专题限时评价(四)
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1．(2024·全国甲卷节选)一列简谐横波沿x轴传播，周期为2 s，t＝0时刻的波形曲线如图所示，此时介质中质点b向y轴负方向运动，下列说法正确的是________。(填正确答案标号)
A. 该波的波速为1.0 m/s
B. 该波沿x轴正方向传播
C. t＝0.25 s时质点a和质点c的运动方向相反
D. t＝0.5 s时介质中质点a向y轴负方向运动
E. t＝1.5 s时介质中质点b的速率达到最大值
ACD 解析：由题图可知该波的波长λ＝2 m，由题知该波的周期T＝2 s，所以波速v＝＝1.0 m/s，A正确；t＝0 时，质点b向y轴负方向运动，由质点运动方向与波的传播方向的关系可知，波沿x轴负方向传播，B错误；由波形曲线可知，a、c两质点相距半波长，所以两质点运动方向总是相反的，C正确；t＝0时刻，质点a在波峰位置，经过t＝0.5 s＝T，质点a经平衡位置向y轴负方向运动，D正确；t＝0时刻，质点b由平衡位置沿y轴负方向运动，由简谐运动规律可知，经t＝1.5 s＝T，质点b达到波峰位置，速率为0，E错误。
2．(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
甲
乙
A. t＝0时，弹簧弹力为0
B. t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C. 从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D. a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
D 解析：由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；T＝0.8 s，ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
3．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是( )
A. 单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π
B. 摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为F＝m
C. 若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
D. 若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化
C 解析：单摆沿斜面的等效重力加速度为g′＝gsin α，所以单摆摆动的周期为T＝2π＝2π，故A错误；回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，则摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误；若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，此时单摆沿斜面的等效重力加速度为g″＝gsin α＋，所以单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π＝2π，振动周期减小，故C正确；若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，小球在摆动过程中受到的洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，则周期不改变，故D错误。
4．(2024·浙江卷1月选考)如图甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图乙所示，则( )
甲
乙
A. t1时刻小球向上运动
B. t2时刻光源的加速度向上
C. t2时刻小球与影子相位差为π
D. t3时刻影子的位移为5A
D 解析：在振动图像中斜率表示振动物体的速度，t1时刻小球的振动图像斜率为负，则该时刻小球向下运动，A错误；简谐运动的回复力F回＝－kx，可知回复力的方向和位移方向相反，即加速度方向与位移方向相反，t2时刻光源的位移为正，所以加速度为负，即方向向下，B错误；由题意可知，小球处于最高点时，影子也在最高点，小球处于最低点时，影子也在最低点，即影子和小球是同步的，所以影子和小球的相位差为0，C错误；如图所示，根据相似三角形相似比有＝，解得A′＝5A，D正确。
5．(2024·青岛模拟)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，t＝0时刻小球位于O点，t1＝2 s时小球首次位于P点，t2＝16 s时小球也位于P点，且与t1时刻速度方向相反。已知P、O两点不重合，则该小球做简谐运动的周期可能为( )
A. 7 s B． 12 s
C. 4 s D． s
B 解析：假设P点在O点的左侧，小球向左运动，由＞2 s，得T＞8 s，设经过时间t小球由P点首次运动到最左端，有2t＋nT＝14 s，t＋2 s＝，解得T＝ s，可知n仅能取0或1，当n＝0时，T＝36 s，当n＝1时，T＝12 s；假设P点在O点的右侧，小球向左运动，有<2 s＜T，解得 s＜T<4 s，设经过时间t小球由P点首次运动到最右端，有2t＋nT＝14 s，t＋2 s＝，解得T＝ s，仅当n＝4时有解，此时T＝ s，或者满足nT＝14 s，可知n仅能取4或5，当n＝4时，T＝ s，当n＝5 s时，T＝ s，故选B。
6．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P是介质中的质点，则下列说法正确的是( )
A. 这列波的波速可能为50 m/s
B. 质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C. 若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
D. 若周期T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，则质点c的振动方程为y＝0.1sin (πt) cm
AC 解析：由波形图可知波长λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，解得T＝ s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，故A正确；由传播方向沿x轴正方向可知，质点a在t时刻向上运动，当 n＝0时，T＝0.8 s，则质点a在0.6 s内通过的路程小于 30 cm，当n＝1时，T＝ s，质点a在这段时间内通过的路程大于 30 cm，故B错误；若T＝0.8 s，t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移均为负值，且大小相等，故C正确；若T＝0.8 s，从t＋0.4 s 时刻开始计时，则质点c的振动方程为 y＝0.1cos m，故D错误。
7．(2023·湖南卷)如图甲，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直于AB。t＝0时刻，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图乙所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 这三列波的波速均为2 m/s
B. t＝2 s时，D处的质点开始振动
