期中专项02 二元一次方程组（9大题型）
期中常考题型目录：
中小学教育资源及组卷应用平台
题型一 二元一次方程的定义
题型二 二元一次方程的解
题型三 二元一次方程组的定义
题型四 二元一次方程组的解
题型五 解二元一次方程组
题型六 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型七 二元一次方程组的应用
题型八 解三元一次方程组
题型九 三元一次方程组的应用
期中常考题型精选：
题型一 二元一次方程的定义
1．（2024春 鄞州区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024春 奉化区期中）下列各式中，是关于，的二元一次方程的是
A． B． C． D．
3．（2024春 拱墅区校级期中）如果是关于、的二元一次方程，那么
A． B． C． D．
4．（2024春 义乌市期中）是关于，的二元一次方程，则 ．
题型二 二元一次方程的解
5．（2024春 萧山区期中）若是方程的一个解，则的值是
A．1 B． C．2 D．
6．（2024春 鹿城区校级期中）若是，的二元一次方程的解，则的值为
A． B． C．5 D．7
7．（2024春 西湖区校级期中）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是
A．，异号 B．
C． D．满足条件的数对有无数对
8．（2024春 南浔区期中）请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ．
9．（2024春 鹿城区校级期中）若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ．
10．（2024春 浦江县校级期中）若是方程的一个解，则
11．（2024春 开化县期中）已知关于，的二元一次方程，其部分值如下表所示，则的值是 ．
8
题型三 二元一次方程组的定义
12．（2024春 鹿城区校级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
13．（2024春 拱墅区校级期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
题型四 二元一次方程组的解
14．（2024春 上城区校级期中）关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
A． B． C． D．
15．（2024春 鄞州区期中）在解关于、的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是
A．， B．， C．， D．，
16．（2024春 奉化区校级期中）如果的解是整数，那么可能的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2024春 江干区校级期中）方程组的解为，则被遮住的两个数分别为
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
18．（2024春 滨江区校级期中）方程组的解，的值互为相反数，则的值是
A．12 B． C．8 D．2.5
19．（2024春 萧山区期中）方程组的解为，则方程组的解为
A． B． C． D．
20．（2024春 鄞州区期中）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2024春 浙江期中）请你写出一个二元一次方程组 ，使它的解为．
22．（2024春 温州期中）已知是二元一次方程组的解，则 ．
23．（2024春 鹿城区校级期中）关于，的方程组只有唯一的一组解，那么的取值为 ．
24．（2024春 鹿城区校级期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
25．（2024春 奉化区校级期中）已知，是二元一次方程组的解，则代数式的值为 ．
26．（2024春 路桥区期中）已知二元一次方程．
（1）写出此方程的所有正整数解
（2）若二元一次方程组存在，互为相反数的解，请在括号处补上一个方程，并求出此方程组的解．
题型五 解二元一次方程组
27．（2024春 温州期中）关于，的二元一次方程组的解为
A． B． C． D．
28．（2024春 浙江期中）已知方程组，则
A．26 B．13 C．39 D．20
29．（2024春 瑞安市校级期中）在解方程组的过程中，将①代入②可得
A． B． C． D．
30．（2024春 奉化区校级期中）如果和是同类项，则、的值是
A．， B．， C．， D．，
31．（2024春 江干区校级期中）若，则的平方根为 ．
32．（2024春 拱墅区校级期中）解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ．
33．（2024春 诸暨市期中）已知关于，的二元一次方程组是常数），若不论取什么实数，代数式是常数）的值始终不变，则 ．
34．（2024春 西湖区校级期中）关于，的方程组的解为，则① ．
②关于，的方程组的解为 ．
35．（2024春 鹿城区校级期中）解方程（组
（1）；
（2）．
36．（2024春 奉化区校级期中）解方程组：
（1）；
（2）．
37．（2024春 拱墅区校级期中）解方程组：
（1）．
（2）．
38．（2024春 滨江区校级期中）解二元一次方程方程组：
（1）；
（2）．
39．（2024春 镇海区校级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
题型六 由实际问题抽象出二元一次方程组
40．（2024春 上城区校级期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为
A． B． C． D．
41．（2024春 镇海区校级期中）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组
A． B．
C． D．
42．（2024春 鄞州区期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是
A． B．
C． D．
43．（2024春 鹿城区校级期中）如图，将9个不同的数填在的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是
A． B．
C． D．
44．（2024春 浙江期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为
A． B．
C． D．
题型七 二元一次方程组的应用
45．（2024春 拱墅区校级期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为 千米小时．
A．2 B．4.5 C．5 D．5.5
46．（2024春 拱墅区校级期中）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是
A． B． C． D．
47．（2024春 拱墅区校级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影，外，其余3块都是正方形，若阴影周长为8，下列说法中正确的是
①的值为4；②若阴影的周长为6，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
48．（2024春 海曙区期中）甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 岁．
49．（2024春 柯桥区期中）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：
购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用
第一次 5 5 900
第二次 6 7 1180
第三次 9 8 1064
（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？
（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
