(共69张PPT)
板块一 力学
命题区间二 万有引力与航天
近三年山东高考考情分析 备考建议
命题点 2022年 2023年 2024年 1.建立天体运动的环绕模型，继续加强从动力学和能量的角度分析天体运动的练习。
2．重视卫星变轨问题、双星问题的考查。
3．关注最新科技成果与万有引力定律的结合，如登月计划等。
开普勒定律 √ √ √
万有引力定律的应用 √
地球卫星问题 √ √ √
卫星变轨综合问题
双星、多星问题
天体的相遇问题
近三年山东已考命题点
01
(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
命题点一 开普勒定律
√
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，并且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径。
A. 1.5 B． 2.25
C. 16 D． 256
√
2．中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳做同方向圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A. 365天 B． 400天
C. 670天 D． 800天
√
(2024·新课标卷)天文学家发现，太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A. 0.001 B． 0.1
C. 10倍 D． 1 000倍
命题点二 万有引力定律的应用
√
看到什么 想到什么
两行星绕红矮星运动，GJ1002c轨道半径与日地距离关系以及周期大小 万有引力提供向心力，对地球绕太阳及GJ1002c绕红矮星运动分别列万有引力提供向心力的方程
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
2．星球上空的重力加速度g′
3．万有引力的两点理解和两个推论
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。
(2)两个推论
①在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为0，即∑F引＝0。
1．迷你系绳卫星在地球赤道正上方大气层外，沿圆形轨道绕地球飞行。如图所示，某系绳卫星由两个质量相等的子卫星a、b组成，它们之间的绳沿地球半径方向，已知子卫星a、b绕地球做圆周运动的半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，系绳质量不计，则系绳卫星做圆周运动的角速度大小为( )
√
2．(2024·泰安模拟)中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射“嫦娥七号”。“嫦娥七号”准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。假设“嫦娥七号”探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为T1；当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为g0。已知月球自转的周期为T2，月球视为均匀球体，则月球赤道处的重力加速度为( )
√
A. 火箭的推力是空气施加的
B. 卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C. 卫星运行的周期约12 h
D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
(2024·浙江卷1月选考)如图所示，2023年12月9日，“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量为6.0×1024 kg，地球半径为6.4×103 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
命题点三 地球卫星问题
√
看到什么 想到什么
卫星发射升空 加速度方向
向心加速度 向心力
运行周期 圆周运动周期及开普勒第三定律
天体运动问题分析思路
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本关系式
(3)注意“黄金代换”Gm地＝gR2的应用。
√
2．(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
√
近三年山东未考命题点
02
(2022·浙江卷1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”( )
命题点一 卫星变轨综合问题
甲
乙
A. 发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运行时的速度均大于地球绕太阳的速度
C 解析：“天问一号”发射后要脱离地球引力的束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于 11.2 km/s 与16.7 km/s之间，故A错误；因地火转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年，共12个月)，则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间，应大于6个月，故B错误；因环绕火
√
解决变轨问题思路：
1．比较圆轨道上速度大小，r越大，v越小。
2．比较相切点速度大小，离心运动的v变大。
3．相切点加速度相同。
1．卫星变轨的实质
2.变轨过程各物理量的比较
速度关系 在A点加速：vⅡA>vⅠ
在B点加速：vⅢ>vⅡB
随轨道半径增加，速度减小，即vⅠ>vⅢ，
综上可得vⅡA>vⅠ>vⅡB
加速度关系 aⅡA＝aⅠ
aⅢ＝aⅡB
周期关系 TⅠ机械能关系 EⅠA. 发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B. 在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C. 在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度
D. 在不同的绕月轨道上，相同时间内卫星与月心连线扫过的面积相同
1．如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图。“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，下列说法正确的是( )
√
A. 周期约为144 h
B. 近月点的速度大于远月点的速度
C. 捕获轨道近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D. 在捕获轨道运行时近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
2．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。“鹊桥二号”在捕获轨道运行时( )
√
天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51 min彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7 000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18 min。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法正确的是( )
命题点二 双星、多星问题
A. 每颗星球的角速度都在逐渐变小
B. 两星球的距离在逐渐变大
C. 两星球的轨道半径之比保持不变
D. 每颗星球的加速度逐渐变小
√
解决双星问题思路：
1．两星的ω(T)相等，注意列方程时，两星之间距离与轨道半径不相等。
双星、三星和多星模型
“双星”模型 “三星”模型 “四星”模型
运动
特点 转动方向、周期、角速度相同，圆周运动半径一般不相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力
特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
