第六章 计数原理（A卷基础夯实）——高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册单元测试AB卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理（A卷基础夯实）——高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册单元测试AB卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 843.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-03 08:43:27 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理（A卷基础夯实）——高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设,则等于( )
A.1 B.2 C. D.5
2．展开式中,的系数为( )
A.20 B.30 C.25 D.40
3．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A.480 B.600 C.720 D.840
4．展开式中的常数项是( )
A.-160 B.-140 C.160 D.140
5．在的展开式中,含项的系数为( )
A.40 B.64 C.80 D.120
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数x被m整除,设,且,若,则称a与b对模m同余,记为.已知,则( )
A. B.
C. D.
7．王大爷养了3只鸡和2只兔子,晚上关在同一间房子里,清晨打开房门,这些鸡和兔子随机逐一向外走,则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有( )
A.120种 B.72种 C.48种 D.36种
8．已知能被9整除，则整数a的值可以是( )
A.-12 B.-7 C.9 D.13
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是( )
A.若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种
B.若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种
C.若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种
D.若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种
10．若,则m的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11．若,则m的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在的展开式中，常数项为________.
13．的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
14．用1,2,3,4,5,6这六个数字,可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为_____________（用数字作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照.
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种
（2）甲不站排头或排尾,且甲、乙两人相邻的站法共有多少种
16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照.
(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
17．“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意，定义“数”：.利用“数”可定义“阶乘”：，且.也可定义“组合数”：对任意，，，.
（1）计算：.
（2）证明：对于任意，，均有.
（3）证明：对于任意，，，均有.
18．电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
19．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：
A B C D E
甲 10 12 9 12 10
乙 24 25 23 22 22
丙 9 13 14 12 10
丁 6 8 10 8 10
戊 13 15 14 15 11
现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有种__________；效益之和的最大值是__________.
参考答案
1．答案：B
解析：令,则
故.
故选：B.
2．答案：B
解析：展开式中,的项为,
则的系数为30.
故选:.
3．答案：C
解析：依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，
再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，
再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有3种方法，
由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.
故选：C
4．答案：A
解析：展开式通项为，
令，所以，
所以常数项为，
故选：A.
5．答案：C
解析：含项的系数为.
6．答案：D
解析：由二项式定理,得
,
因为能够被7整除,
被7除余3,则,
又2030除以7余0,2031除以7余1,2032除以7余2,2033除以7余3,
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：将两只兔子捆绑,则2只兔子相邻走出房子共有种不同方法.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为
，
又能被9整除，
所以能被9整除，
由选项知当时符合，
当，9或13时均不符合.
故选：B．
9．答案：ACD
解析：对于A项，A，B，C的摆法有种，
D，E，F，G的摆法有种，
所以不同的摆法有6×24=144种，故A项正确；
对于B项，采用插空法，先将D，E，F，G进行全排列，
再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的3个空中，
所以不同的摆法有种，故B项错误；
对于C项，先将D，E，F，G进行全排列，
再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的5个空中，
所以不同的摆法有种，故C项正确；
对于D项，先将A摆在前五的某一个位置，
再将剩下6个进行全排列，
所以不同的摆法有种，故D项正确.
10．答案：BC
解析：因为,所以或,解得或5.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：因为,所以或,解得或5.
故选：BC.
12．答案：672
解析：由题意得，
令，解得，故常数项为.
故答案为：672
13．答案：160
解析：因为展开式的通项
，
所以含的项为第4项，
即，所以的系数是.
故答案为：160
14．答案：60
解析：最后一位数是偶数有：“2”,“4”,“6”,共3种选择,
然后从剩下的五个数中选两个数进行排列,
故所求为.
故答案为：60.
15．答案：（1）72
（2）36
解析：（1）先排丙、丁、戊,有种站法,再插空排甲、乙,有种站法.
故甲、乙两人不相邻的站法共有种.
（2）若乙站在排头或排尾,则有种站法;
若甲、乙都不站排头或排尾,则有种站法;
故甲不站排头或排尾,且甲、乙两人相邻的站法共有种.
16．答案：(1)72
(2)36
解析：(1)先排丙、丁、戊，有种站法.
再插空排甲、乙.有种站法.
故甲、乙两人不相邻的站法共有种.
(2)满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，
则有种站法.
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，
则有种站法.
故甲不站排头或排尾，
且甲、乙两人相邻的站法共有种.
17．答案：（1）155
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由定义可知，
.
（2）易知，
.
又
，
所以.
（3）由定义得，对任意，，，均有.
结合（2）可知
，
即，
所以，
所以，
，
……
，
上述个等式相加得.
18．答案：(1)576；
(2)144；
(3)960
解析：（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，由分步计数原理，共有种排法.
19．答案：78；75
解析：甲不承担C任务，丁不承担A任务的选派方法有：种.
由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，
但不能同时取得，故五项工作后获得的效益值总和最大值小于76，
但当乙承担A，甲承担B，丙承担C，丁承担E，戊承担D，
此时效益值总和为：，效益之和的最大值是75.