50．（2024春 江干区校级期中）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
（2）设计一种方案，使得安排艘小型船和艘大型船，恰好一次救援完，且每艘船都坐满．（写出一种方案即可）
51．（2024春 拱墅区校级期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
52．（2024春 鄞州区期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
53．（2024春 鹿城区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
有、两种卡纸，可用来做小旗子，若1张卡纸和1张卡纸共能做小旗子8面，2张卡纸和3张卡纸共能做小旗子19面．
（1）求、两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购、两种卡纸．卡纸每张4元，卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张卡纸，就赠送一张卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若、卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张、卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由卡纸制作 由卡纸制作
小旗子（面 小灯笼（个 小旗子（面 小灯笼（个
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
54．（2024春 东阳市期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则 ， ．
55．（2024春 鹿城区校级期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶．请结合以下素材，确定奶茶购买方案．
奶茶购买方案问题
素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品．原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元．
素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”．因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元．
素材3 商家推出两款优惠活动：
问题解决
任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价．
任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师拿到几杯“珍珠奶茶”？
任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为 元．（直接写出答案）
56．（2024春 吴兴区期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的2倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到地，两次运输（第一次：地食品厂，第二次：食品厂地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元（千米吨），铁路运费为1元（千米吨）．
（1）求该食品厂到地，地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
57．（2024春 浙江期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元公里 0.3元分钟 0.8元公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
（1）一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了公里，
他共用 元（用含的代数式表示）．
（2）甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程．
（3）丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）．
题型八 解三元一次方程组
58．（2024春 西湖区校级期中）实数，，满足，，则、之间具有哪个等量关系
A． B． C． D．
题型九 三元一次方程组的应用
59．（2024春 乐清市期中）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需 元．
A．16 B．60 C．30 D．66
60．（2024春 镇海区校级期中）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的50道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多10道，则三人一共做出了 道题．期中专项02 二元一次方程组（9大题型）
期中常考题型目录：
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题型一 二元一次方程的定义
题型二 二元一次方程的解
题型三 二元一次方程组的定义
题型四 二元一次方程组的解
题型五 解二元一次方程组
题型六 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型七 二元一次方程组的应用
题型八 解三元一次方程组
题型九 三元一次方程组的应用
期中常考题型精选：
题型一 二元一次方程的定义
1．（2024春 鄞州区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】、是三元一次方程，故错误；
、是二元二次方程，故错误；
、是分式方程，故错误；
、是二元一次方程，故正确；
故选．
2．（2024春 奉化区期中）下列各式中，是关于，的二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、是多项式，故不符合题意；
、是二元一次方程，故符合题意；
、是二元二次方程，故不符合题意；
、是分式方程，故不符合题意．
故选．
3．（2024春 拱墅区校级期中）如果是关于、的二元一次方程，那么
A． B． C． D．
【答案】
【解析】是关于、的二元一次方程，
，
解得，
故选．
4．（2024春 义乌市期中）是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】1．
【解析】是关于，的二元一次方程，
，，
解得，
故答案为：1．
题型二 二元一次方程的解
5．（2024春 萧山区期中）若是方程的一个解，则的值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【解析】把代入方程得：
，
．
故选．
6．（2024春 鹿城区校级期中）若是，的二元一次方程的解，则的值为
A． B． C．5 D．7
【答案】
【解析】把代入，得
，
解得．
故选．
7．（2024春 西湖区校级期中）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是
A．，异号
B．
C．
D．满足条件的数对有无数对
【答案】
【解析】将代入二元一次方程得：．
．
，
，异号．
选项不符合题意；
，
．
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
方程有无数组解，
满足条件的数对有无数对．
选项不符合题意．
错误的结论是：．
故选．
8．（2024春 南浔区期中）请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ．
【解析】，，
，