1．密度相同的A、B两星球绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，组成一双星系统，其中体积较大的A星球能不断地“吸食”体积较小的B星球的表面物质，从而达到质量转移。假设“吸食”过程中A、B两星球球心间距离不变，则“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是( )
A. 它们做圆周运动的万有引力保持不变
B. 它们做圆周运动的角速度大小保持不变
C. 体积较大的A星球做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变大
D. 体积较小的B星球做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
√
A. 图中星体B对A的万有引力大于星体C对A的万有引力
B. 图中三颗星体质量大小关系为mA>mC>mB
C. F1、F2、F3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
D. a1、a2、a3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
√
√
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A. 火星365天 B. 火星800天
C. 天王星365天 D. 天王星800天
(2023·浙江卷1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当出现地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
命题点三 天体的相遇问题
√
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
“天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题要抓住两个重要关系：
1．角度关系
两天体相距最近时，经过时间t，两天体绕中心天体转过的角度之差(或之和)等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(n＝1,2，3，…)(同向)或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向)；如果经过时间t′，两天体绕中心天体转过的角度之差(或之和)等于π的奇数倍，则两天体相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2，3，…)(反向)。
2．圈数关系
1．如图所示为天文奇观“血月掩天王星”，大大的月亮背景下天王星是一个小小的亮点。此时太阳、地球、月球、天王星几乎处于同一条直线上。已知地球和天王星绕太阳公转的方向与月球绕地球公转的方向相同，下列说法正确的是( )
A. 以太阳为参考系，此时地球的速度大于月球的速度
B. 以太阳为参考系，此时地球的加速度小于月球的加速度
C. 下一次出现相同天文奇观的时间间隔小于一年
D. 月球和天王星的公转轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值相等
√
2．(多选)如图所示，人造卫星A围绕地球做圆周运动，A、B连线和A、C连线与地球相切，连线夹角为θ，θ为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为θ1和θ2，且θ1>θ2，甲、乙公转角速度分别为ω1和ω2，引力常量为G。以下说法正确的是( )
A. 由题目所给条件，可以算出地球的质量
B. 由题目所给条件，可以算出地球的密度
√
√近三年山东高考考情分析 备考建议
命题点 2022年 2023年 2024年 1.建立天体运动的环绕模型，继续加强从动力学和能量的角度分析天体运动的练习。 2.重视卫星变轨问题、双星问题的考查。 3.关注最新科技成果与万有引力定律的结合，如登月计划等。
开普勒定律 √ √ √
万有引力定律的应用 √
地球卫星问题 √ √ √
卫星变轨综合问题
双星、多星问题
天体的相遇问题
开普勒定律
(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B．
C． D．
D 解析：“鹊桥二号”中继星在椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星，由开普勒第三定律有＝k′，由牛顿第二定律得＝m2r，得＝＝k，k与中心天体质量成正比，则有＝＝，D正确。
读题后想到什么 对应的公式是什么
已知条件与待求量有什么联系 ＝m2→＝
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，并且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径。
3．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体质量有关。
1．设地球同步卫星的轨道半径为R，我国“天宫”空间站的轨道半径为r。航天员在“天宫”空间站授课时说，在空间站上一天可以观察到16次日出，由此可以推算等于( )
A. 1.5 B． 2.25
C. 16 D． 256
D 解析：由题意知，空间站上一天可以现察到16次日出，故空间站的周期为T1＝ h＝1.5 h，同步卫星与“天宫”空间站圆周运动的周期之比为T2∶T1＝16∶1，由开普勒第三定律＝，解得＝＝256，故D正确，A、B、C错误。
2．中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳做同方向圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A. 365天 B． 400天
C. 670天 D． 800天
B 解析：设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω2＝，ω1＝，代入数据可得t≈400天，故选项B正确。
万有引力定律的应用
(2024·新课标卷)天文学家发现，太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A. 0.001 B． 0.1
C. 10倍 D． 1 000倍
B 解析：地球围绕太阳做圆周运动和行星绕红矮星做圆周运动所需的向心力均来源于万有引力，根据万有引力提供向心力有＝m22r，整理得m1＝，结合公转半径比和公转周期比，解得＝≈0.1，B正确。
看到什么 想到什么
两行星绕红矮星运动，GJ1002c轨道半径与日地距离关系以及周期大小 万有引力提供向心力，对地球绕太阳及GJ1002c绕红矮星运动分别列万有引力提供向心力的方程
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
3．万有引力的两点理解和两个推论
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。
(2)两个推论
①在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为0，即∑F引＝0。
②在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(m′)对其的万有引力，即F＝G。
1．迷你系绳卫星在地球赤道正上方大气层外，沿圆形轨道绕地球飞行。如图所示，某系绳卫星由两个质量相等的子卫星a、b组成，它们之间的绳沿地球半径方向，已知子卫星a、b绕地球做圆周运动的半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，系绳质量不计，则系绳卫星做圆周运动的角速度大小为( )
A. B.
C. D.
A 解析：子卫星a、b同轴转动，角速度相等，绳子对子卫星a有向外的拉力，对子卫星b有向内的拉力。对子卫星a、b受力分析，由牛顿第二定律可得G－F＝mω2r1，G＋F＝mω2r2，又G＝mg，联立解得ω＝，故A正确，B、C、D错误。
2．(2024·泰安模拟)中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射“嫦娥七号”。“嫦娥七号”准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。假设“嫦娥七号”探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为T1；当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为g0。已知月球自转的周期为T2，月球视为均匀球体，则月球赤道处的重力加速度为( )
