期中专项01 相交线与平行线（13大题型）
期中常考题型目录：
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题型一 对顶角、邻补角
题型二 垂线
题型三 垂线段最短
题型四 同位角、内错角、同旁内角
题型五 平行线
题型六 平行公理及推论
题型七 平行线的判定
题型八 平行线的性质
题型九 平行线的判定与性质
题型十 生活中的平移现象
题型十一 作图-平移变换
题型十二 利用平移设计图案
题型十三 平移的性质
期中常考题型精选：
题型一 对顶角、邻补角
1．（2024春 临海市校级期中）如图，直线，相交于点，如果，那么等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
又，
，
，
故选．
题型二 垂线
2．（2024春 西湖区校级期中）在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
【解析】，，
，
．
故答案为：平行．
3．（2024春 奉化区校级期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．
【答案】．
【解析】延长交于点，延长交于，如图，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，
，
，
解得．
故答案为：．
题型三 垂线段最短
4．（2024春 临海市期中）如图，是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点，小球从到从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是
A．从大变小 B．从小变大
C．从小变大再变小 D．从大变小再变大
【答案】
【解析】根据题意可知：小球在以点为圆心，以长为半径的圆弧上运动，
如图：过点作与点，交弧于点，
，，
，
即，
故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，
故选．
5．（2024春 临海市校级期中）如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短路径，过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是 ．
【答案】垂线段最短．
【解析】从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
过点作于点，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
6．（2024春 路桥区期中）如图，从人行横道线上的点处过马路，沿线路行走距离最短，其依据的几何学原理是 ．
【答案】垂线段最短．
【解析】因为，垂足为点，
所以沿线路行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
题型四 同位角、内错角、同旁内角
7．（2024春 温州期中）如图，的内错角是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】的内错角是，
故选．
8．（2024春 鹿城区校级期中）如图，与是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】
【解析】根据图象，与是两直线被第三条直线所截得到的两角，且在被截直线的上方，在截线的同一侧，因而与是同位角，
故选．
9．（2024春 瑞安市校级期中）如图，与是一对
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】
【解析】观察图形可知：和是一对同位角，
故选．
10．（2024春 西湖区校级期中）下列图中，不是同位角的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，是同位角，故不符合题意．
．由图可知，，不是同位角，故符合题意．
故选．
11．（2024春 江干区校级期中）如图，若直线，被直线所截，则的同旁内角是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，的同旁内角是．
故选．
12．（2024春 浦江县校级期中）如图，，之间的位置关系是
A．互为同位角 B．互为内错角 C．互为同旁内角 D．互为对顶角
【答案】
【解析】，之间的位置关系是互为同旁内角．
故选．
13．（2024春 瑞安市期中）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是
A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
【答案】
【解析】角在被截线的内部，又在截线的两侧，符合内错角的定义，
故选．
14．（2024春 西湖区校级期中）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中的同位角是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、与是同旁内角，故不符合题意；
、与是同位角，故符合题意；
、与不是同位角，故不符合题意；
、与是内错角，故不符合题意．
故选．
15．（2024春 鹿城区校级期中）如图，直线，被所截，则与是
A．对顶角 B．同旁内角 C．同位角 D．内错角
【答案】
【解析】如图，直线，被所截，则与是同位角．
故选．
16．（2024春 拱墅区校级期中）如图，直线，被直线所截，下列说法中不正确的是
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
【答案】
【解析】、与是对顶角，故原题说法正确；
、与是同位角，故原题说法正确；
、与是同旁内角，故原题说法错误；
、与是内错角，故原题说法正确；
故选．
17．（2024春 上城区校级期中）如图，下列说法错误的是
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角
【答案】
【解析】、与是内错角，故此选项不符合题意；
、与是同位角，故此选项不符合题意；
、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
、与是同旁内角，故此选项符合题意；
故选．
18．（2024春 奉化区期中）如图所示，下列说法中错误的是
A．与是内错角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】
【解析】．与是内错角，不符合题意；
．与不是内错角，符合题意；
．与是同旁内角，不符合题意；
．与是同位角，不符合题意；
故选．
19．（2024春 西湖区校级期中）如图，下列说法错误的是
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【解析】与是同位角，正确；
与是内错角，正确；
与是同旁内角，正确；
与不是同旁内角，不正确．
故选．
20．（2024春 鄞州区期中）如图，若，则的同位角等于 度，的内错角等于 度，的同旁内角等于 度．
【解析】，
的同位角，
的内错角，
的同旁内角．
故答案为：；；．
题型五 平行线
21．（2024春 临海市校级期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【答案】
【解析】在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选．
题型六 平行公理及推论
22．（2024春 上城区校级期中）下列说法中正确的是
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．如果直线与相交，与相交，那么与相交
【答案】
【解析】．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项符合题意；
．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故本选项不符合题意；
．如果直线与相交，与相交，那么与相交或者与平行，故本选项不符合题意．
故选．
23．（2024春 上城区校级期中）下列说法正确的有
①同位角相等； ②两点之间的所有连线中，线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段；
⑤已知同一平面内，，则．
A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤
【解析】①同位角不一定相等，故①错误；
②两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
④两点之间的距离是两点间的线段的长度，错误；
⑤已知同一平面内，，则或，错误．
故选．
题型七 平行线的判定
24．（2024春 宁海县期中）如图，下列条件中不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，
，
因为“同旁内角互补，两直线平行”，
所以本选项不能判断，符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
、，
，
故本选项能判定，不符合题意．
故选．
25．（2024春 南浔区期中）如图，下列选项中，不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，故不符合题意；
，
，故不符合题意；
，故不符合题意；
，且，是同旁内角，
不能判定，故符合题意；
故选．
26．（2024春 费县期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．根据内错角相等，两直线平行即可证得；