C. t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D. t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
C 解析：由题图乙的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝＝1 m/s，A错误。由题图甲可知，D处距离最近的波源3 m，开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误。由几何关系可知AD＝BD＝5 m，A、B处的波源产生的横波传播到D处所需的时间为tA＝tB＝＝5 s，故t＝4.5 s时，仅C处波源的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知，此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确。t＝6 s时，C处波源的横波传播到D处后持续振动的时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知，此时C处横波波源的波谷传播到D处；t＝6 s时，A、B处波源的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tA＝1 s，由振动图像可知，此时A、B处横波波源的波峰传播到D处；根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。
8．如图所示，学校人工湖水面上x1＝－5 m和x2＝5 m处有两个稳定的振源S1、S2，它们的振动频率相同且步调一致，在水面上产生了两列波长均为0.3 m、振幅分别为3 cm和5 cm的水波，一段时间后水面上形成了稳定的干涉图样，下列说法正确的是( )
A. 水波遇到湖中假山时能绕过假山传播到它的后方
B. x轴上x＝6 m处的质点振幅小于8 cm
C. y轴上y＝1 m处的质点会随水波传播到y＝5 m处
D. 图中方程为－＝1的曲线上的A点为振动减弱点
B 解析：假山尺寸远大于水波波长，水波遇到湖中假山时，假山后方不能观察到明显的衍射现象，故A错误；两波源到x轴上x＝6 m位置的路程差为Δx＝(6＋5) m－(6－5) m＝10 m＝λ，故该处不是振动加强点，质点振幅小于8 cm，故B正确；机械波是将波源的振动形式向远处传播，质点不随波迁移，则y轴上y＝1 m处的质点不会运动到y＝5 m处，故C错误；设A点坐标为(x1，y1)，两波源到A点的路程差为Δx′＝－，根据坐标(x1，y1)满足双曲线方程有－＝1，联立解得Δx′＝6 m＝20λ，A为振动加强点，故D错误。
9．(多选)一列简谐横波在t＝0时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点Q的平衡位置坐标为xQ＝6 cm，则( )
甲 乙
A. 波向左传播
B. 波的传播速度大小为0.18 m/s
C. 质点Q的振动方程为y＝0.2sin m
D. 质点Q的振动方程为y＝0.2sin m
ABC 解析：由题图乙知，当t＝0时，坐标原点处质点向上运动，结合题图甲可得该波向左传播，故A正确；由题图可知，波长λ＝36 cm＝0.36 m，周期T＝2 s，该波的波速v＝＝0.18 m/s，故B正确；经t＝＝ s，质点Q振动到最大位移处，由ω＝＝π rad/s，φ＝π－π＝π，则质点Q的振动方程为y＝0.2sin m，故C正确，D错误。
10．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1＝1 m及x2＝4 m处两质点的振动图像。下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 波长可能为3 m
B. 波长可能为 m
C. 波速可能为 m/s
D. 波速可能为 m/s
BC 解析：若波沿x轴负方向传播，则x1＝1 m及 x2＝4 m的振动相差时间为Δt1＝T，则有λ1＝3 m，可得λ1＝ m(n＝0,1,2，3，…)，由题图可知T＝4 s，可得对应的波速为v1＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)；同理，若波沿x轴正方向传播，则x1＝1 m及x2＝4 m的振动相差时间为Δt2＝T，则有λ2＝3 m，可得λ2＝ m(n＝0，1,2,3，…)，可得对应的波速为v2＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)，故A错误，B正确。结合A、B项分析可知，波速不可能为 m/s，当波沿x轴正方向传播，且n＝1时，v＝ m/s，故C正确，D错误。
11．(多选)一列简谐横波沿直线传播，a、b为该直线上平衡位置相距为9 m的两质点，a质点的振动方程为y＝Acos ，b质点的振动方程为y＝－Asin ，下列描述某时刻该波的图像可能正确的是( )
AD 解析：根据两质点的振动方程可知，当a质点在正向最大位移处时，b质点在平衡位置，故有λ＋λ·n＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，即λ＝ m(n＝0,1,2，3，…)，可知波长可能为36 m，12 m， m， m,4 m，…，结合图像，A、D正确。
12．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，O点为波源，波源的振动周期T＝0.1 s，t＝0时刻波形图如图所示，则( )
A. t＝0时，P点速度沿y轴负方向
B. t＝0.012 5 s时，P点的坐标为(0.1 m， cm)
C. Q点起振方向沿y轴正方向
D. t＝0.225 s时，Q点第一次到达波峰
BD 解析：t＝0时，P点位于波峰位置，此刻速度为0，故A错误；t＝0时，P点位于波峰位置，此刻质点P的位移最大，则可将质点P的振动方程表示为y＝Acos ωt，式中A＝5 cm，ω＝＝20π rad/s，即y＝5cos (20πt) cm，将时间t＝0.012 5 s代入方程，可得质点P在这一时刻的纵坐标为y＝ cm，由此可知质点P在该时刻的坐标为，故B正确；该波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知该波的起振方向沿着y轴负方向，而在波的传播方向上的任意质点的起振方向都和波源的起振方向相同，因此Q点起振方向应该沿y轴负方向，故C错误；波的传播速度为v＝＝＝4 m/s，从t＝0时刻开始，设波传播到Q点的时间为t1，则有t1＝＝ s＝0.15 s，Δt＝t－t1＝0.225 s－0.15 s＝0.075 s，而由题意可知，该波的周期为T＝0.1 s，则t＝0.225 s时，Q点刚好振动了个周期，而其起振方向沿着y轴负方向，可知此刻Q点第一次到达波峰，故D正确。
13．(多选)如图所示，在均匀介质中建立Oxyz三维坐标系，位于x轴上的两个沿z轴方向做简谐运动的波源S1和S2的位置坐标分别为(1 m,0,0)、(4 m，0,0)，两波源S1、S2的振动方程分别为z1＝2sin cm、z2＝3sin cm。已知波源S1和S2形成的简谐横波在介质中的传播速度为1 m/s，关于质点A(2.5 m，3 m，0)和质点B(4 m,4 m,0)，下列说法正确的是( )
A. 质点B离开平衡位置的位移总是大于质点A离开平衡位置的位移
B. 质点A开始振动做简谐运动的振幅为1 cm
C. 两波源S1、S2振动5 s后，质点B的振动能量大于质点A的振动能量
D. 两波源S1、S2振动5 s后，质点A的振动总是加强，质点B的振动总是减弱
