全册综合试题-- 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（A卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 全册综合试题-- 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（A卷）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-03 08:46:41 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
全册综合试题-- 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（A卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知球O的半径为R，则在球O的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
2．函数在区间上的最大值为( )
A.1 B. C. D.
3．已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
4．已知函数,若存在,,使得成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．若函数满足，则( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6．若函数在处有极小值，则实数a的值为( )
A. B. C. D.1
7．已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8．已知数列满足，，则这个数列的第4项是( )
A.10 B.17 C.26 D.37
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在等差数列中，若，则的值为( )
A.30 B.40 C.50 D.60
10．已知在等比数列中,满足,,是的前n项和,则下列说法正确的是( ).
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列是等差数列
D.数列中,,,仍成等比数列
11．等差数列中，，，若，，则( )
A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值
C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正项等比数列的前n项和为，且，，则___________.
13．已知数列满足,,则____________.
14．已知等差数列的首项与公差d均为正整数，且各项的和为49，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
16．已知函数，
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
17．记为数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求整数m的最小值.
18．（例题）已知某种产品总成本C元是月产量的函数，且，.设Q能取区间内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每吨产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？
19．（例题）如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数.
（1）写出函数的解析式；
（2）为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？
参考答案
1．答案：A
解析：如下图所示，设球O的内接圆锥的底面半径为r，
显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大，
取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，
则，且O在线段上，
设，则，且，，
设圆锥的体积为
，
则，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，函数在时取最大值，此时，.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，
故函数最大值为，
故选：B
3．答案：B
解析：不妨设,因为,所以,
构造函数,则,所以单调递增,
恒成立,即恒成立,
令函数,,
当时,,当,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,故.
故选：B.
4．答案：C
解析：,
当时,,所以是增函数,
不妨设,则,又,
所以由,得,即,
设,则,
当时,,是增函数,不存在,,使得,
当时,要满足题意,则在区间上有解,使得在区间上不单调.
则,,
设,,,（两等号不可能同时成立）,
所以,
所以在区间上单调递减,得,,
所以.
故选C.
5．答案：C
解析：由题设
.
故选：C
6．答案：C
解析：由函数可得，
函数在处有极小值，
可得，解得.
当时，，
当时，时，
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以在处有极小值，符合题意.所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：因为，所以，
联立可解得，所以，所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题设有，，，
故选：C.
9．答案：D
解析：由，
得，即，
所以
故选：D
10．答案：AC
解析：为等比数列,且,,,,
对于A,,,是等比数列,故A正确;
对于B,,,,且,
是递减数列,故B错误;
对于C,设,则,
是等差数列,故C正确;
对于D,,,,因为,
故数列{}中,,,不成等比数列,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d，
依题意，得，
解得，
，
，
当时，有最小值-25，无最大值，
而，
易得，，，，
且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
12．答案：160
解析：因为为正项等比数列，
所以，，也成等比数列，
则，
解得或（舍去），
则，
解得.
故答案为：160
13．答案：
解析：且,则,,,,,,.
故答案为：.
14．答案：1或4
解析：由等差数列的前n项和公式，
可得，
所以，
因为等差数列的首项与公差d均为正整数，
所以，
或，或，
当时，不符合题意，
当时，，
因首项与公差d均为正整数，故无解；
当时，，
当时，，当时，，
综上所述：或.
故答案为：1或4.
15．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)因为，
所以，
苦，则，在上单调递增，
若，由，得，
由得，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
综上得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
(2)证明：法一：要证，
即证，
即证，
由(1)知，时在上单调递增，
在上单调递减，
所以，
取得，即，
令，则，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，
所以，即，
所以，
所以.
法二：要证，即证，
令，，
则，
易知在区间上单调递减，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即，
所以得证.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，
，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(2)函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得；
由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．答案：(1)
(2)2026
解析：(1)已知，，
，
是以为首项、为公比的等比数列，
.