．根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
．根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，不能证．
故选．
27．（2024春 临海市期中）如图，下列不能判定的条件是
A． B． C． D．
【解析】．，由同位角相等，两直线平行，可判断；
．，不能判断；
．由内错角相等，两直线平行，可判断；
．，由同旁内角互补，两直线平行，可判断；
故选．
28．（2024春 鄞州区校级期中）如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是
A．由，可以推出
B．由，可以推出
C．由，可以推出
D．由是的余角，、分别平分和，可以推出
【答案】
【解析】由，可以推出（内错角相等，两直线平行），故错误；
由，可以推出（内错角相等，两直线平行），故错误；
由，可以推出（同旁内角互补，两直线平行），故错误；
由是的余角，可知，由、分别平分和可得，则，可以推出故正确；
故选．
29．（2024春 上城区校级期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【答案】
【解析】①，；
②，，，；
③，；
④，．
故选．
30．（2024春 拱墅区校级期中）如图，直线，被直线，所截，则下列条件可以判定直线的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，不能判定，
故不符合题意；
，，
，
，
故不符合题意；
，
，
故符合题意；
，
，
故不符合题意；
故选．
31．（2024春 鹿城区校级期中）如图，下列条件①；②；③；④中，一定能判断的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】
【解析】①，由同位角相等，两直线平行判定，故①符合题意；
②和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故②不符合题意；
③由，；推出，判定，故③符合题意；
④和不是同旁内角，不能判定，故④不符合题意．
一定能判定的是①③．
故选．
32．（2024春 路桥区期中）如图，下列条件中能判断的是
①
②
③
④
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
【答案】
【解析】①与是同位角，可判定，故①正确，
②与是内错角，能判断，故②错误，
③与是内错角，可判定，故③错误，
④与是同旁内角，且，可判定，故④正确．
故选．
33．（2024春 拱墅区校级期中）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】
【解析】在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选．
34．（2024春 西湖区校级期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
、，
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
故选．
35．（2024春 上城区校级期中）下列结论错误的是
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】
【解析】．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项正确；
．两直线平行，同旁内角互补，故本选项正确；
．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平，故本选项错误；
．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项正确；
故选．
36．（2024春 鹿城区校级期中）如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】需要添加的条件是，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
37．（2024春 余姚市期中）如图，下列条件中，不能判别的是 ．
①；
②；
③；
④．
【答案】①②．
【解析】，
，
故①符合题意；
，
，
故②符合题意；
，
，
故③不符合题意；
，
，
故④不符合题意；
故答案为：①②．
38．（2024春 浦江县校级期中）如图所示，请你添加一个条件，使得， ．
【解析】，
理由是：，
，
故答案为：．
39．（2024春 萧山区期中）如图把三角板的直角顶点放在直线上，若，则当 度时，．
【答案】52．
【解析】当时，，理由如下：
如图所示：
，
，
当时，，
；
故答案为：52．
40．（2024春 临海市校级期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点转动，当点在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺的一边平行．则可能符合条件的度数为 ．
【答案】、 和．
【解析】由题意可知，点在直线的下方，如图所示，当时，
；如图所示，，
；
如图所示，，
，
故答案为：、 和．
41．（2024春 宁波期中）如图，已知，，可推得．请说明理由．
【解析】证明：如图，，，
，
，
，
，
，
．
42．（2024春 镇海区校级期中）已知：如图，，，判断．
下面是嘉琪同学的解题过程，请在括号中注明依据，在横线上补全步骤．
解： ，
，
（等量代换）．
又（已知），
，
．
【解析】（已知），
（对顶角相等），
（等量代换）．
又（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知；对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行．
题型八 平行线的性质
43．（2024春 鹿城区校级期中）如图，，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，
故选．
44．（2024春 浙江期中）如图，已知，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、由，推出，故符合题意；
、由，推出，由，得不到，故不符合题意；
、和不是同位角，也不是内错角，由，得不到，故不符合题意；
、和不是同位角，也不是内错角，由，得不到，故不符合题意．
故选．
45．（2024春 杭州期中）如图，，若，则等于
A． B． C． D．
【解析】，，
．
故选．
46．（2024春 滨江区校级期中）如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的大小为
A． B． C． D．
【解析】，
，
直尺的两边互相平行，
．
故选．
47．（2024春 浦江县校级期中）数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画如图所示，已知，，且，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作，则，
，
，
，
又，，
，，
．
故选．
48．（2024春 瑞安市校级期中）如图，一副三角板放置在两条平行线，之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选．
49．（2024春 余姚市校级期中）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
故选．
50．（2024春 鹿城区校级期中）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选．
51．（2024春 义乌市校级期中）如图，已知，于点，，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，过点作，过点作，
，，
，
，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选．
52．（2024春 宁海县期中）如图，，交于点，平分，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
平分，
，
，
．
故选．
53．（2024春 镇海区校级期中）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：
，
，
，
，
，
，
故选．
54．（2024春 浙江期中）把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
故选．
55．（2024春 金华期中）如图，将一副三角板如图放置，使点在上，．则的度数为
A． B． C． D．
【解析】，
，
，
故选．
56．（2024春 义乌市期中）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：，，
，
，
．
故选．
57．（2024春 西湖区校级期中）如图，，交于点，连接，若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
故选．
58．（2024春 江干区校级期中）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
，
，
．
故选．
59．（2024春 滨江区校级期中）如图，平分，，若，则度数是
A． B． C． D．
【解析】平分，，
，
，
．
故选．
60．（2024春 镇海区校级期中）若的两边与的两边分别平行，且，那么的度数为
A． B． C．或 D．或
【解析】作图如下：
（1）如图，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，
，
，
，
，
，
故选．