BC 解析：由振动方程知T＝＝2 s，由简谐波在介质中的传播速度为1 m/s，可知λ＝vT＝2 m，质点A到波源S1和S2的路程相等，由于波源的振动步调相差半个周期，则A是振动减弱点，质点B到S1的距离为5 m，到S2的距离为4 m，所以到两波源的路程差为1 m，质点B是振动加强点，根据波源到质点的距离关系可知，质点A、B的振动步调不一致，则可知质点B离开平衡位置的位移并非总是大于质点A离开平衡位置的位移，故A、D错误；根据质点A为振动减弱点可知，质点A开始振动做简谐运动的振幅为3 cm－2 cm＝1 cm，故B正确；两质点都开始振动5 s后，质点B是振动加强点，质点A是振动减弱点，因此质点B的振动能量大于质点A的振动能量，故C正确。
14．(2023·全国甲卷)分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)。
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
解析：(1)根据Δx＝vt得，Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，根据上下坡法可得波形图如图所示。
(2)两列波在图示范围内任一位置的路程差为
Δx＝|(10 m－x)－x|(0根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动步调相差半个周期，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
Δx＝(n＝0,1,2，…)
解得振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m
振动减弱点的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)
解得振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
答案：见解析
15．如图甲所示，在某种均匀介质中A、B、C是三角形的三个顶点，其中AC长x1＝3.25 m，BC长x2＝1 m。两个波源分别位于A、B两点，且同时从t＝0时刻开始振动，它们的振动图像如图乙所示，已知位于A点的波源产生波的波长 λA＝2 m。求：
(1)位于B点的波源产生波的波长；
(2)从t＝0时刻开始，C点的位移第一次为－7 cm的时刻。
甲 乙
解析：(1)横波在同种介质中的传播速度相同，从题中图像可知，A点的波源振动周期为0.4 s，又波长λA＝2 m，则波速为
v＝＝ m/s＝5 m/s
则B点的波源传播速度也为5 m/s；从图像可知，B点的波源振动周期为0.6 s，则波长
λB＝vTB＝5×0.6 m＝3 m。
(2)根据波的叠加，结合图像可知，要让C点的位移为－7 cm，则必须是两个波的波谷同时传到了C点的位置，对于A点波源而言，波谷传到C点位置需要的时间为t1＝(n＝0,1,2，…)
代入数据得t1＝ s＝(0.4n＋0.95) s(n＝0,1,2，…)
同理可得，B波的波谷传到C点位置需要的时间为
t2＝(m＝0,1,2，…)
代入数据得t2＝ s＝(0.6m＋0.35) s(m＝0,1,2，…)
当t1＝t2时，解得3m－2n＝3
则C点的位移第一次为－7 cm的时刻对应n＝0，m＝1
即t＝0.95 s。
答案：(1)3 m (2)0.95 s(共42张PPT)
板块一 力学
命题区间四 机械振动和机械波
近三年山东高考考情分析 备考建议
命题点 2022年 2023年 2024年 1.该部分在高考中往往以选择题形式出现，首先抓基础，理解振动、波动并加以区分，特别是它们的周期性。
2．加强热点学习，振动和波动的综合、波的多解性是该部分的热点。
3．不要忽视波的干涉，特别是求叠加位移和路程。
振动方程
振动和波动图像 √ √ √
波的多解性 √ √
波的干涉、衍射
近三年山东已考命题点
01
A. t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B. t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C. t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D. t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
(2024·山东卷)(多选)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻二者在x＝2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是( )
命题点一 振动方程 振动和波动图像
√
√
看到什么 想到什么
两列波相向传播 波传播的距离
某一时刻质点的位移 波的叠加
某一时刻质点的运动方向 波的传播方向和质点的振动方向的互判
BC 解析：t＝0.5 s时，甲、乙两列波传播的距离均为x＝vt＝1 m，则x＝3 m处和x＝1 m处的波的振动形式同时传播到P点，由波的叠加知，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，故B正确，A错误；同理，t＝1 s时，甲、乙两列波传播的距离均为x＝vt＝2 m，则x＝4 m处和x＝0处的波的振动形式同时传播到P点，由同侧法知，t＝0时，x＝4 m处和x＝0处质点的振动方向均向y轴正方向，由波的叠加知，t＝1 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。
1．判断波的传播方向与质点的振动方向的三种常见方法
(1)上下坡法：沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动。
(2)同侧法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧。
2．“一分、一看、二找”分析波动图像与振动图像综合类问题
√
D 解析：由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源的振动刚好传到波形图坐标为一个波长的位置，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图。
√
A. 该波沿x轴负方向传播
B. 该波的波速为10 m/s
D. t＝0.6 s时，N向y轴负方向振动
3．(2024·威海模拟)(多选)一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.4 s时的波形图如图甲所示。M、N分别是平衡位置在x1＝2.0 m和x2＝4.5 m处的两个质点，图乙为质点M的振动图像，下列说法正确的是( )
√
√
(2022·山东卷)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
命题点二 波的多解性
√
√
1．振动图像与波动图像的比较
振动图像 波动图像
图像
物理
意义 表示某质点_________的位移 表示某时刻各质点的位移
各时刻
振动图像 波动图像
图像
信息 (1)质点振动______；
(2)质点______；
(3)各时刻质点位移；
(4)各时刻速度、加速度和______ (1)波长、振幅；
(2)任意一质点在该时刻的位移；
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向；
(4)____________与____________的互判
图像
变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
周期
振幅
方向
传播方向
振动方向
12 s
下