A. B.
C. D. g0
A 解析：设月球的半径为R，月球的质量为m月，由题意得G＝m(2R)，G＝mg0，G＝mR＋mg，综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g＝g0，故选A。
地球卫星问题
(2024·浙江卷1月选考)如图所示，2023年12月9日，“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量为6.0×1024 kg，地球半径为6.4×103 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A. 火箭的推力是空气施加的
B. 卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C. 卫星运行的周期约12 h
D. 发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
B 解析：火箭升空属于反冲运动，燃料燃烧过程中生成的气体向后喷出，从而给火箭一个向上的推力作用，与空气无关，A错误；根据牛顿第二定律有a＝＝＝，代入数据解得a＝ m/s2≈8.4 m/s2，B正确；根据向心加速度a＝，可得周期T＝，代入数据解得T≈1.6 h，C错误；发射升空初始阶段，火箭还在向上加速运动，所以装在火箭上部的卫星处于超重状态，D错误。
看到什么 想到什么
卫星发射升空 加速度方向
向心加速度 向心力
运行周期 圆周运动周期及开普勒第三定律
天体运动问题分析思路
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本关系式
G＝越高越慢
(3)注意“黄金代换”Gm地＝gR2的应用。
1．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地、月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A. 30π B． 30π
C. 120π D． 120π
C 解析：设比例系数为k，根据牛顿的猜想，地球表面物体的重力可表示为mg＝k，地球对月球的吸引力可表示为F月＝k，月球绕地球做匀速圆周运动，地球对月球的吸引力提供向心力，有F月＝m月r，又r＝60R，联立解得T＝120π，C正确。
2．(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A. －R B．
C. －R D．
C 解析：地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得＝mg，解得Gm地＝gR2，根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝，万有引力提供卫星运动的向心力，由牛顿第二定律得＝m′(R＋h)，联立解得h＝－R，C正确。
卫星变轨综合问题
(2022·浙江卷1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”( )
甲 乙
A. 发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运行时的速度均大于地球绕太阳的速度
C 解析：“天问一号”发射后要脱离地球引力的束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于 11.2 km/s 与16.7 km/s之间，故A错误；因地火转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年，共12个月)，则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间，应大于6个月，故B错误；因环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；“天问一号”从Q点变轨时，要加速进入火星轨道，即在地火转移轨道Q点的速度小于在火星轨道上的速度，而由＝m得v＝，可知在火星轨道上的速度小于在地球轨道上的速度，因此可知“天问一号”在地火转移轨道Q点时的速度小于在地球轨道上的速度，故D错误。
解决变轨问题思路：
1．比较圆轨道上速度大小，r越大，v越小。
2．比较相切点速度大小，离心运动的v变大。
3．相切点加速度相同。
1．卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为沿椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为沿椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
能量分析 重力势能、机械能均增加 重力势能、机械能均减小
2.变轨过程各物理量的比较
速度关系 在A点加速：vⅡA>vⅠ 在B点加速：vⅢ>vⅡB 随轨道半径增加，速度减小，即vⅠ>vⅢ， 综上可得vⅡA>vⅠ>vⅡB
加速度关系 aⅡA＝aⅠ aⅢ＝aⅡB
周期关系 TⅠ机械能关系 EⅠ1．如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图。“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，下列说法正确的是( )
A. 发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B. 在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C. 在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度
D. 在不同的绕月轨道上，相同时间内卫星与月心连线扫过的面积相同
B 解析：第三宇宙速度是指物体能够脱离太阳系的最小发射速度，而“嫦娥一号”没有脱离地球引力的范围，所以其发射速度小于第三宇宙速度，A错误；在绕地轨道中，根据开普勒第三定律＝k，可知对于同一中心天体，椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比为定值，B正确；设“嫦娥一号”在轨道Ⅰ上运行的速度为v1，在轨道Ⅱ近月点速度为v2，轨道Ⅱ远月点速度为v3，在轨道Ⅱ的远月点建立以月球为圆心的圆轨道，其速度为v4，则根据离月球的远近，再根据圆周运动加速离心原理，可得v2>v1，v4>v3，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，可知圆轨道半径越大，线速度越小，所以v1>v4，因此v2>v1>v4>v3，故在轨道Ⅰ上运动时的速度v1不全部小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，C错误；根据开普勒第二定律，可知在同一绕月轨道上，相同时间内卫星与月心连线扫过的面积相同，但在不同的绕月轨道上不满足此规律，D错误。
2．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。“鹊桥二号”在捕获轨道运行时( )
A. 周期约为144 h
B. 近月点的速度大于远月点的速度
C. 捕获轨道近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D. 在捕获轨道运行时近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B 解析：冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，设捕获轨道的半长轴为R1，周期为T1，冻结轨道的半长轴为R2，周期为T2，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；近月点从捕获轨道到冻结轨道“鹊桥二号”进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