故答案为：78；75.
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第六章 计数原理（A卷基础夯实）——高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设,则等于( )
A.1 B.2 C. D.5
2．展开式中,的系数为( )
A.20 B.30 C.25 D.40
3．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A.480 B.600 C.720 D.840
4．展开式中的常数项是( )
A.-160 B.-140 C.160 D.140
5．在的展开式中,含项的系数为( )
A.40 B.64 C.80 D.120
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数x被m整除,设,且,若,则称a与b对模m同余,记为.已知,则( )
A. B.
C. D.
7．王大爷养了3只鸡和2只兔子,晚上关在同一间房子里,清晨打开房门,这些鸡和兔子随机逐一向外走,则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有( )
A.120种 B.72种 C.48种 D.36种
8．已知能被9整除，则整数a的值可以是( )
A.-12 B.-7 C.9 D.13
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是( )
A.若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种
B.若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种
C.若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种
D.若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种
10．若,则m的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11．若,则m的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在的展开式中，常数项为________.
13．的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
14．用1,2,3,4,5,6这六个数字,可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为_____________（用数字作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照.
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种
（2）甲不站排头或排尾,且甲、乙两人相邻的站法共有多少种
16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照.
(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
17．“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意，定义“数”：.利用“数”可定义“阶乘”：，且.也可定义“组合数”：对任意，，，.
（1）计算：.
（2）证明：对于任意，，均有.
（3）证明：对于任意，，，均有.
18．电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
19．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：
A B C D E
甲 10 12 9 12 10
乙 24 25 23 22 22
丙 9 13 14 12 10
丁 6 8 10 8 10
戊 13 15 14 15 11
现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有种__________；效益之和的最大值是__________.
参考答案
1．答案：B
解析：令,则
故.
故选：B.
2．答案：B
解析：展开式中,的项为,
则的系数为30.
故选:.
3．答案：C
解析：依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，
再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，
再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有3种方法，
由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.
故选：C
4．答案：A
解析：展开式通项为，
令，所以，
所以常数项为，
故选：A.
5．答案：C
解析：含项的系数为.
6．答案：D
解析：由二项式定理,得
,
因为能够被7整除,
被7除余3,则,
又2030除以7余0,2031除以7余1,2032除以7余2,2033除以7余3,
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：将两只兔子捆绑,则2只兔子相邻走出房子共有种不同方法.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为
，
又能被9整除，
所以能被9整除，
由选项知当时符合，
当，9或13时均不符合.
故选：B．
9．答案：ACD
解析：对于A项，A，B，C的摆法有种，
D，E，F，G的摆法有种，
所以不同的摆法有6×24=144种，故A项正确；
对于B项，采用插空法，先将D，E，F，G进行全排列，
再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的3个空中，
所以不同的摆法有种，故B项错误；
对于C项，先将D，E，F，G进行全排列，
再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的5个空中，
所以不同的摆法有种，故C项正确；
对于D项，先将A摆在前五的某一个位置，
再将剩下6个进行全排列，
所以不同的摆法有种，故D项正确.
10．答案：BC
解析：因为,所以或,解得或5.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：因为,所以或,解得或5.
故选：BC.
12．答案：672
解析：由题意得，
令，解得，故常数项为.
故答案为：672
13．答案：160
解析：因为展开式的通项
，
所以含的项为第4项，
即，所以的系数是.
故答案为：160
14．答案：60
解析：最后一位数是偶数有：“2”,“4”,“6”,共3种选择,
然后从剩下的五个数中选两个数进行排列,
故所求为.
故答案为：60.
15．答案：（1）72
（2）36
解析：（1）先排丙、丁、戊,有种站法,再插空排甲、乙,有种站法.
故甲、乙两人不相邻的站法共有种.
（2）若乙站在排头或排尾,则有种站法;
若甲、乙都不站排头或排尾,则有种站法;
故甲不站排头或排尾,且甲、乙两人相邻的站法共有种.
16．答案：(1)72
(2)36
解析：(1)先排丙、丁、戊，有种站法.
再插空排甲、乙.有种站法.
故甲、乙两人不相邻的站法共有种.
(2)满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，
则有种站法.
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，
则有种站法.
故甲不站排头或排尾，
且甲、乙两人相邻的站法共有种.
17．答案：（1）155
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由定义可知，
.
（2）易知，
.
又
，
所以.
（3）由定义得，对任意，，，均有.
结合（2）可知
，
即，
所以，
所以，
，
……
，
上述个等式相加得.
18．答案：(1)576；
(2)144；
(3)960
解析：（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，由分步计数原理，共有种排法.
19．答案：78；75
解析：甲不承担C任务，丁不承担A任务的选派方法有：种.
由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，
但不能同时取得，故五项工作后获得的效益值总和最大值小于76，
但当乙承担A，甲承担B，丙承担C，丁承担E，戊承担D，
此时效益值总和为：，效益之和的最大值是75.
故答案为：78；75.
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