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确；
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定；
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的隐
含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，产生多解性
2.解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的时间关系或距离关系，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。
1．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s 时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是( )
√
√
A. 最小波长为2 m
C. 最大波速为3.75 m/s
2．(2024·重庆卷)(多选)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m，则( )
√
√
近三年山东未考命题点
02
(2023·浙江卷6月选考)如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度与声波振幅的平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
命题点 波的干涉、衍射
A. 声波的波长λ＝15 cm
B. 声波的波长λ＝30 cm
C. 两声波的振幅之比为3∶1
D. 两声波的振幅之比为2∶1
√
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
(2)当两波源振动步调相反时
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
2．波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
A. 两列波的波长均为2L
B. M点振动的总路程为6A
C. 两列波相遇后，波速均发生改变
D. 若两波源一直振动，P和Q连线上的振动加强点始终处于波峰或波谷位置
1．(2024·菏泽模拟)在同一水平面上有两个波源P和Q，沿垂直水平面方向同时开始振动，振幅分别为A和2A，经过半个周期，P和Q同时停止振动，此时C点处于波峰位置，D点处于波谷位置。一段时间后，M点先后出现了两次振动，PC＝QD＝L，PM＝3L，QM＝5L，则( )
√
M会到达平衡位置，因此M振动经过的总路程为s＝2×A＋2×2A＝6A，故B正确。在同一介质中传播，两列波相遇后，波速均不发生改变，故C错误。振动加强点是波峰和波峰或波谷和波谷的叠加，经过半个周期后，加强点将从波峰叠加变为波谷叠加(或从波谷叠加变为波峰叠加)，所以必须经过平衡位置，因此若两波源一直振动，P和Q连线上的振动加强点不是始终处于波峰或波谷位置，故D错误。
2．(2024·江西卷)如图甲所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图乙、丙所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是( )
A. 振动减弱；d＝4.725 mm B. 振动加强；d＝4.725 mm
C. 振动减弱；d＝9.45 mm D. 振动加强；d＝9.45 mm
√
3．某均匀介质中，波源位于水平面Oxy的坐标原点，t＝0时，波源开始沿垂直于水平面的z轴(z轴正方向竖直向上)的z＝0处开始做简谐运动，振动方程为z＝4sin (10πt) cm。Oxy水平面上P点的坐标是(9 m，12 m)，Q点的坐标是(0,12 m)。经时间t0，在－6 m≤x≤6 m、－6 m≤y≤6 m 区域中第二次形成如图所示波面分布图(实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷)。
(1)求波速v和时间t0。
(2)若在Q点放一个也沿z轴方向做简谐运动的波源，其振动方程为z＝6sin (10πt＋π) cm，求振动稳定后P点在0.6 s内经过的路程。
则T＝0.2 s
由波面图可知波长λ＝6 m
(2)根据几何关系可知，P点与波源O点的距离为15 m，则OP＝2.5λ；P点与Q点的距离为9 m，则QP＝1.5λ，该波源引起的波的频率、波长与O点的波的频率和波长都相等，由OP－QP＝λ，且两波源起振方向相反可知，两波在P点的振动减弱，振幅为
A＝6 cm－4 cm＝2 cm
则振动稳定后P点在0.6 s＝3T内经过的路程为
12A＝24 cm。
答案：(1)30 m/s 0.45 s (2)24 cm近三年山东高考考情分析 备考建议
命题点 2022年 2023年 2024年 1.该部分在高考中往往以选择题形式出现，首先抓基础，理解振动、波动并加以区分，特别是它们的周期性。 2．加强热点学习，振动和波动的综合、波的多解性是该部分的热点。 3．不要忽视波的干涉，特别是求叠加位移和路程。
振动方程 振动和波动图像 √ √ √
波的多解性 √ √
波的干涉、衍射
振动方程 振动和波动图像
(2024·山东卷)(多选)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻二者在x＝2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是( )
A. t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B. t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C. t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D. t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
BC 解析：t＝0.5 s时，甲、乙两列波传播的距离均为x＝vt＝1 m，则x＝3 m处和x＝1 m处的波的振动形式同时传播到P点，由波的叠加知，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，故B正确，A错误；同理，t＝1 s时，甲、乙两列波传播的距离均为x＝vt＝2 m，则x＝4 m处和x＝0处的波的振动形式同时传播到P点，由同侧法知，t＝0时，x＝4 m处和x＝0处质点的振动方向均向y轴正方向，由波的叠加知，t＝1 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。
看到什么 想到什么
两列波相向传播 波传播的距离
某一时刻质点的位移 波的叠加
某一时刻质点的运动方向 波的传播方向和质点的振动方向的互判
1．判断波的传播方向与质点的振动方向的三种常见方法
(1)上下坡法：沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动。
(2)同侧法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧。
(3)微平移法：将波形图沿传播方向平移Δx，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定。
2．“一分、一看、二找”分析波动图像与振动图像综合类问题
1．(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin ，则t＝T时的波形图为( )
