
（1）填空：△ ；（直接写出结果）
（2）已知△，求的取值范围．
20．（2024秋 山阳县期末）如图，在△中，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）延长至，连接，当垂直且平分时，求证：△是等腰三角形．
21．（2024秋 西湖区校级期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数．
（1）求的取值范围；
（2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
22．（2024秋 安庆期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
（1）根据图象，直接写出当时，的取值范围是什么？
（2）求直线的表达式和的值；
（3）若点在直线上，且，求点的坐标．
23．（2024秋 宽城县期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，△与△按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．
24．（2024秋 承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 ；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
2024~2025学年八年级下册第一次月考卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 澧县期末）在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【解析】不等式有①，④，⑤，共3个．
故选．
2．（2025 沈阳模拟）若，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、在不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
、在不等式的两边同时减去3，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
、在不等式的两边同时乘，不等号方向改变，即，故本选项符合题意．
、在不等式的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
故选．
3．（2024秋 新泰市期末）下列各组数据中，能构成直角三角形的是
A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．8，15，17
【答案】
【解析】、，不能构成直角三角形，故选项错误；
、，不能构成直角三角形，故选项错误；
、，不能构成直角三角形，故选项错误；
、，能构成直角三角形，故选项正确．
故选．
4．（2025春 包河区月考）不等式的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】不等式的解集是，
不等式变号，
，
．
故选．
5．（2025 红桥区模拟）如图，在△中，，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于，两点，画直线与边相交于点，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
由题意得：是的垂直平分线，
，
，
，
故选．
6．（2025 金水区一模）一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：数轴表示的解集为：，
、，解得，故不符合题意；
、，解得，故不符合题意；
、，解得，故符合题意；
、，解得，故不符合题意；
故选．
7．（2024秋 许昌期末）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
，
故选．
8．（2025 沈阳模拟）如图，直线与直线、为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把代入得，解得，
当时，．
故选．
9．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】由可得，，
方程的解为非负数，
，
解得，
由不等式组可得，，
一元一次不等式组至少有3个整数解．
，
由上可得，，
可以取得整数为1，2，3，
所有符合条件的整数的和为．
故选．
10．（2024秋 合肥期末）如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④△是等边三角形．正确的是
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】
【解析】①连接，如图所示：
四边形为矩形纸片，
，，
由折叠性质得：，，，，，，
是线段的垂直平分线，
，
，
△为等边三角形，
，
，
在△中，；
故结论①正确；
②，
，
故结论②不正确；
③设，则，
在△中，由勾股定理得：，
，
在△中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
故结论③正确；
④由③可知：△是等边三角形，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 新县期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 2 ．
【答案】2.
【解析】不等式是关于的一元一次不等式，
，且，
解得：（舍去）或，
则的值为2，
故答案为：2．
12．（2024秋 仁寿县期末）在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，第一步是假设 ．
【答案】．
【解析】用反证法证明在中，，求证：，
第一步是假设，
故答案为：．
13．（2025 喀什地区开学）如图，在△中，为的平分线，于点，于点，△的面积是，，， 2 ．
【答案】2．
【解析】为的角平分线，，，
．
又△的面积是，且，
．
又，，
，
解得．
故答案为：2．
14．（2025春 碑林区校级月考）已知关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】解不等式得，；
解不等式得，．
因为此不等式组有解，
所以，
解得．
故答案为：．
15．（2024春 武汉期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每名人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有名学生，则可列不等式组为 ．
【答案】．
【解析】设一共有名学生，则图书共有本，
由题意得，．
故答案为：．
16．（2024秋 两江新区校级期末）青朱出入图（图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 10 ．
【答案】10．
【解析】如图2，
朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，
，，
朱入与朱出的三角形全等，
△△，
，
两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
△△，△△，
，，
阴影部分面积为
，
，，
，
即阴影部分的面积为10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 碑林区校级月考）解不等式（组
（1）（把解集表示在数轴上）；
（2）．
【解析】（1）解：
去括号得，
移项得，
系数化为1，解得：，
数轴表示为：
（2）解：
由①得，，
由②得，，
原不等式组的解集为：．
18．（2025 光山县二模）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）求的度数？
（2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）求证：．
【解析】（1）解：是等边三角形，
，
又，为的外角，
；
（2）如图所示：
（3）证明：是等边三角形，是中点，
，又，
，
，
又，
．
19．（2025 黔南州模拟）定义一种新运算“△”：当时，△；当时，△．例如：3△，1△．
（1）填空：△ ；（直接写出结果）
（2）已知△，求的取值范围．
【解析】（1）根据新定义进行计算可得：
△，
故答案为：；
（2）由题意，知，①或，②
由①得；
由②得无解；
的取值范围为：．
20．（2024秋 山阳县期末）如图，在△中，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）延长至，连接，当垂直且平分时，求证：△是等腰三角形．
【解析】（1）解：，，
，
平分，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
垂直且平分，
，
，，
，
，
△是等腰三角形．
21．（2024秋 西湖区校级期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数．
（1）求的取值范围；
（2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
【解析】（1），
①②得：③，
将③代入②得：，
解得：，
方程组的解为．
为负数，为非正数，
，
解得：，
的取值范围为；
（2），
．
不等式的解集为，
，
，
，
，
或，
当为或时，不等式的解集为．
22．（2024秋 安庆期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
（1）根据图象，直接写出当时，的取值范围是什么？
（2）求直线的表达式和的值；
（3）若点在直线上，且，求点的坐标．
【解析】（1）由图象可知，当时，
的取值范围为；
（2）由条件可得：，
解得：，
直线的表达式为，
把代入
得，
点的坐标为，
把代入，
得．
（3）设，
把代入直线解析式得，，
，
，
，
解得或．
或．
23．（2024秋 宽城县期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，△与△按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．
【解析】（1），
，
，
即；
（2）设千米，则千米，
在△中，由勾股定理得，
解得，
即千米，
（千米），
新路比原路少0.1千米；
（3）设，则，
在△中，由勾股定理得，
在△中，由勾股定理得，
，
解得：．
24．（2024秋 承德县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 60 ；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
【解析】（1）解：，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3）解：①如图1，
当时，，
，，
，
，
如图2，
当时，，
，
如图3，
当时，，
，
此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：或．
②如图：
当时，
，
，
，
，
旋转角为．