双星、多星问题
天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51 min彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7 000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18 min。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法正确的是( )
A. 每颗星球的角速度都在逐渐变小
B. 两星球的距离在逐渐变大
C. 两星球的轨道半径之比保持不变
D. 每颗星球的加速度逐渐变小
C 解析：根据题意，由公式ω＝可知，由于两星球彼此绕行的周期逐渐减小，则每颗星球的角速度都在逐渐变大，设双星转动的角速度为ω，双星间距离为L，星球的质量分别为m1、m2，由万有引力提供向心力，有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得ω＝，由此可知，距离L逐渐变小，故A、B错误；根据题意，由万有引力提供向心力，有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝，由于两星球质量不变，则两星球的轨道半径之比保持不变，故C正确；由万有引力提供向心力，有＝m1a1＝m2a2，由此可知，距离L逐渐变小，每颗星球的加速度逐渐变大，故D错误。
解决双星问题思路：
1．两星的ω(T)相等，注意列方程时，两星之间距离与轨道半径不相等。
2．重要结论：m1r1＝m2r2，ω2＝。
双星、三星和多星模型
“双星”模型 “三星”模型 “四星”模型
情景 导图
运动 特点 转动方向、周期、角速度相同，圆周运动半径一般不相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力 特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
解题 规律 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2 ＋＝ma向， ×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向， ×2×cos 30°＋＝ma向
解题 关键 T1＝T2， ω1＝ω2， r1＋r2＝L r′＝＝L r＝L，r′＝＝L
1．密度相同的A、B两星球绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，组成一双星系统，其中体积较大的A星球能不断地“吸食”体积较小的B星球的表面物质，从而达到质量转移。假设“吸食”过程中A、B两星球球心间距离不变，则“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是( )
A. 它们做圆周运动的万有引力保持不变
B. 它们做圆周运动的角速度大小保持不变
C. 体积较大的A星球做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变大
D. 体积较小的B星球做圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
B 解析：由题意可知，mA增大，mB减小，由万有引力定律F＝G可知，mA、mB乘积发生变化，则万有引力发生变化，A错误；稳定的双星系统中两星球角速度大小相等，根据万有引力提供向心力，对A星球有G＝mAω2rA，同理对B星球有G＝mBω2rB，其中r＝rA＋rB，联立可得＝ω2r，则ω＝，由于两星球间质量转移，总质量不变，因此角速度大小不变，B正确；由于两星球的向心力大小始终保持相等，则有mAω2rA＝mBω2rB，则＝，由于两星球密度相同，故体积大的A星球质量大，吸食后质量更大，则轨迹半径变小，而质量较小的B星球轨迹半径变大，由于角速度大小不变，故A星球线速度变小，B星球线速度变大，C、D错误。
2．(多选)近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示，为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为RA、RB、RC，下列说法正确的是( )
A. 图中星体B对A的万有引力大于星体C对A的万有引力
B. 图中三颗星体质量大小关系为mA>mC>mB
C. F1、F2、F3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
D. a1、a2、a3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
BD 解析：星体B对A的万有引力FBA＝，星体C对A的万有引力FCA＝，FBA与FCA的合力偏向C一侧，可知FBAmB，同理mA>mC，故A错误，B正确；根据矢量叠加可知F1＝FBA＋FCA，同理可得F2＝FAB＋FCB，F3＝FAC＋FBC(此处的“＋”号表示的是矢量间的运算)，则F1＋F2＋F3＝FBA＋FCA＋FAB＋FCB＋FAC＋FBC＝0，而a1＋a2＋a3＝＋＋，当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C错误，D正确。
天体的相遇问题
(2023·浙江卷1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当出现地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A. 火星365天
B. 火星800天
C. 天王星365天
D. 天王星800天
B 解析：根据开普勒第三定律有＝，解得T＝T地，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝t，解得t＝＝，由题表中的数据可得t火＝≈800天，t天＝≈369天，故选B。
看到什么 想到什么
行星冲日 两星“相遇”即相距最近，若下一次相遇，－＝1(或ω1t－ω2t＝2π)
“天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题要抓住两个重要关系：
1．角度关系
两天体相距最近时，经过时间t，两天体绕中心天体转过的角度之差(或之和)等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(n＝1,2，3，…)(同向)或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向)；如果经过时间t′，两天体绕中心天体转过的角度之差(或之和)等于π的奇数倍，则两天体相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2，3，…)(反向)。
2．圈数关系
天体相距最近有－＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向)。
天体相距最远有－＝(n＝1,2，3，…)(同向)，＋＝(n＝1,2，3，…)(反向)。
1．如图所示为天文奇观“血月掩天王星”，大大的月亮背景下天王星是一个小小的亮点。此时太阳、地球、月球、天王星几乎处于同一条直线上。已知地球和天王星绕太阳公转的方向与月球绕地球公转的方向相同，下列说法正确的是( )
A. 以太阳为参考系，此时地球的速度大于月球的速度
B. 以太阳为参考系，此时地球的加速度小于月球的加速度
C. 下一次出现相同天文奇观的时间间隔小于一年
D. 月球和天王星的公转轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值相等