D 解析：由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源的振动刚好传到波形图坐标为一个波长的位置，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图。
2．(2023·湖北卷)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－ cm和x＝120 cm处。某时刻b质点的位移为y＝4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )
A 解析：a、b之间的距离为Δx＝ cm＋120 cm＝λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4＝8sin φ，解得φ＝或φ＝(舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可知φa－φ＝·2π＝π，则φa＝π，可知a点此时的位移为y＝8sin φa cm＝4 cm，且向下振动，故选A。
3．(2024·威海模拟)(多选)一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.4 s时的波形图如图甲所示。M、N分别是平衡位置在x1＝2.0 m和x2＝4.5 m处的两个质点，图乙为质点M的振动图像，下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 该波沿x轴负方向传播
B. 该波的波速为10 m/s
C. 从t＝0.4 s到t＝0.6 s，M通过的路程为(20－5) cm
D. t＝0.6 s时，N向y轴负方向振动
BC 解析：由题图可知，t＝0.4 s时，质点M向上振动，根据“上下坡法”可得，该波沿x轴正方向传播，故A错误；波长为6 m，周期为0.6 s，所以v＝＝ m/s＝10 m/s，故B正确；根据质点的振动情况可知，t＝0.4 s时，质点M的纵坐标为5 cm，所以从t＝0.4 s到t＝0.6 s，M通过的路程为s＝[(10－5)＋10] cm＝(20－5) cm，故C正确；t＝0.4 s时，质点N处于负的最大位移处，所以t＝0.6 s时，即经过0.2 s，N向y轴正方向振动，故D错误。
波的多解性
(2022·山东卷)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
AC 解析：由原点O的振动图像可知波的振幅A＝20 cm，周期为T＝12 s，设原点处的质点的振动方程为y＝A·sin ，由t＝0时，y0＝Asin φ＝，解得φ＝，在t＝7 s时，y7＝20sin cm＝－10 cm，由题图可知，t＝7 s 时质点在y轴负方向且向下振动，根据“同侧法”可判断若波沿x轴正方向传播，则波形如C项图所示，若波沿x轴负方向传播，则波形如A项图所示，故A、C正确。
1．振动图像与波动图像的比较
振动图像 波动图像
图像
物理 意义 表示某质点各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像 信息 (1)质点振动周期； (2)质点振幅； (3)各时刻质点位移； (4)各时刻速度、加速度和方向 (1)波长、振幅； (2)任意一质点在该时刻的位移； (3)任意一质点在该时刻的加速度方向； (4)传播方向与振动方向的互判
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
2.由题可知该波T＝12 s，原点处质点的振动方程为y＝20sin cm，由此可知t＝7 s 时y＝－10 cm，即质点在y轴负方向且向下振动。
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确； (2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定； (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的隐 含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，产生多解性
2.解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的时间关系或距离关系，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。
1．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s 时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是( )
AC 解析：简谐横波的传播方向不确定，所以需要考虑简谐横波传播方向的不确定性。若简谐横波沿x轴正方向传播，则在t1＝2 s时O处质点振动方向竖直向上，传播时间Δt＝t2－t1＝3 s满足Δt＝T＋nT(n＝0,1,2，3，…)，解得T＝ s(n＝0,1,2,3，…)，当n＝0时，解得周期T＝4 s，A正确，B错误；若简谐横波沿x轴负方向传播，则在 t2＝5 s 时O处质点位于波谷，且Δt＝T＋nT(n＝0,1,2，3，…)，解得T＝ s(n＝0,1,2,3，…)，当n＝0时，解得周期 T＝12 s，C正确，D错误。
2．(2024·重庆卷)(多选)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m，则( )
甲 乙
A. 最小波长为2 m
B. 频率为 Hz
C. 最大波速为3.75 m/s
D. 从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为 cm
BD 解析：根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y ＝ sin (ωt＋φ)，代入点和(2,0)，解得φ＝，ω＝，可得T ＝ 2.4 s，f＝ Hz，故B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，
若波沿x轴正方向传播则为Q点，沿x轴负方向传播则为P点，则波长可能满足λ＝3 m，即λ ＝ 18 m，或λ′＝3 m，即λ′＝ 9 m，故A错误；根据v＝，可得v＝7.5 m/s，v′＝ 3.75 m/s，故C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程s＝ cm＝ cm，故D正确。
波的干涉、衍射
(2023·浙江卷6月选考)如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度与声波振幅的平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
A. 声波的波长λ＝15 cm
B. 声波的波长λ＝30 cm
C. 两声波的振幅之比为3∶1
D. 两声波的振幅之比为2∶1
C 解析：分析可知A、B两管等长时，O处声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，根据题意设声波加强时振幅为20单位，声波减弱时振幅为10单位，则有A1＋A2＝20单位，A1－A2＝10单位，可得两声波的振幅之比＝，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得 λ＝60 cm，故A、B错误。
看到什么 想到什么
A、B两管等长 Δx＝0，振动加强
第一次声波强度最小 Δx1＝d＝，振动减弱
声波强度与声波振幅的平方成正比 A1＋A2＝20单位 A1－A2＝10单位