61．（2024春 慈溪市期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
【答案】
【解析】平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
62．（2024春 瑞安市校级期中）如图，，、分别平分、，、分别平分、，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】过作，
，
，
，，，
，
，
、分别平分、，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
．
故答案为：．
63．（2024春 余姚市校级期中）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：平分，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
，
．
64．（2024春 萧山区期中）（1）【问题】
如图1，若，，．求的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
【解析】（1）如图1，过点作，
，，
．
，
又，
，
；
（2），
理由：如图2，过点作，则，
，
，
，
，
，
，即；
（3）如图3，过点作的平行线．
，，
，
，，
又的平分线和的平分线交于点，
，，
同（1）易得，，
，
．
65．（2024春 拱墅区校级期中）【感知】（1）如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为 110 度；（直接写出答案）
【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点在线段上；
②点在射线上．
【解析】（1）过点作，
，
，
，，
，，
，，
．
故答案为：110．
（2），
理由：如图2，过作交于，
，
，
，，
；
（3）如图所示，当点在射线上时，
；
如图所示，当点在线段上时，
．
题型九 平行线的判定与性质
66．（2024春 余姚市期中）下列结论正确的是
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】
【解析】在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故错误，不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补，故错误，不符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误，不符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故正确，符合题意；
故选．
67．（2024春 西湖区校级期中）下列说法中正确的个数有
（1）在同一平面内，不相交的两条直线平行；（2）垂直于同一直线的两直线平行；（3）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】（1）在同一平面内，不相交的两条直线平行，正确；
（2）垂直于同一直线的两直线平行，不正确；应该是同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行．
（3）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等；不正确．应该是两条平行线被第三条直线所截，所得到同位角相等；
（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行，正确．
所以有（1）、（4）正确．
故选．
68．（2024春 江干区校级期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】
【解析】如图，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
，
，
，
平分，
故③正确，符合题意；
，，
，
故④正确，符合题意；
故选．
69．（2024春 上城区校级期中）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作，如图：
，
，
，
，，
，
，
．
故选．
70．（2024春 拱墅区校级期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面1平行，，，当为 度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
【答案】
【解析】，都与地面平行，
，
，
，
，，
，
当时，．
故选．
71．（2024春 拱墅区校级期中）小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺，将另一块三角尺，绕公共顶点按顺时针方向旋转．旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺旋转的度数可能是 ．
【答案】或或或．
【解析】设旋转的度数为，
若，则，
，
，
若，则，
，
若，则，
，
当点，点，点共线时，
，
，
，
故答案为：或或或．
72．（2024春 鹿城区校级期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则 ．
【答案】．
【解析】，
，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
73．（2024春 瑞安市校级期中）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
74．（2024春 鄞州区校级期中）如图，，，分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行．
【答案】36或108．
【解析】设射线从开始绕点按顺时针方向旋转 时，射线与射线互相平行．
分四种情况：
①如图，当时，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当时，，，
，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得，此时，
（舍去）；
③如图，当时，，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得（舍去）；
④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置：
，
，
即，
，
解得：，
综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或．
故答案为：36或108．
75．（2024春 下城区校级期中）已知如图，，，，试判断与的位置关系，并说明理由．
【解析】与的位置关系是：．
理由：，
，
；
又，
，
；
，
．
76．（2024春 拱墅区校级期中）已知：如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，
且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）证明：，
（两直线平行，内错角相等），
又，
，
（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：，
，
又，
．
77．（2024春 临海市校级期中）完成下面的证明．
如图，已知，，垂足分别为、，．
求证：．
解：，（已知），
．
．
．
又（已知），
．
．
．
【解析】，（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
．（两直线平行，同位角相等），
故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③；④两直线平行，同旁内角互补；⑤同角的补角相等；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，同位角相等．
78．（2024春 西湖区校级期中）已知：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，；
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）设，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
又，
．
79．（2024春 浙江期中）如图，平分，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，，求的度数．
【解析】（1），理由如下：
平分，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
80．（2024春 鄞州区校级期中）如图，点，在直线上，，．
（1）求证：．
（2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数．
【解析】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，
即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
81．（2024春 镇海区校级期中）如图，，．
（1）判断与平行吗？请说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【解析】（1）结论：．
理由：，
，
又，
，
；
（2）平分，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
．