B 解析：以太阳为参考系，v月日＝v月地＋v地日，a月日＝a月地＋a地日，由题意可知，地球绕太阳和月球绕地球的公转方向一致，所以此时v月日>v地日，a月日>a地日，故A错误，B正确；设地球的公转半径为r1，周期为T1＝1年，天王星的公转半径为r2，周期为T2，根据开普勒第三定律，有＝，两天体再次与太阳共线满足t＝2π，两式联立得t＝>T1＝1年，故C错误；开普勒第三定律成立的前提条件是围绕同一中心天体运转，所以月球和天王星的公转轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值关系无法确定，故D错误。
2．(多选)如图所示，人造卫星A围绕地球做圆周运动，A、B连线和A、C连线与地球相切，连线夹角为θ，θ为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为θ1和θ2，且θ1>θ2，甲、乙公转角速度分别为ω1和ω2，引力常量为G。以下说法正确的是( )
A. 由题目所给条件，可以算出地球的质量
B. 由题目所给条件，可以算出地球的密度
C. 每隔时间t＝，两卫星可以恢复直接通信
D. 每隔时间t＝，两卫星可以恢复直接通信
BD 解析：根据题意，由万有引力提供向心力有G＝mω2r，由几何关系有＝sin ，解得m地＝＝，由于不知道地球半径，则无法求出轨道半径，故无法求出地球质量，又有V＝πR3，ρ＝，联立解得 ρ＝＝，即地球的密度为ρ＝＝，故A错误，B正确；根据题述条件可知当甲公转比乙多转过 2时，两者可恢复直接通信，则ω1t－ω2t＝2， 解得t＝，故C错误，D正确。
专题限时评价(二)
(建议用时：75分钟)
1．(2023·广东卷)如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为mQ，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
甲
乙
A. 周期为2t1－t0
B. 半径为
C. 角速度的大小为
D. 加速度的大小为
B 解析：由题图乙可知，探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝2·＝·，故D错误。
2．(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100 min。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( )
A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日、地间平均距离
A 解析：因为“夸父一号”在轨道上要始终保持被太阳光照射，则其轨道平面在一年之内要转动360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求出地球与太阳的距离，故D错误。
3．(多选)某人造卫星在赤道上空运行，其转动方向与地球自转方向相同，地球自转的角速度为ω0，地球的半径为R，卫星的轨道半径为地球半径的2倍，地球极点表面处的重力加速度大小为g，则( )
A. 地球的密度为
B. 卫星所在处的重力加速度大小为
C. 卫星绕地球转动的角速度为
D. 卫星再次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔为
BD 解析：在地球极点表面处物体受到的重力等于万有引力，有＝mg，解得地球质量为m地＝，地球的密度为ρ＝＝＝，A错误；在轨道半径为r＝2R处，仍有万有引力提供重力，即mg′＝，联立解得g′＝，B正确；根据万有引力提供向心力，有＝mω2·2R，又＝mg，联立可得ω＝，C错误；以地面为参考系，卫星再次出现在同一建筑物上方时建筑物随地球转过的弧度比卫星转过的弧度少2π，即 ωΔt－ω0Δt＝2π，解得Δt＝，D正确。
4．(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月 8日之前
B 解析：火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，那么此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量之比及半径之比，因此无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；由于火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，则ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日，则有t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
5．(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( )
A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
B 解析：由于恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，而不同位置向心加速度一般不同，故不同位置重力加速度的大小和方向一般不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为0，万有引力全部提供重力加速度，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得＝m，整理得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式m星＝R3ρ得R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝2G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，故可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。
6．(2024·江西卷)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是( )
A. ＝，＝ B. ＝，＝
C. ＝，＝ D. ＝，＝
A 解析：探测器环月运行，由万有引力提供向心力有G＝m，得v2＝，其中m月为月球质量，m为“嫦娥六号”质量，动能Ek＝mv2，可得＝，B、D错误；同理，由G＝mr得T＝，可得＝，A正确，C错误。
7．2023年5月30日16时29分，“神舟十六号”载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱径向端口。若对接前“神舟十六号”和空间站分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上绕同一方向做匀速圆周运动，圆周运动的半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A. 地球的密度约为
B. “神舟十六号”与空间站的线速度之比为
C. “神舟十六号”与空间站的向心加速度之比为
D. 从相距最远到相距最近的最短时间为
D 解析：在地球表面，忽略地球的自转，物体所受的万有引力提供重力，有G＝mg，根据体积公式V＝πR3，密度公式ρ＝，联立得ρ＝，A错误；由万有引力提供向心力有G＝，线速度v＝，“神舟十六号”与空间站的线速度之比＝×＝，B错误；由万有引力提供向心力有G＝ma ，向心加速度a＝，“神舟十六号”与空间站的向心加速度之比＝×＝，C错误；由万有引力提供向心力有G＝，由于Gm地＝gR2，解得周期T＝，根据题意知，“神舟十六号”和空间站从相距最远到相距最近，转过的角度差Δθ＝t＝π，代入数据，解得最短时间t＝，D正确。
8．现将火星和水星的运行轨道看成圆轨道，如图所示。火星和水星的公转周期分别为T1、T2，火星和水星的公转半径分别为R1、R2。则过点的直线的图像为( )
D 解析：根据开普勒第三定律＝，可得＝，则lg ＝lg ，可得lg ＝－lg ，可知过点的直线图像的斜率为－，D正确，A、B、C错误。