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
2．波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
1．(2024·菏泽模拟)在同一水平面上有两个波源P和Q，沿垂直水平面方向同时开始振动，振幅分别为A和2A，经过半个周期，P和Q同时停止振动，此时C点处于波峰位置，D点处于波谷位置。一段时间后，M点先后出现了两次振动，PC＝QD＝L，PM＝3L，QM＝5L，则( )
A. 两列波的波长均为2L
B. M点振动的总路程为6A
C. 两列波相遇后，波速均发生改变
D. 若两波源一直振动，P和Q连线上的振动加强点始终处于波峰或波谷位置
B 解析：由于波源只振动了半个周期，可以判断得出波源P起振方向垂直水平面向上，首先波源用T到达最大位移处，然后再用T将波峰状态传播到C点；波源Q起振方向垂直水平面向下，首先波源用T到达最大位移处，然后再用T将波谷状态传播到D点，因此λ＝L，解得两列波的波长均为λ＝4L，故A错误。因为质点M到两波源的路程差为5L－3L＝2L，当左侧波峰到达M点时右侧波还未传到M点，M会到达＋A位置，当右侧波谷传播到达M点时左侧波已完全通过M点，则M会到达－A位置，随后两波均通过M点，M会到达平衡位置，因此M振动经过的总路程为s＝2×A＋2×2A＝6A，故B正确。在同一介质中传播，两列波相遇后，波速均不发生改变，故C错误。振动加强点是波峰和波峰或波谷和波谷的叠加，经过半个周期后，加强点将从波峰叠加变为波谷叠加(或从波谷叠加变为波峰叠加)，所以必须经过平衡位置，因此若两波源一直振动，P和Q连线上的振动加强点不是始终处于波峰或波谷位置，故D错误。
2．(2024·江西卷)如图甲所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图乙、丙所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是( )
A. 振动减弱；d＝4.725 mm
B. 振动加强；d＝4.725 mm
C. 振动减弱；d＝9.45 mm
D. 振动加强；d＝9.45 mm
A 解析：根据题图乙可知，超声波的传播周期T＝2×10－7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ ＝vT＝1.26×10－3 m，结合题图乙和题图丙可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10－6 s，故两个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10－3 m＝λ，解得d＝4.725×10－3 m，t＝1.5×10－6 s时，两波发生干涉，振动方向相反，故两个反射信号在探头处振动减弱，A正确。
3．某均匀介质中，波源位于水平面Oxy的坐标原点，t＝0时，波源开始沿垂直于水平面的z轴(z轴正方向竖直向上)的z＝0处开始做简谐运动，振动方程为z＝4sin (10πt) cm。Oxy水平面上P点的坐标是(9 m，12 m)，Q点的坐标是(0,12 m)。经时间t0，在－6 m≤x≤6 m、－6 m≤y≤6 m 区域中第二次形成如图所示波面分布图(实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷)。
(1)求波速v和时间t0。
(2)若在Q点放一个也沿z轴方向做简谐运动的波源，其振动方程为z＝6sin (10πt＋π) cm，求振动稳定后P点在0.6 s内经过的路程。
解析：(1)根据振动方程z＝4sin (10πt) cm可知，O点的起振方向为正方向，振幅为4 cm，因为ω＝＝10π rad/s
则T＝0.2 s
由波面图可知波长λ＝6 m
则波速v＝＝ m/s＝30 m/s
由于波源的起振方向向上，则在－6 m≤x≤6 m、－6 m≤y≤6 m区域中第二次形成如题图所示波面分布图时，波前已经到达x＝13.5 m处，波源已经振动t0＝T，则题图中波面分布图的形成时间t0＝0.45 s。
(2)根据几何关系可知，P点与波源O点的距离为15 m，则OP＝2.5λ；P点与Q点的距离为9 m，则QP＝1.5λ，该波源引起的波的频率、波长与O点的波的频率和波长都相等，由OP－QP＝λ，且两波源起振方向相反可知，两波在P点的振动减弱，振幅为
A＝6 cm－4 cm＝2 cm
则振动稳定后P点在0.6 s＝3T内经过的路程为
12A＝24 cm。
答案：(1)30 m/s 0.45 s (2)24 cm
专题限时评价(四)
(建议用时：60分钟)
1．(2024·全国甲卷节选)一列简谐横波沿x轴传播，周期为2 s，t＝0时刻的波形曲线如图所示，此时介质中质点b向y轴负方向运动，下列说法正确的是________。(填正确答案标号)
A. 该波的波速为1.0 m/s
B. 该波沿x轴正方向传播
C. t＝0.25 s时质点a和质点c的运动方向相反
D. t＝0.5 s时介质中质点a向y轴负方向运动
E. t＝1.5 s时介质中质点b的速率达到最大值
ACD 解析：由题图可知该波的波长λ＝2 m，由题知该波的周期T＝2 s，所以波速v＝＝1.0 m/s，A正确；t＝0 时，质点b向y轴负方向运动，由质点运动方向与波的传播方向的关系可知，波沿x轴负方向传播，B错误；由波形曲线可知，a、c两质点相距半波长，所以两质点运动方向总是相反的，C正确；t＝0时刻，质点a在波峰位置，经过t＝0.5 s＝T，质点a经平衡位置向y轴负方向运动，D正确；t＝0时刻，质点b由平衡位置沿y轴负方向运动，由简谐运动规律可知，经t＝1.5 s＝T，质点b达到波峰位置，速率为0，E错误。
2．(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
甲
乙
A. t＝0时，弹簧弹力为0
B. t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C. 从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D. a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
D 解析：由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；T＝0.8 s，ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
3．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是( )
A. 单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π
B. 摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为F＝m
C. 若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
D. 若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化
C 解析：单摆沿斜面的等效重力加速度为g′＝gsin α，所以单摆摆动的周期为T＝2π＝2π，故A错误；回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，则摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误；若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，此时单摆沿斜面的等效重力加速度为g″＝gsin α＋，所以单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π＝2π，振动周期减小，故C正确；若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，小球在摆动过程中受到的洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，则周期不改变，故D错误。