82．（2024春 鹿城区校级期中）已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点，若，则 ．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：如图2，过点作，
，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
（3）解：，
，即，
，
，
，，
又和是角平分线，
，
，
又，
．
故答案为：．
83．（2024春 上城区校级期中）已知，直线分别与直线，相交于点，，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线，之间且在直线左侧，连接，
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
【解析】（1）证明：，，
，
．
（2）解：，
，
即，
，
，
，，
．
（3）解：，理由如下，
由（2）得，，
，
，
、分别平分和，
，
，
，
，
，
，
．
84．（2024春 浦江县校级期中）（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，，请判断光线是否平行于光线？说明理由．
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角
（3）如图3，直线上有两点、分别引两条射线、，，，射线、分别绕点、点以和的速度同时顺时针转动．设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．
【解析】（1）平行．理由如下：
如图，
，
，
，
，
．
（2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
，
入射光线与水平线的夹角为，垂直照射到井底，
，
，
与水平线的夹角为：．
（3）解：存在，分三种情况讨论：
如图①，与在的两侧时，
，，
，，
要使，
则，
，
解得（舍去）；
如图②，旋转到都在的右侧时，
，，，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
如图③，旋转到都在的左侧时，
，，
；
；
要使，则，
即；
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，为40秒时，与平行．
85．（2024春 西湖区校级期中）已知，如图1，射线分别与直线、相交于、两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．
（1） ， ；直线与的位置关系是 ；
（2）如图2若点在点的左侧，点是射线上一点，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图，分别与、相交于点和时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【解析】（1），
又，
，，
，，
平分，，
，
，，，
，
，
故答案为：；；；
（2）与之间的数量关系是：，证明如下：
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
（3）在旋转的过程中的值不发生变化，始终等于2，理由如下：
过点作，过点作，如图3所示：
平分，
设，
，
，
由（1）可知：，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
．
86．（2024春 杭州期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，．保持三角板不动，老师将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】①，，，，
，，
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
②当、分别在外部时，如图示：
，
；
当点在外部，点在内部，如图示：
，
，
，
综上：不存在；或．
③当点在直线上方时，如图示：
，
，
；
当点在直线下方时，如图示：
，
，
旋转了
，
综上：存在，或．
87．（2024春 上城区校级期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）当为 度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值．
【解析】（1）当时，，
图形如下：
故答案为15；
（2）设：，，
①如图，当时，
，，
故；
②当时，
同理可得：，
③当时，
同理可得：；
（3）①当时，，；
②当时，，；
③当时，，；
④当时，，；
⑤当时，，；
综上，或9或21或27或30．
88．（2024春 拱墅区校级期中）如图，已知，．
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，连接，若点，在线段上，且满足平分，平分，，求的度数；
（3）下列①③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含的代数式表示）
【解析】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
平分，
，
平分，
，
．
（3）解：①，
，
平分，
，
平分，
，
．
②，
，
平分，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
．
③，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
89．（2024春 杭州期中）如图1，已知点，分别是直线，上的点，，且．
（1）的度数为 ．
（2）如图2，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转．
①当，是否存在，使得？请说明理由．
②如图3，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数．
③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【解析】（1）解：，且，
，
故答案为：；
（2）解：①不存在，使得，理由如下：
由题意可得，，
，
，
，
，
要使，
，即，
解得，
，
不存在，使得；
②过点作，
，，
，
，，
，
，，
；
③，保持不变，理由如下：
，
，
，
，
．
90．（2024春 拱墅区校级期中）如图1，直线与直线，分别交于，两点，点在直线上，射平分交直线于点，．
（1）求证：．
（2）如图2，射线交直线于点，交线段于点，且．
①若，求的度数．
②点在射线上，满足，连接，请画出图形，直接写出与满足的等量关系（无需说明理由）．
【解析】（1）证明：如图1，
平分，
，
又，
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，，
；
②或，理由如下：
如图3，直线交于点，
，
，
又，
，
，
；
如图4，直线交于点，
，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
即，
，
，
，
．
综上所述，与满足的等量关系为或．
题型十 生活中的平移现象
91．（2024春 鹿城区校级期中）下列生活中的运动，属于平移的是
A．电梯的升降
B．夏天电风扇中运动的扇叶
C．汽车挡风玻璃上运动的刮雨器
D．跳绳时摇动的绳子
【答案】
【解析】电梯的升降的运动属于平移，运动的刮雨器、摇动的绳子和吊扇在空中运动属于旋转；
故选．
92．（2024春 上城区校级期中）下列生活现象中，属于平移的是
A．足球在草地上滚动
B．拉开抽屉
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上
D．钟摆的摆动
【答案】
【解析】．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移
．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移；
．投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移；
．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移；
故选．
93．（2024春 杭州期中）同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误
、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．
故选．
94．（2024春 拱墅区校级期中）如图所示，在图形到图形的变化过程中，下列描述正确的是
A．向上平移2个单位，向左平移4个单位
B．向上平移1个单位，向左平移4个单位
C．向上平移2个单位，向左平移5个单位
D．向上平移1个单位，向左平移5个单位
【答案】
【解析】观察图形可得：将图形向下平移1个单位，再向右平移4个单位或先向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到图形．只有符合．
故选．
95．（2024春 义乌市期中）金义东城际铁路工程由金华—义乌线和义乌—东阳（横店）线两条线路组成，全长约103.86公里，设站29座，采用的是型车，型车在轨道上的运行可以看作是
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
【答案】
【解析】型车在轨道上的运行可以看作是平移．
故选．
96．（2024春 临海市校级期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长50米，宽25米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为