9．(2024·广东卷)(多选)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞，在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A. 该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B. 该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C. “背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D. “背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
AC 解析：设地球的质量为m地，半径为R，行星的质量为m行，半径为R′，在地球表面可近似看作物体所受重力等于其所受万有引力，有＝mg，得g＝，同理得g′＝，可得行星表面重力加速度大小为g′＝g＝×22×10 m/s2＝4 m/s2，A正确；由笫一宇宙速度公式v＝可得该行星的第一宇宙速度为v′＝×7.9 km/s＝×7.9 km/s，B错误；根据题述可知，探测器、背罩通过弹性轻绳连接降落伞，接近某行星表面时以 v＝60 m/s 的速度竖直匀速下落，可知所受拉力F＝(m探＋m背)g′＝4 200 N，“背罩分离”后瞬间，由牛顿第二定律有F－m背g′＝m背a，解得背罩的加速度大小为a＝80 m/s2，C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为P＝m探g′v＝1 000×4×60 W＝240 000 W＝240 kW，D错误。
10．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则 T1∶T2为( )
A. B．
C. D．
D 解析：第一种形式下，星体A受到星体B和星体C的万有引力，它们的合力充当向心力，则有 G＋G＝mR，解得T1＝4πR；第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为 R′＝，星体A受的合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T2＝2πr，则 T1∶T2＝，故选D。
11．(多选)如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，不考虑其他天体对该系统的影响，两者绕共同的圆心C点(图中未画出)做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变，不考虑航天器对“地月双星系统”的影响。已知地球质量为m地，月球质量为m月，地球与月球球心距离为d。下列说法正确的是( )
A. 位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度
B. 地月双星系统的周期为T＝2π
C. 圆心C点在地球和月球的连线上，与地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D. 该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式＋＝G
ABD 解析：位于拉格朗日点且绕C点稳定运行的航天器的周期与双星系统中地球的周期相同，根据a＝2r可知，离C点越远，加速度越大，则位于拉格朗日点且绕C点稳定运行的航天器的向心加速度大于月球的向心加速度，故A正确；设双星系统中，月球轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，对月球有G＝m月r1，对地球有G＝m地r2，又d＝r1＋r2，联立解得T＝2π，故B正确；由G＝m月r1，G＝m地r2，可得＝，即圆心C点在地球和月球的连线上，到地球和月球球心的距离之比等于地球和月球质量的反比，故C错误；根据＝，d＝r1＋r2，可得月球与圆心C点的距离为r1＝，航天器在月球和地球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0，则G＋G＝m0·，即＋＝G·，故D正确。
12．(2023·北京卷)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为m总，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为0，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(3)科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围(r>R)存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r＝nR内暗物质的质量m′。
解析：(1)由万有引力定律和向心力公式有
G＝m
解得v＝。
(2)在r≤R内部，星体的总质量
m0＝·πr3＝
由万有引力定律和向心力公式有G＝m
解得v＝r。
(3)对处于半径为R的球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G＝m
对处于r＝nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G＝m
解得m′＝(n－1)m总。
答案：(1)v＝ (2)v＝r
(3)(n－1)m总
13．2024年11月4日，圆满完成任务的三名航天员乘坐“神舟十八号”飞船从空间站顺利返回地面。某颗卫星的返回回收过程可简化如下：如图所示，轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似等于地球半径；轨道2是位于与轨道1同一平面内的中圆地球轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从轨道2进入转移轨道，再从转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。
(1)求该卫星在轨道2上运行的动能Ek。
(2)卫星在地球周围的引力场中具有的势能叫作引力势能，若把无穷远处定为引力势能的零势能点，则质量为m的卫星在距地心r处的引力势能表达式为Ep＝－，m地为地球质量(未知)。试求该卫星从轨道2经两次变轨到轨道1的过程中，制动力做的功。
解析：(1)根据地面附近万有引力等于重力，有
＝mg
可得Gm地＝gR2
在轨道2上运行时，根据万有引力提供向心力，有＝m
又Ek＝mv
联立可得Ek＝mgR。
(2)卫星在轨道1上运行时，根据万有引力提供向心力，有＝m
又由于Gm地＝gR2，E′k＝mv
联立可得卫星在轨道1上运行的动能为E′k＝mgR
根据引力势能定义可得，卫星在轨道1上的引力势能Ep1＝－＝－mgR
卫星在轨道2上的引力势能
Ep2＝－＝－mgR
设制动力做的功为W，卫星由轨道2变轨到轨道1的整个过程，由功能关系可知，制动力做的功等于卫星机械能的变化量，即
W＝(Ep1＋E′k)－(Ep2＋Ek)
解得W＝－mgR。
答案：(1)mgR (2)－mgR
14．随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作半径为R的球体。以下情境中，在计算万有引力时地球可看作质量集中在地心的质点。
(1)已知地球两极的重力加速度为g1，赤道的重力加速度为g2，求地球自转的角速度ω。
(2)某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g1都没变，但赤道的重力加速度由g2略微减小为g3，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径。求同步卫星调整后的轨道半径r′与原来的轨道半径r的比值。
解析：(1)设地球的质量为m地，对于质量为m的物体，在两极，有＝mg1