二元一次方程可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2024春 鹿城区校级期中）若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】2．
【解析】把代入，
得，
解得：．
故答案为：2．
10．（2024春 浦江县校级期中）若是方程的一个解，则
【答案】7．
【解析】把代入方程得：，
，
故答案为：7．
11．（2024春 开化县期中）已知关于，的二元一次方程，其部分值如下表所示，则的值是 ．
8
【答案】13．
【解析】由表格可得，
由②得，
即③，
把①代入③得，，
故答案为：13．
题型三 二元一次方程组的定义
12．（2024春 鹿城区校级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、该方程组中含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意；
、该方程组中的第一个方程最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意．
故选．
13．（2024春 拱墅区校级期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．该方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，故本选项不符合题意；
．该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
．该方程组中含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项不符合题意；
．该方程组中含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项不符合题意；
故选．
题型四 二元一次方程组的解
14．（2024春 上城区校级期中）关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解方程组得：，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
代入得：，
解得：，
故选．
15．（2024春 鄞州区期中）在解关于、的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】将，代入得，
解得：，
将，代入得，
解得：，
故选．
16．（2024春 奉化区校级期中）如果的解是整数，那么可能的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，
由①得：，
代入②得：，
则，
则，
即方程组的解是：，
则在1，2，3，4中只有3能使，的值是整数．
故选．
17．（2024春 江干区校级期中）方程组的解为，则被遮住的两个数分别为
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
【答案】
【解析】将代入得：，
解得：；
将，代入□得：□，
解得：□，
被遮住的两个数分别为5，1．
故选．
18．（2024春 滨江区校级期中）方程组的解，的值互为相反数，则的值是
A．12 B． C．8 D．2.5
【答案】
【解析】，的值互为相反数，
，
即，代入方程组得，
，
解得，
故选．
19．（2024春 萧山区期中）方程组的解为，则方程组的解为
A． B． C． D．
【解析】方程组的解为，
，即，
又方程组，
，
解得，
故选．
20．（2024春 鄞州区期中）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组①②得，
若，则，解得，故②正确；
，，
两方程相加得，
，
无论取何值，，的值不可能互为相反数，故③正确；
，
，都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选．
21．（2024春 浙江期中）请你写出一个二元一次方程组 ，使它的解为．
【解析】由已知，，
所以得：等（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
22．（2024春 温州期中）已知是二元一次方程组的解，则 ．
【答案】2．
【解析】，
①②得：
，
，
，
，
将代入①中得：，
解得：，
该方程组的解为：，
，，
，
故答案为：2．
23．（2024春 鹿城区校级期中）关于，的方程组只有唯一的一组解，那么的取值为 ．
【解析】关于，的方程组只有唯一的一组解，
，即，
把代入方程组得：，
解得：，
故答案为：
24．（2024春 鹿城区校级期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
【解析】，
②①，得，
把代入①得，
，
，
解得：．
故答案为：8．
25．（2024春 奉化区校级期中）已知，是二元一次方程组的解，则代数式的值为 ．
【解析】，，
．
故答案为：3．
26．（2024春 路桥区期中）已知二元一次方程．
（1）写出此方程的所有正整数解
（2）若二元一次方程组存在，互为相反数的解，请在括号处补上一个方程，并求出此方程组的解．
【解析】（1）当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
，
方程的正整数为：；
（2）方程组的解是互为相反数，
，
把代入得：
，
解得：，
，
，
括号处补的方程为：，
方程组为：，
①②得：，
把代入②得：，
方程组的解为：．
题型五 解二元一次方程组
27．（2024春 温州期中）关于，的二元一次方程组的解为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为，
故选．
28．（2024春 浙江期中）已知方程组，则
A．26 B．13 C．39 D．20
【答案】
【解析】，
①②，可得，
．
故选．
29．（2024春 瑞安市校级期中）在解方程组的过程中，将①代入②可得
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
将①代入②可得，即，
故选．
30．（2024春 奉化区校级期中）如果和是同类项，则、的值是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】和是同类项，
，
解得：．
故选．
31．（2024春 江干区校级期中）若，则的平方根为 ．
【解析】，
，
解得：，
，故9的平方根为：．
故答案为：．
32．（2024春 拱墅区校级期中）解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ．
【解析】用①②，得．
故答案为：．
33．（2024春 诸暨市期中）已知关于，的二元一次方程组是常数），若不论取什么实数，代数式是常数）的值始终不变，则 ．
【答案】．
【解析】是常数），
，
即，
，
故答案为：．
34．（2024春 西湖区校级期中）关于，的方程组的解为，则① ．
②关于，的方程组的解为 ．
【解析】①把代入方程组得：，
①②得：，
则；
②方程组整理得：，
仿照已知方程组得：，即，
故答案为：①；②
35．（2024春 鹿城区校级期中）解方程（组
（1）；
（2）．
【解析】（1），
把①代入②：，
解得：，
把代入①得：，
故方程组的解为：；
（2），
①得：③
③②得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
方程组的解为：．
36．（2024春 奉化区校级期中）解方程组：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
①得，③，
③②的，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以方程组的解为；
（2），
①得，③，
②③得，，
解得，
将代入①得，
解得，
所以方程组的解为．
37．（2024春 拱墅区校级期中）解方程组：
（1）．
（2）．
【解析】（1），