A．96米 B．98米 C．99米 D．100米
【答案】
【解析】由题意得：
（米，
从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为98米．
故选．
97．（2024春 鄞州区期中）如图所示的是一块矩形的场地，，，从，两地入口的路宽都为，两小路汇合处的路宽为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．
【解析】由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：，宽为．所以草坪的面积应该是长宽．
故选5000．
98．（2024春 拱墅区校级期中）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积为 ．
【答案】．
【解析】产生的裂缝的面积新长方形的面积．
故答案为：．
题型十一 作图-平移变换
99．（2024春 浙江期中）如图，在的正方形方格纸中有一格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），是方格纸中一格点．
（1）将三角形平移后得到三角形，使点的对应点为，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形是由三角形先向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到．
【解析】（1）如图，三角形即为所求．
（2）三角形是由三角形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到．
故答案为：右；3；2．
100．（2024春 瑞安市校级期中）如图，在的网格中，已知△的顶点均在格点上，请按要求在图1和图2的网格内画图（图1，图2在答题纸上）．
（1）在图1中画出△平移后的△，使得，且，，的对应点，，均在格点上．
（2）在图2中找一格点，使．
【解析】（1）如图1，△即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点，
则点即为所求．
101．（2024春 镇海区校级期中）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到△．
（1）画出△；
（2）图中与的关系为 ；
（3）平移过程中，扫过的面积是 ．
【解析】（1）将，，三点水平向右平移4个单位得到，，在依次连接即可得到△，如图：
（2），．
故答案为：，．
（3）扫过的面积，
故答案为：42．
102．（2024春 西湖区校级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）的面积为 ；
（2）按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
①在图1中，将平移，得到△，请画一个△与无重合部分．
②在图2中，线段与相交，产生，请画一个，使得中的一个角等于．
【解析】（1），
故答案为：2.5；
（2）①如图1，△为所作；
②如图2，为所作．
，
，
即为所求．
103．（2024春 东阳市期中）如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到△．请画出△；
（2）的面积为 ．
（3）在图中找一个格点，使．
【解析】（1）如图，△即为所求；
（2）的面积；
故答案为：6；
（3）如图，点即为所求．
104．（2024春 嘉善县校级期中）如图，在方格纸中，每个小格均为边长是1的正方形，的位置如图所示，请按照要求完成下列各题：
（1）将向右平移4格，向下平移2格后，得到△，请画出所得的△（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）；
（2）连结，判断，的位置关系，并求出四边形的面积．
【解析】（1）如图，△即为所求；
（2）．
四边形的面积．
105．（2024春 路桥区期中）如图1，线段，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，使得．
（1）请说明的理由．
（2）若，将线段沿着直线平移得到线段，，的对应点分别为，，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则的度数 或 ．（直接写出答案）
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：①如图，
过点作，则，
，，
，
，
，
②如图，当点在线段上时，
过点作交于点，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
如图，当点在线段的延长线上时，过点作交于点，
，
，
，
，即即，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
题型十二 利用平移设计图案
106．（2024春 镇海区校级期中）如图为尚志中学的校徽图，展现出书籍与跑道的形象，体现了学校推崇阅读与运动的教育理念．以下四幅图中，能由校徽图经过平移得到的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置，
能由校徽图经过平移得到的是，
故选．
107．（2024春 浙江期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），
符合条件的只有．
故选．
108．（2024春 嘉善县校级期中）下列学校校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、是一个对称图形，不能由平移得到，故不符合题意；
、是一个图形，不能由平移得到，故不符合题意；
、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故符合题意；
、图案自身的一部分经轴对称而得到，故不符合题意．
故选．
109．（2024春 宣恩县期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故符合题意；
、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；
、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意；
、能通过其中一个四边形平移得到，故不符合题意．
故选．
题型十三 平移的性质
110．（2024春 开化县期中）如图，将△沿射线平移得到△，则下列线段的长度中表示平移距离的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】△沿射线平移得到△，
点与点是对应点，点与点是对应点，
线段、可表示平移距离，
故选．
111．（2024春 临海市期中）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】△的面积为：，
矩形的面积：，
阴影部分的面积为，
故答案为：14．
故选．
112．（2024春 鹿城区校级期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【解析】由题意，空白部分是矩形，长为，宽为，
阴影部分的面积，
故答案为：18．
113．（2024春 苍南县期中）某公园为方便行人观赏花木，拟在一块方形绿化带中修建如图所示的小路，若绿化带周长为，且路宽忽略不计，则小路总长为 ．
【答案】150．
【解析】如图，把小路平移，
绿化带周长为，
小路的长为．
故答案为：150．
114．（2024春 绍兴期中）如图，，直线与，相交于点，，，点是上一点，且平分，过点作，交于点，将沿射线方向平移，点落在点’处，若’ ’，则’的度数为 ．
【答案】或．
【解析】，，
，
平分，
，
．
，
．
当点在上时，如图所示，
，
，
．
当点在延长线上时，如图所示，
，
，
则，
．
综上所述，的度数为：或．
故答案为：或．
115．（2024春 鹿城区校级期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，．将一个含角的直角三角板按如图放置，使点，分别在直线，上，，，．若的平分线交直线于点．
（1）当，时，则 ．
（2）将三角板保持并向左平移，则在平移的过程中 ．（用含的式子表示）
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】（1），，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）点在的右侧时，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
116．（2024春 海曙区期中）已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．完成下列问题：
（1）当秒时， 平方厘米；
（2）当时，小正方形平移的时间为 秒．
【解析】（1）时，重叠部分长方形的宽，
所以，；
（2）当时，重叠部分长方形的宽，
重叠部分在大正方形的左边时，秒，
重叠部分在大正方形的右边时，秒，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒．
故答案为：（1）3；（2）1或5．
117．（2024春 上城区校级期中）如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．
（1）补全△；
（2）这个平移过程可以看作先向 平移 个单位，再向 平移 个单位；
（3）求线段平移过程中扫过的面积．
【解析】（1）△如图所示，
（2）由（1）中所画图形可知，
将先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度可得△．