在赤道，根据牛顿第二定律有
－mg2＝mω2R
联立两式可得ω＝。
(2)设地震后地球自转的角速度为ω′，根据牛顿第二定律有－mg3＝mω′2R
设地球同步卫星的质量为m′，根据牛顿第二定律，地震前有
＝m′ω2r
地震后有＝m′ω′2r′
联立以上各式可得＝。
答案：(1) (2)专题限时评价(二)
(建议用时：75分钟)
1．(2023·广东卷)如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为mQ，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
甲
乙
A. 周期为2t1－t0
B. 半径为
C. 角速度的大小为
D. 加速度的大小为
B 解析：由题图乙可知，探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝2·＝·，故D错误。
2．(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100 min。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( )
A. “夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B. “夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C. “夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D. 由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日、地间平均距离
A 解析：因为“夸父一号”在轨道上要始终保持被太阳光照射，则其轨道平面在一年之内要转动360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求出地球与太阳的距离，故D错误。
3．(多选)某人造卫星在赤道上空运行，其转动方向与地球自转方向相同，地球自转的角速度为ω0，地球的半径为R，卫星的轨道半径为地球半径的2倍，地球极点表面处的重力加速度大小为g，则( )
A. 地球的密度为
B. 卫星所在处的重力加速度大小为
C. 卫星绕地球转动的角速度为
D. 卫星再次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔为
BD 解析：在地球极点表面处物体受到的重力等于万有引力，有＝mg，解得地球质量为m地＝，地球的密度为ρ＝＝＝，A错误；在轨道半径为r＝2R处，仍有万有引力提供重力，即mg′＝，联立解得g′＝，B正确；根据万有引力提供向心力，有＝mω2·2R，又＝mg，联立可得ω＝，C错误；以地面为参考系，卫星再次出现在同一建筑物上方时建筑物随地球转过的弧度比卫星转过的弧度少2π，即 ωΔt－ω0Δt＝2π，解得Δt＝，D正确。
4．(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月 8日之前
B 解析：火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，那么此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量之比及半径之比，因此无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；由于火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，则ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日，则有t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
5．(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( )
A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
B 解析：由于恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，而不同位置向心加速度一般不同，故不同位置重力加速度的大小和方向一般不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为0，万有引力全部提供重力加速度，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得＝m，整理得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式m星＝R3ρ得R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝2G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，故可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。
6．(2024·江西卷)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是( )
A. ＝，＝ B. ＝，＝
C. ＝，＝ D. ＝，＝
A 解析：探测器环月运行，由万有引力提供向心力有G＝m，得v2＝，其中m月为月球质量，m为“嫦娥六号”质量，动能Ek＝mv2，可得＝，B、D错误；同理，由G＝mr得T＝，可得＝，A正确，C错误。
7．2023年5月30日16时29分，“神舟十六号”载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱径向端口。若对接前“神舟十六号”和空间站分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上绕同一方向做匀速圆周运动，圆周运动的半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A. 地球的密度约为
B. “神舟十六号”与空间站的线速度之比为
C. “神舟十六号”与空间站的向心加速度之比为
D. 从相距最远到相距最近的最短时间为
D 解析：在地球表面，忽略地球的自转，物体所受的万有引力提供重力，有G＝mg，根据体积公式V＝πR3，密度公式ρ＝，联立得ρ＝，A错误；由万有引力提供向心力有G＝，线速度v＝，“神舟十六号”与空间站的线速度之比＝×＝，B错误；由万有引力提供向心力有G＝ma ，向心加速度a＝，“神舟十六号”与空间站的向心加速度之比＝×＝，C错误；由万有引力提供向心力有G＝，由于Gm地＝gR2，解得周期T＝，根据题意知，“神舟十六号”和空间站从相距最远到相距最近，转过的角度差Δθ＝t＝π，代入数据，解得最短时间t＝，D正确。
8．现将火星和水星的运行轨道看成圆轨道，如图所示。火星和水星的公转周期分别为T1、T2，火星和水星的公转半径分别为R1、R2。则过点的直线的图像为( )
D 解析：根据开普勒第三定律＝，可得＝，则lg ＝lg ，可得lg ＝－lg ，可知过点的直线图像的斜率为－，D正确，A、B、C错误。
9．(2024·广东卷)(多选)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞，在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A. 该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B. 该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C. “背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D. “背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