4．(2024·浙江卷1月选考)如图甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图乙所示，则( )
甲
乙
A. t1时刻小球向上运动
B. t2时刻光源的加速度向上
C. t2时刻小球与影子相位差为π
D. t3时刻影子的位移为5A
D 解析：在振动图像中斜率表示振动物体的速度，t1时刻小球的振动图像斜率为负，则该时刻小球向下运动，A错误；简谐运动的回复力F回＝－kx，可知回复力的方向和位移方向相反，即加速度方向与位移方向相反，t2时刻光源的位移为正，所以加速度为负，即方向向下，B错误；由题意可知，小球处于最高点时，影子也在最高点，小球处于最低点时，影子也在最低点，即影子和小球是同步的，所以影子和小球的相位差为0，C错误；如图所示，根据相似三角形相似比有＝，解得A′＝5A，D正确。
5．(2024·青岛模拟)一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，t＝0时刻小球位于O点，t1＝2 s时小球首次位于P点，t2＝16 s时小球也位于P点，且与t1时刻速度方向相反。已知P、O两点不重合，则该小球做简谐运动的周期可能为( )
A. 7 s B． 12 s
C. 4 s D． s
B 解析：假设P点在O点的左侧，小球向左运动，由＞2 s，得T＞8 s，设经过时间t小球由P点首次运动到最左端，有2t＋nT＝14 s，t＋2 s＝，解得T＝ s，可知n仅能取0或1，当n＝0时，T＝36 s，当n＝1时，T＝12 s；假设P点在O点的右侧，小球向左运动，有<2 s＜T，解得 s＜T<4 s，设经过时间t小球由P点首次运动到最右端，有2t＋nT＝14 s，t＋2 s＝，解得T＝ s，仅当n＝4时有解，此时T＝ s，或者满足nT＝14 s，可知n仅能取4或5，当n＝4时，T＝ s，当n＝5 s时，T＝ s，故选B。
6．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P是介质中的质点，则下列说法正确的是( )
A. 这列波的波速可能为50 m/s
B. 质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C. 若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
D. 若周期T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，则质点c的振动方程为y＝0.1sin (πt) cm
AC 解析：由波形图可知波长λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，解得T＝ s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，故A正确；由传播方向沿x轴正方向可知，质点a在t时刻向上运动，当 n＝0时，T＝0.8 s，则质点a在0.6 s内通过的路程小于 30 cm，当n＝1时，T＝ s，质点a在这段时间内通过的路程大于 30 cm，故B错误；若T＝0.8 s，t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移均为负值，且大小相等，故C正确；若T＝0.8 s，从t＋0.4 s 时刻开始计时，则质点c的振动方程为 y＝0.1cos m，故D错误。
7．(2023·湖南卷)如图甲，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直于AB。t＝0时刻，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图乙所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 这三列波的波速均为2 m/s
B. t＝2 s时，D处的质点开始振动
C. t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D. t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
C 解析：由题图乙的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝＝1 m/s，A错误。由题图甲可知，D处距离最近的波源3 m，开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误。由几何关系可知AD＝BD＝5 m，A、B处的波源产生的横波传播到D处所需的时间为tA＝tB＝＝5 s，故t＝4.5 s时，仅C处波源的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知，此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确。t＝6 s时，C处波源的横波传播到D处后持续振动的时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知，此时C处横波波源的波谷传播到D处；t＝6 s时，A、B处波源的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tA＝1 s，由振动图像可知，此时A、B处横波波源的波峰传播到D处；根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。
8．如图所示，学校人工湖水面上x1＝－5 m和x2＝5 m处有两个稳定的振源S1、S2，它们的振动频率相同且步调一致，在水面上产生了两列波长均为0.3 m、振幅分别为3 cm和5 cm的水波，一段时间后水面上形成了稳定的干涉图样，下列说法正确的是( )
A. 水波遇到湖中假山时能绕过假山传播到它的后方
B. x轴上x＝6 m处的质点振幅小于8 cm
C. y轴上y＝1 m处的质点会随水波传播到y＝5 m处
D. 图中方程为－＝1的曲线上的A点为振动减弱点
B 解析：假山尺寸远大于水波波长，水波遇到湖中假山时，假山后方不能观察到明显的衍射现象，故A错误；两波源到x轴上x＝6 m位置的路程差为Δx＝(6＋5) m－(6－5) m＝10 m＝λ，故该处不是振动加强点，质点振幅小于8 cm，故B正确；机械波是将波源的振动形式向远处传播，质点不随波迁移，则y轴上y＝1 m处的质点不会运动到y＝5 m处，故C错误；设A点坐标为(x1，y1)，两波源到A点的路程差为Δx′＝－，根据坐标(x1，y1)满足双曲线方程有－＝1，联立解得Δx′＝6 m＝20λ，A为振动加强点，故D错误。
9．(多选)一列简谐横波在t＝0时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点Q的平衡位置坐标为xQ＝6 cm，则( )
甲 乙
A. 波向左传播
B. 波的传播速度大小为0.18 m/s
C. 质点Q的振动方程为y＝0.2sin m
D. 质点Q的振动方程为y＝0.2sin m