故答案为：左，5，下，2．
（3）连接和，
则线段扫过的面积，
所以线段平移过程中扫过的面积为22．
118．（2024春 瑞安市期中）已知：如图，中，，．在直线的下
方，且，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）沿直线平移线段至，连结，若直线，求的度数．
【解析】（1），理由：
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）直线平移线段至，
，
，
，
，直线，
，
，
，
．
119．（2024春 奉化区校级期中）如图，已知，点在直线，之间．
（1）求证：；
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图2，若，平分，求的度数；
②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【解析】（1）如图1，过点作直线，
，
，
，，
；
（2）平分，
，
①平分，设，
又，
，
又，，
，
如图2，过点作，
易证；
②设，，
平分，
，
由（1）知，
如图3，过点作，
易证，
即，，
．（或．
120．（2024春 余姚市期中）如图，已知为两条互相平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于，．
（1）求证：．
（2）连接，当，时，求的度数．
（3）若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，，分别对应，，当—时，求的度数．
【解析】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：，
设，则，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，
，
，
，
，
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
，，
，
，
，
线段沿直线方向平移得到线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
．期中专项01 相交线与平行线（13大题型）
期中常考题型目录：
中小学教育资源及组卷应用平台
题型一 对顶角、邻补角
题型二 垂线
题型三 垂线段最短
题型四 同位角、内错角、同旁内角
题型五 平行线
题型六 平行公理及推论
题型七 平行线的判定
题型八 平行线的性质
题型九 平行线的判定与性质
题型十 生活中的平移现象
题型十一 作图-平移变换
题型十二 利用平移设计图案
题型十三 平移的性质
期中常考题型精选：
题型一 对顶角、邻补角
1．（2024春 临海市校级期中）如图，直线，相交于点，如果，那么等于
A． B． C． D．
题型二 垂线
2．（2024春 西湖区校级期中）在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
3．（2024春 奉化区校级期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置（如图2中虚线所示），此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ．
题型三 垂线段最短
4．（2024春 临海市期中）如图，是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点，小球从到从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是
A．从大变小 B．从小变大
C．从小变大再变小 D．从大变小再变大
5．（2024春 临海市校级期中）如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短路径，过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是 ．
6．（2024春 路桥区期中）如图，从人行横道线上的点处过马路，沿线路行走距离最短，其依据的几何学原理是 ．
题型四 同位角、内错角、同旁内角
7．（2024春 温州期中）如图，的内错角是
A． B． C． D．
8．（2024春 鹿城区校级期中）如图，与是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
9．（2024春 瑞安市校级期中）如图，与是一对
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
10．（2024春 西湖区校级期中）下列图中，不是同位角的是
A． B．
C． D．
11．（2024春 江干区校级期中）如图，若直线，被直线所截，则的同旁内角是
A． B． C． D．
12．（2024春 浦江县校级期中）如图，，之间的位置关系是
A．互为同位角 B．互为内错角 C．互为同旁内角 D．互为对顶角
13．（2024春 瑞安市期中）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是
A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
14．（2024春 西湖区校级期中）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中的同位角是
A． B． C． D．
15．（2024春 鹿城区校级期中）如图，直线，被所截，则与是
A．对顶角 B．同旁内角 C．同位角 D．内错角
16．（2024春 拱墅区校级期中）如图，直线，被直线所截，下列说法中不正确的是
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
17．（2024春 上城区校级期中）如图，下列说法错误的是
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角
18．（2024春 奉化区期中）如图所示，下列说法中错误的是
A．与是内错角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
19．（2024春 西湖区校级期中）如图，下列说法错误的是
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
20．（2024春 鄞州区期中）如图，若，则的同位角等于 度，的内错角等于 度，的同旁内角等于 度．
题型五 平行线
21．（2024春 临海市校级期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
题型六 平行公理及推论
22．（2024春 上城区校级期中）下列说法中正确的是
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．如果直线与相交，与相交，那么与相交
23．（2024春 上城区校级期中）下列说法正确的有
①同位角相等； ②两点之间的所有连线中，线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段；
⑤已知同一平面内，，则．
A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤
题型七 平行线的判定
24．（2024春 宁海县期中）如图，下列条件中不能判定的是
A． B． C． D．
25．（2024春 南浔区期中）如图，下列选项中，不能判定的是
A． B． C． D．
26．（2024春 费县期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是
A． B． C． D．
27．（2024春 临海市期中）如图，下列不能判定的条件是
A． B． C． D．
28．（2024春 鄞州区校级期中）如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是
A．由，可以推出
B．由，可以推出
C．由，可以推出
D．由是的余角，、分别平分和，可以推出
29．（2024春 上城区校级期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
30．（2024春 拱墅区校级期中）如图，直线，被直线，所截，则下列条件可以判定直线的是
A． B． C． D．
31．（2024春 鹿城区校级期中）如图，下列条件①；②；③；④中，一定能判断的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
32．（2024春 路桥区期中）如图，下列条件中能判断的是
①
②
③
④
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
33．（2024春 拱墅区校级期中）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
34．（2024春 西湖区校级期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定的是
A． B．
C． D．
35．（2024春 上城区校级期中）下列结论错误的是
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
36．（2024春 鹿城区校级期中）如图，要使，只需添加一个条件，这个条件是 ．
37．（2024春 余姚市期中）如图，下列条件中，不能判别的是 ．
①；
②；
③；
④．
38．（2024春 浦江县校级期中）如图所示，请你添加一个条件，使得， ．
39．（2024春 萧山区期中）如图把三角板的直角顶点放在直线上，若，则当 度时，．