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为：；
（2）原方程组整理得，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解是．
38．（2024春 滨江区校级期中）解二元一次方程方程组：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2），
②①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
39．（2024春 镇海区校级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
由①②可得：，
解得：，
把代入①可得出：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2），
由①可得：，
把代入②可得出：，
解得：，
把代入，得：，
原方程组的解为：．
题型六 由实际问题抽象出二元一次方程组
40．（2024春 上城区校级期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为，那么方程组是．
故选．
41．（2024春 镇海区校级期中）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】根据题意，得．
故选．
42．（2024春 鄞州区期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意，得，
故选．
43．（2024春 鹿城区校级期中）如图，将9个不同的数填在的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设左下角数字为，右下角数字为，
每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，
，，
即，，
根据题意可列出方程组．
故选．
44．（2024春 浙江期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】元钱共买了10斤肉和3斤鱼
；
斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
．
根据题意可列出方程组．
故选．
题型七 二元一次方程组的应用
45．（2024春 拱墅区校级期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为 千米小时．
A．2 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】
【解析】设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
即甲的速度为4.5千米小时，乙的速度为5.5千米小时，
故选．
46．（2024春 拱墅区校级期中）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设桌子的高度为 ，木块截面（图中阴影部分）长比宽多 ，
依题意得：，
解得：，
桌子的高度为．
故选．
47．（2024春 拱墅区校级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影，外，其余3块都是正方形，若阴影周长为8，下列说法中正确的是
①的值为4；②若阴影的周长为6，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】
【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
阴影的周长为8，
，
，
即，故①正确；
阴影周长为6，
，
解得，
，
，
即正方形的面积为1，故②正确；
大长方形的面积为24，
，
，
，
，
假设三个正方形的周长为24，
，
，
（不成立），
若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故选．
48．（2024春 海曙区期中）甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 岁．
【解析】设甲现在岁，乙现在岁，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：23．
49．（2024春 柯桥区期中）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：
购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用
第一次 5 5 900
第二次 6 7 1180
第三次 9 8 1064
（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？
（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
【解析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，
依题意得：，
解得：，
答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元；
（2）设商场是打折出售这两种商品的，
依题意得：，
解得：，
答：商场是打7折出售这两种商品的．
50．（2024春 江干区校级期中）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
（2）设计一种方案，使得安排艘小型船和艘大型船，恰好一次救援完，且每艘船都坐满．（写出一种方案即可）
【解析】（1）设每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，由题意得
，
解得：，
答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
（2）由题意得：
，
整理得：，
，为非负整数且，
或，
有2种方案，分别为：
①安排28艘小型船和2艘大型船；
②安排20艘小型船和5艘大型船．
51．（2024春 拱墅区校级期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
【解析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是 ，凳面的高度是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是；
（2）根据题意得：
．
答：总高度是99.2厘米．
52．（2024春 鄞州区期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
【解析】（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
（元，
故答案为：1650；
（2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为，
打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元，
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
，或，
，
，，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
53．（2024春 鹿城区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
有、两种卡纸，可用来做小旗子，若1张卡纸和1张卡纸共能做小旗子8面，2张卡纸和3张卡纸共能做小旗子19面．
（1）求、两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购、两种卡纸．卡纸每张4元，卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张卡纸，就赠送一张卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若、卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张、卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由卡纸制作 由卡纸制作