ABC 解析：由题图乙知，当t＝0时，坐标原点处质点向上运动，结合题图甲可得该波向左传播，故A正确；由题图可知，波长λ＝36 cm＝0.36 m，周期T＝2 s，该波的波速v＝＝0.18 m/s，故B正确；经t＝＝ s，质点Q振动到最大位移处，由ω＝＝π rad/s，φ＝π－π＝π，则质点Q的振动方程为y＝0.2sin m，故C正确，D错误。
10．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1＝1 m及x2＝4 m处两质点的振动图像。下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 波长可能为3 m
B. 波长可能为 m
C. 波速可能为 m/s
D. 波速可能为 m/s
BC 解析：若波沿x轴负方向传播，则x1＝1 m及 x2＝4 m的振动相差时间为Δt1＝T，则有λ1＝3 m，可得λ1＝ m(n＝0,1,2，3，…)，由题图可知T＝4 s，可得对应的波速为v1＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)；同理，若波沿x轴正方向传播，则x1＝1 m及x2＝4 m的振动相差时间为Δt2＝T，则有λ2＝3 m，可得λ2＝ m(n＝0，1,2,3，…)，可得对应的波速为v2＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)，故A错误，B正确。结合A、B项分析可知，波速不可能为 m/s，当波沿x轴正方向传播，且n＝1时，v＝ m/s，故C正确，D错误。
11．(多选)一列简谐横波沿直线传播，a、b为该直线上平衡位置相距为9 m的两质点，a质点的振动方程为y＝Acos ，b质点的振动方程为y＝－Asin ，下列描述某时刻该波的图像可能正确的是( )
AD 解析：根据两质点的振动方程可知，当a质点在正向最大位移处时，b质点在平衡位置，故有λ＋λ·n＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，即λ＝ m(n＝0,1,2，3，…)，可知波长可能为36 m，12 m， m， m,4 m，…，结合图像，A、D正确。
12．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，O点为波源，波源的振动周期T＝0.1 s，t＝0时刻波形图如图所示，则( )
A. t＝0时，P点速度沿y轴负方向
B. t＝0.012 5 s时，P点的坐标为(0.1 m， cm)
C. Q点起振方向沿y轴正方向
D. t＝0.225 s时，Q点第一次到达波峰
BD 解析：t＝0时，P点位于波峰位置，此刻速度为0，故A错误；t＝0时，P点位于波峰位置，此刻质点P的位移最大，则可将质点P的振动方程表示为y＝Acos ωt，式中A＝5 cm，ω＝＝20π rad/s，即y＝5cos (20πt) cm，将时间t＝0.012 5 s代入方程，可得质点P在这一时刻的纵坐标为y＝ cm，由此可知质点P在该时刻的坐标为，故B正确；该波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知该波的起振方向沿着y轴负方向，而在波的传播方向上的任意质点的起振方向都和波源的起振方向相同，因此Q点起振方向应该沿y轴负方向，故C错误；波的传播速度为v＝＝＝4 m/s，从t＝0时刻开始，设波传播到Q点的时间为t1，则有t1＝＝ s＝0.15 s，Δt＝t－t1＝0.225 s－0.15 s＝0.075 s，而由题意可知，该波的周期为T＝0.1 s，则t＝0.225 s时，Q点刚好振动了个周期，而其起振方向沿着y轴负方向，可知此刻Q点第一次到达波峰，故D正确。
13．(多选)如图所示，在均匀介质中建立Oxyz三维坐标系，位于x轴上的两个沿z轴方向做简谐运动的波源S1和S2的位置坐标分别为(1 m,0,0)、(4 m，0,0)，两波源S1、S2的振动方程分别为z1＝2sin cm、z2＝3sin cm。已知波源S1和S2形成的简谐横波在介质中的传播速度为1 m/s，关于质点A(2.5 m，3 m，0)和质点B(4 m,4 m,0)，下列说法正确的是( )
A. 质点B离开平衡位置的位移总是大于质点A离开平衡位置的位移
B. 质点A开始振动做简谐运动的振幅为1 cm
C. 两波源S1、S2振动5 s后，质点B的振动能量大于质点A的振动能量
D. 两波源S1、S2振动5 s后，质点A的振动总是加强，质点B的振动总是减弱
BC 解析：由振动方程知T＝＝2 s，由简谐波在介质中的传播速度为1 m/s，可知λ＝vT＝2 m，质点A到波源S1和S2的路程相等，由于波源的振动步调相差半个周期，则A是振动减弱点，质点B到S1的距离为5 m，到S2的距离为4 m，所以到两波源的路程差为1 m，质点B是振动加强点，根据波源到质点的距离关系可知，质点A、B的振动步调不一致，则可知质点B离开平衡位置的位移并非总是大于质点A离开平衡位置的位移，故A、D错误；根据质点A为振动减弱点可知，质点A开始振动做简谐运动的振幅为3 cm－2 cm＝1 cm，故B正确；两质点都开始振动5 s后，质点B是振动加强点，质点A是振动减弱点，因此质点B的振动能量大于质点A的振动能量，故C正确。
14．(2023·全国甲卷)分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)。
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
解析：(1)根据Δx＝vt得，Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，根据上下坡法可得波形图如图所示。
(2)两列波在图示范围内任一位置的路程差为
Δx＝|(10 m－x)－x|(0根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动步调相差半个周期，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
Δx＝(n＝0,1,2，…)
解得振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m
振动减弱点的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)
解得振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
答案：见解析
15．如图甲所示，在某种均匀介质中A、B、C是三角形的三个顶点，其中AC长x1＝3.25 m，BC长x2＝1 m。两个波源分别位于A、B两点，且同时从t＝0时刻开始振动，它们的振动图像如图乙所示，已知位于A点的波源产生波的波长 λA＝2 m。求：
(1)位于B点的波源产生波的波长；
(2)从t＝0时刻开始，C点的位移第一次为－7 cm的时刻。
甲 乙
解析：(1)横波在同种介质中的传播速度相同，从题中图像可知，A点的波源振动周期为0.4 s，又波长λA＝2 m，则波速为
v＝＝ m/s＝5 m/s
则B点的波源传播速度也为5 m/s；从图像可知，B点的波源振动周期为0.6 s，则波长
λB＝vTB＝5×0.6 m＝3 m。
(2)根据波的叠加，结合图像可知，要让C点的位移为－7 cm，则必须是两个波的波谷同时传到了C点的位置，对于A点波源而言，波谷传到C点位置需要的时间为t1＝(n＝0,1,2，…)
代入数据得t1＝ s＝(0.4n＋0.95) s(n＝0,1,2，…)
同理可得，B波的波谷传到C点位置需要的时间为
t2＝(m＝0,1,2，…)
代入数据得t2＝ s＝(0.6m＋0.35) s(m＝0,1,2，…)
当t1＝t2时，解得3m－2n＝3
则C点的位移第一次为－7 cm的时刻对应n＝0，m＝1
即t＝0.95 s。
答案：(1)3 m (2)0.95 s