40．（2024春 临海市校级期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点转动，当点在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺的一边平行．则可能符合条件的度数为 ．
41．（2024春 宁波期中）如图，已知，，可推得．请说明理由．
42．（2024春 镇海区校级期中）已知：如图，，，判断．
下面是嘉琪同学的解题过程，请在括号中注明依据，在横线上补全步骤．
解： ，
，
（等量代换）．
又（已知），
，
．
题型八 平行线的性质
43．（2024春 鹿城区校级期中）如图，，若，则的度数是
A． B． C． D．
44．（2024春 浙江期中）如图，已知，则
A． B． C． D．
45．（2024春 杭州期中）如图，，若，则等于
A． B． C． D．
46．（2024春 滨江区校级期中）如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的大小为
A． B． C． D．
47．（2024春 浦江县校级期中）数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画如图所示，已知，，且，则
A． B． C． D．
48．（2024春 瑞安市校级期中）如图，一副三角板放置在两条平行线，之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为
A． B． C． D．
49．（2024春 余姚市校级期中）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为
A． B． C． D．
50．（2024春 鹿城区校级期中）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为
A． B． C． D．
51．（2024春 义乌市校级期中）如图，已知，于点，，，则的度数是
A． B． C． D．
52．（2024春 宁海县期中）如图，，交于点，平分，，则的度数为
A． B． C． D．
53．（2024春 镇海区校级期中）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
54．（2024春 浙江期中）把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
55．（2024春 金华期中）如图，将一副三角板如图放置，使点在上，．则的度数为
A． B． C． D．
56．（2024春 义乌市期中）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为
A． B． C． D．
57．（2024春 西湖区校级期中）如图，，交于点，连接，若，，则的度数为
A． B． C． D．
58．（2024春 江干区校级期中）已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是
A． B． C． D．
59．（2024春 滨江区校级期中）如图，平分，，若，则度数是
A． B． C． D．
60．（2024春 镇海区校级期中）若的两边与的两边分别平行，且，那么的度数为
A． B． C．或 D．或
61．（2024春 慈溪市期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
62．（2024春 瑞安市校级期中）如图，，、分别平分、，、分别平分、，则的度数为 ．
63．（2024春 余姚市校级期中）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
64．（2024春 萧山区期中）（1）【问题】
如图1，若，，．求的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
65．（2024春 拱墅区校级期中）【感知】（1）如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
【探究】（2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点在线段上；
②点在射线上．
题型九 平行线的判定与性质
66．（2024春 余姚市期中）下列结论正确的是
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
67．（2024春 西湖区校级期中）下列说法中正确的个数有
（1）在同一平面内，不相交的两条直线平行；（2）垂直于同一直线的两直线平行；（3）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
68．（2024春 江干区校级期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
69．（2024春 上城区校级期中）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则的值为
A． B． C． D．
70．（2024春 拱墅区校级期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面1平行，，，当为 度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
71．（2024春 拱墅区校级期中）小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺，将另一块三角尺，绕公共顶点按顺时针方向旋转．旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺旋转的度数可能是 ．
72．（2024春 鹿城区校级期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则 ．
73．（2024春 瑞安市校级期中）如图，图1是一个花盆支架，图2为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，若，，则 ．
74．（2024春 鄞州区校级期中）如图，，，分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行．
75．（2024春 下城区校级期中）已知如图，，，，试判断与的位置关系，并说明理由．
76．（2024春 拱墅区校级期中）已知：如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，
且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
77．（2024春 临海市校级期中）完成下面的证明．
如图，已知，，垂足分别为、，．
求证：．
解：，（已知），
．
．
．
又（已知），
．
．
．
78．（2024春 西湖区校级期中）已知：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，；
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
79．（2024春 浙江期中）如图，平分，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，，，求的度数．
80．（2024春 鄞州区校级期中）如图，点，在直线上，，．
（1）求证：．
（2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数．
81．（2024春 镇海区校级期中）如图，，．
（1）判断与平行吗？请说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
82．（2024春 鹿城区校级期中）已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点，若，则 ．
83．（2024春 上城区校级期中）已知，直线分别与直线，相交于点，，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线，之间且在直线左侧，连接，
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
84．（2024春 浦江县校级期中）（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，，请判断光线是否平行于光线？说明理由．
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角
（3）如图3，直线上有两点、分别引两条射线、，，，射线、分别绕点、点以和的速度同时顺时针转动．设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．
85．（2024春 西湖区校级期中）已知，如图1，射线分别与直线、相交于、两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．
（1） ， ；直线与的位置关系是 ；
（2）如图2若点在点的左侧，点是射线上一点，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图，分别与、相交于点和时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
86．（2024春 杭州期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，．保持三角板不动，老师将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
87．（2024春 上城区校级期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）当为 度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值．