AC 解析：设地球的质量为m地，半径为R，行星的质量为m行，半径为R′，在地球表面可近似看作物体所受重力等于其所受万有引力，有＝mg，得g＝，同理得g′＝，可得行星表面重力加速度大小为g′＝g＝×22×10 m/s2＝4 m/s2，A正确；由笫一宇宙速度公式v＝可得该行星的第一宇宙速度为v′＝×7.9 km/s＝×7.9 km/s，B错误；根据题述可知，探测器、背罩通过弹性轻绳连接降落伞，接近某行星表面时以 v＝60 m/s 的速度竖直匀速下落，可知所受拉力F＝(m探＋m背)g′＝4 200 N，“背罩分离”后瞬间，由牛顿第二定律有F－m背g′＝m背a，解得背罩的加速度大小为a＝80 m/s2，C正确；“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为P＝m探g′v＝1 000×4×60 W＝240 000 W＝240 kW，D错误。
10．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则 T1∶T2为( )
A. B．
C. D．
D 解析：第一种形式下，星体A受到星体B和星体C的万有引力，它们的合力充当向心力，则有 G＋G＝mR，解得T1＝4πR；第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为 R′＝，星体A受的合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T2＝2πr，则 T1∶T2＝，故选D。
11．(多选)如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，不考虑其他天体对该系统的影响，两者绕共同的圆心C点(图中未画出)做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在如图所示拉格朗日点的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变，不考虑航天器对“地月双星系统”的影响。已知地球质量为m地，月球质量为m月，地球与月球球心距离为d。下列说法正确的是( )
A. 位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度大于月球的向心加速度
B. 地月双星系统的周期为T＝2π
C. 圆心C点在地球和月球的连线上，与地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D. 该拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式＋＝G
ABD 解析：位于拉格朗日点且绕C点稳定运行的航天器的周期与双星系统中地球的周期相同，根据a＝2r可知，离C点越远，加速度越大，则位于拉格朗日点且绕C点稳定运行的航天器的向心加速度大于月球的向心加速度，故A正确；设双星系统中，月球轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，对月球有G＝m月r1，对地球有G＝m地r2，又d＝r1＋r2，联立解得T＝2π，故B正确；由G＝m月r1，G＝m地r2，可得＝，即圆心C点在地球和月球的连线上，到地球和月球球心的距离之比等于地球和月球质量的反比，故C错误；根据＝，d＝r1＋r2，可得月球与圆心C点的距离为r1＝，航天器在月球和地球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0，则G＋G＝m0·，即＋＝G·，故D正确。
12．(2023·北京卷)螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为m总，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
(1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为0，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系。
(3)科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围(r>R)存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r＝nR内暗物质的质量m′。
解析：(1)由万有引力定律和向心力公式有
G＝m
解得v＝。
(2)在r≤R内部，星体的总质量
m0＝·πr3＝
由万有引力定律和向心力公式有G＝m
解得v＝r。
(3)对处于半径为R的球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G＝m
对处于r＝nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G＝m
解得m′＝(n－1)m总。
答案：(1)v＝ (2)v＝r
(3)(n－1)m总
13．2024年11月4日，圆满完成任务的三名航天员乘坐“神舟十八号”飞船从空间站顺利返回地面。某颗卫星的返回回收过程可简化如下：如图所示，轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似等于地球半径；轨道2是位于与轨道1同一平面内的中圆地球轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从轨道2进入转移轨道，再从转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。
(1)求该卫星在轨道2上运行的动能Ek。
(2)卫星在地球周围的引力场中具有的势能叫作引力势能，若把无穷远处定为引力势能的零势能点，则质量为m的卫星在距地心r处的引力势能表达式为Ep＝－，m地为地球质量(未知)。试求该卫星从轨道2经两次变轨到轨道1的过程中，制动力做的功。
解析：(1)根据地面附近万有引力等于重力，有
＝mg
可得Gm地＝gR2
在轨道2上运行时，根据万有引力提供向心力，有＝m
又Ek＝mv
联立可得Ek＝mgR。
(2)卫星在轨道1上运行时，根据万有引力提供向心力，有＝m
又由于Gm地＝gR2，E′k＝mv
联立可得卫星在轨道1上运行的动能为E′k＝mgR
根据引力势能定义可得，卫星在轨道1上的引力势能Ep1＝－＝－mgR
卫星在轨道2上的引力势能
Ep2＝－＝－mgR
设制动力做的功为W，卫星由轨道2变轨到轨道1的整个过程，由功能关系可知，制动力做的功等于卫星机械能的变化量，即
W＝(Ep1＋E′k)－(Ep2＋Ek)
解得W＝－mgR。
答案：(1)mgR (2)－mgR
14．随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作半径为R的球体。以下情境中，在计算万有引力时地球可看作质量集中在地心的质点。
(1)已知地球两极的重力加速度为g1，赤道的重力加速度为g2，求地球自转的角速度ω。
(2)某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g1都没变，但赤道的重力加速度由g2略微减小为g3，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径。求同步卫星调整后的轨道半径r′与原来的轨道半径r的比值。
解析：(1)设地球的质量为m地，对于质量为m的物体，在两极，有＝mg1
在赤道，根据牛顿第二定律有
－mg2＝mω2R
联立两式可得ω＝。
(2)设地震后地球自转的角速度为ω′，根据牛顿第二定律有－mg3＝mω′2R
设地球同步卫星的质量为m′，根据牛顿第二定律，地震前有
＝m′ω2r
地震后有＝m′ω′2r′
联立以上各式可得＝。
答案：(1) (2)