小旗子（面 小灯笼（个 小旗子（面 小灯笼（个
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【解析】解；（1）设卡纸每张可做面小旗子，卡纸每张可做面小旗子，则，
，
解得，
卡纸每张可做5面小旗子，卡纸每张可做3面小旗子；
（2）①设购买卡纸张，卡纸张，则赠送了卡纸张，则．
，
，
，
，为正整数，
或，
卡纸每张4元，卡纸每张3元，
当时，则费用为（元，
当时，则费用为（元，
购买卡纸6张，卡纸4张，费用最低为36元；
②买一张卡纸，就赠送一张卡纸．
尽可能多买卡纸，
当购买卡纸16张，则赠送卡纸16张，
此时费用为，
设卡纸16张有张做小旗子，张做小灯笼，卡纸16张有张做小旗子，张做小灯笼，
，
解得：，
卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由卡纸制作 由卡纸制作
小旗子（面 小灯笼（个 小旗子（面 小灯笼（个
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
54．（2024春 东阳市期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则 ， ．
【解析】（1）设一盒水笔元，一包笔记本元，
由题意得：，
解得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
（2）设购买水笔盒，笔记本包，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
（3）由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，
方案①中，水笔为：（支，笔记本为：（本，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
方案②中，水笔为：（支，笔记本为：（本，
由题意得：，
解得：，符合题意；
方案③中，水笔为：（支，笔记本为：（本，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，，，
故答案为：18，62．
55．（2024春 鹿城区校级期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶．请结合以下素材，确定奶茶购买方案．
奶茶购买方案问题
素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品．原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元．
素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”．因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元．
素材3 商家推出两款优惠活动：
问题解决
任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价．
任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师拿到几杯“珍珠奶茶”？
任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为 元．（直接写出答案）
【解析】任务1：设“原味奶茶”的原价为元杯，“珍珠奶茶”的原价为元杯，
根据题意得：，
解得：．
答：“原味奶茶”的原价为10元杯，“珍珠奶茶”的原价为13元杯；
任务活动一中“珍珠奶茶”的售价为10.5元杯，活动二购买2杯“珍珠奶茶”和1杯“原味奶茶”的总价为21元，
两个活动相当于“珍珠奶茶”的售价为10.5元杯，“原味奶茶”的售价为0元杯，
陈老师购买“珍珠奶茶”的数量为（杯．
答：陈老师拿到40杯“珍珠奶茶”；
任务陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，
陈老师可先购买15套活动二的超值套餐，再按活动一的促销价购买5杯“珍珠奶茶”，
总价为（元，
最省钱采购方案的总价为367.5元．
故答案为：367.5．
56．（2024春 吴兴区期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的2倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到地，两次运输（第一次：地食品厂，第二次：食品厂地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元（千米吨），铁路运费为1元（千米吨）．
（1）求该食品厂到地，地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
【解析】（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
，，
答：这家食品厂到地的铁路距离是30千米，到地的铁路距离是70千米．
（2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨，
（3）设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是10000元．
57．（2024春 浙江期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元公里 0.3元分钟 0.8元公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
（1）一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了公里，
他共用 元（用含的代数式表示）．
（2）甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程．
（3）丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）．
【解析】（1）（元．
答：他共用元．
故答案为：；
（2）设乙的乘车时长为分钟，实际里程为公理，
根据题意得，，
解得，
答：乙的乘车时长为10分钟，实际里程为3公理；
（3）设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为分、分，丙行车里程为公里，则丁行车里程为公里，
由题意得：，
解得，
同理，双方都没有远途费的情况下，时差是9，
故答案为：13或9．
题型八 解三元一次方程组
58．（2024春 西湖区校级期中）实数，，满足，，则、之间具有哪个等量关系
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
①②得，．
故选．
题型九 三元一次方程组的应用
59．（2024春 乐清市期中）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需 元．
A．16 B．60 C．30 D．66
【答案】
【解析】设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
由①②得：，
，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元，
故选．
60．（2024春 镇海区校级期中）蛟蛟、川川、书书一起参加数学竞赛，每人都解出了其中的50道题，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多10道，则三人一共做出了 道题．
【答案】80．
【解析】设三人做出的题目中难题有道，中档题有道，容易题有道，
根据题意得：，
①②得：，
，
三人一共做出了80道题．
故答案为：80．