88．（2024春 拱墅区校级期中）如图，已知，．
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，连接，若点，在线段上，且满足平分，平分，，求的度数；
（3）下列①③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含的代数式表示）
89．（2024春 杭州期中）如图1，已知点，分别是直线，上的点，，且．
（1）的度数为 ．
（2）如图2，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，射线以每秒的速度绕点从开始顺时针旋转，当射线旋转到与重合时，两条射线同时停止旋转．
①当，是否存在，使得？请说明理由．
②如图3，当时，射线和射线交于点，用含的代数式表示的度数．
③在②的条件上，过点作交于点，在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
90．（2024春 拱墅区校级期中）如图1，直线与直线，分别交于，两点，点在直线上，射平分交直线于点，．
（1）求证：．
（2）如图2，射线交直线于点，交线段于点，且．
①若，求的度数．
②点在射线上，满足，连接，请画出图形，直接写出与满足的等量关系（无需说明理由）．
题型十 生活中的平移现象
91．（2024春 鹿城区校级期中）下列生活中的运动，属于平移的是
A．电梯的升降
B．夏天电风扇中运动的扇叶
C．汽车挡风玻璃上运动的刮雨器
D．跳绳时摇动的绳子
92．（2024春 上城区校级期中）下列生活现象中，属于平移的是
A．足球在草地上滚动
B．拉开抽屉
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上
D．钟摆的摆动
93．（2024春 杭州期中）同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是
A． B．
C． D．
94．（2024春 拱墅区校级期中）如图所示，在图形到图形的变化过程中，下列描述正确的是
A．向上平移2个单位，向左平移4个单位
B．向上平移1个单位，向左平移4个单位
C．向上平移2个单位，向左平移5个单位
D．向上平移1个单位，向左平移5个单位
95．（2024春 义乌市期中）金义东城际铁路工程由金华—义乌线和义乌—东阳（横店）线两条线路组成，全长约103.86公里，设站29座，采用的是型车，型车在轨道上的运行可以看作是
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
96．（2024春 临海市校级期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长50米，宽25米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，小明沿着小路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为
A．96米 B．98米 C．99米 D．100米
97．（2024春 鄞州区期中）如图所示的是一块矩形的场地，，，从，两地入口的路宽都为，两小路汇合处的路宽为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．
98．（2024春 拱墅区校级期中）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积为 ．
题型十一 作图-平移变换
99．（2024春 浙江期中）如图，在的正方形方格纸中有一格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），是方格纸中一格点．
（1）将三角形平移后得到三角形，使点的对应点为，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形是由三角形先向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到．
100．（2024春 瑞安市校级期中）如图，在的网格中，已知△的顶点均在格点上，请按要求在图1和图2的网格内画图（图1，图2在答题纸上）．
（1）在图1中画出△平移后的△，使得，且，，的对应点，，均在格点上．
（2）在图2中找一格点，使．
101．（2024春 镇海区校级期中）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到△．
（1）画出△；
（2）图中与的关系为 ；
（3）平移过程中，扫过的面积是 ．
102．（2024春 西湖区校级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）的面积为 ；
（2）按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．
①在图1中，将平移，得到△，请画一个△与无重合部分．
②在图2中，线段与相交，产生，请画一个，使得中的一个角等于．
103．（2024春 东阳市期中）如图，边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到△．请画出△；
（2）的面积为 ．
（3）在图中找一个格点，使．
104．（2024春 嘉善县校级期中）如图，在方格纸中，每个小格均为边长是1的正方形，的位置如图所示，请按照要求完成下列各题：
（1）将向右平移4格，向下平移2格后，得到△，请画出所得的△（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）；
（2）连结，判断，的位置关系，并求出四边形的面积．
105．（2024春 路桥区期中）如图1，线段，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，使得．
（1）请说明的理由．
（2）若，将线段沿着直线平移得到线段，，的对应点分别为，，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则的度数 ．（直接写出答案）
题型十二 利用平移设计图案
106．（2024春 镇海区校级期中）如图为尚志中学的校徽图，展现出书籍与跑道的形象，体现了学校推崇阅读与运动的教育理念．以下四幅图中，能由校徽图经过平移得到的是
A． B．
C． D．
107．（2024春 浙江期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是
A． B． C． D．
108．（2024春 嘉善县校级期中）下列学校校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为
A． B．
C． D．
109．（2024春 宣恩县期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是
A． B．
C． D．
题型十三 平移的性质
110．（2024春 开化县期中）如图，将△沿射线平移得到△，则下列线段的长度中表示平移距离的是
A． B． C． D．
111．（2024春 临海市期中）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
112．（2024春 鹿城区校级期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
113．（2024春 苍南县期中）某公园为方便行人观赏花木，拟在一块方形绿化带中修建如图所示的小路，若绿化带周长为，且路宽忽略不计，则小路总长为 ．
114．（2024春 绍兴期中）如图，，直线与，相交于点，，，点是上一点，且平分，过点作，交于点，将沿射线方向平移，点落在点’处，若’ ’，则’的度数为 ．
115．（2024春 鹿城区校级期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，．将一个含角的直角三角板按如图放置，使点，分别在直线，上，，，．若的平分线交直线于点．
（1）当，时，则 ．
（2）将三角板保持并向左平移，则在平移的过程中 ．（用含的式子表示）
116．（2024春 海曙区期中）已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．完成下列问题：
（1）当秒时， 平方厘米；
（2）当时，小正方形平移的时间为 秒．
117．（2024春 上城区校级期中）如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．
（1）补全△；
（2）这个平移过程可以看作先向 平移 个单位，再向 平移 个单位；
（3）求线段平移过程中扫过的面积．
118．（2024春 瑞安市期中）已知：如图，中，，．在直线的下
方，且，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）沿直线平移线段至，连结，若直线，求的度数．
119．（2024春 奉化区校级期中）如图，已知，点在直线，之间．
（1）求证：；
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图2，若，平分，求的度数；
②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
120．（2024春 余姚市期中）如图，已知为两条互相平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于，．
（1）求证：．
（2）连接，当，时，求的度数．
（3）若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，，分别对应，，当—时，求的度数．