(2)由(1)可知，，
，
，
；
由，可得，m为整数，
m的最小值为2026.
18．答案：当月产量为时，每吨产品的平均成本最低，最低为400元
解析：记每吨产品的平均成本为元，
则.
由题意有，令，可解得.
因此可知在上单调递减，在上单调递增，
从而在时取得极小值，而且在此时取得最小值.
即当月产量为时，每吨产品的平均成本最低，最低为400元.
19．答案：（1），
（2）
解析：（1）根据题意可知，容器底面的边长为，高为，
于是，
又因为显然x的长度必须小于原有正方形边长的一半，所以，
所以，.
（2）由题意有.
令，可解得.
因此可知V在上单调递增，在上单调递减.
故V在时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为时，容器的容积最大.
解题思路：当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大.但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
全册综合试题-- 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（A卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知球O的半径为R，则在球O的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
2．函数在区间上的最大值为( )
A.1 B. C. D.
3．已知函数,若对任意两个不相等的实数,,都有,则a的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
4．已知函数,若存在,,使得成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．若函数满足，则( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6．若函数在处有极小值，则实数a的值为( )
A. B. C. D.1
7．已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8．已知数列满足，，则这个数列的第4项是( )
A.10 B.17 C.26 D.37
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在等差数列中，若，则的值为( )
A.30 B.40 C.50 D.60
10．已知在等比数列中,满足,,是的前n项和,则下列说法正确的是( ).
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列是等差数列
D.数列中,,,仍成等比数列
11．等差数列中，，，若，，则( )
A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值
C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正项等比数列的前n项和为，且，，则___________.
13．已知数列满足,,则____________.
14．已知等差数列的首项与公差d均为正整数，且各项的和为49，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
16．已知函数，
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
17．记为数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求整数m的最小值.
18．（例题）已知某种产品总成本C元是月产量的函数，且，.设Q能取区间内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每吨产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？
19．（例题）如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数.
（1）写出函数的解析式；
（2）为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？
参考答案
1．答案：A
解析：如下图所示，设球O的内接圆锥的底面半径为r，
显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大，
取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，
则，且O在线段上，
设，则，且，，
设圆锥的体积为
，
则，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，函数在时取最大值，此时，.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，
故函数最大值为，
故选：B
3．答案：B
解析：不妨设,因为,所以,
构造函数,则,所以单调递增,
恒成立,即恒成立,
令函数,,
当时,,当,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,故.
故选：B.
4．答案：C
解析：,
当时,,所以是增函数,
不妨设,则,又,
所以由,得,即,
设,则,
当时,,是增函数,不存在,,使得,
当时,要满足题意,则在区间上有解,使得在区间上不单调.
则,,
设,,,（两等号不可能同时成立）,
所以,
所以在区间上单调递减,得,,
所以.
故选C.
5．答案：C
解析：由题设
.
故选：C
6．答案：C
解析：由函数可得，
函数在处有极小值，
可得，解得.
当时，，
当时，时，
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以在处有极小值，符合题意.所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：因为，所以，
联立可解得，所以，所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题设有，，，
故选：C.
9．答案：D
解析：由，
得，即，
所以
故选：D
10．答案：AC
解析：为等比数列,且,,,,
对于A,,,是等比数列,故A正确;
对于B,,,,且,
是递减数列,故B错误;
对于C,设,则,
是等差数列,故C正确;
对于D,,,,因为,
故数列{}中,,,不成等比数列,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d，
依题意，得，
解得，
，
，
当时，有最小值-25，无最大值，
而，
易得，，，，
且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
12．答案：160
解析：因为为正项等比数列，
所以，，也成等比数列，
则，
解得或（舍去），
则，
解得.
故答案为：160
13．答案：
解析：且,则,,,,,,.
故答案为：.
14．答案：1或4
解析：由等差数列的前n项和公式，
可得，
所以，
因为等差数列的首项与公差d均为正整数，
所以，
或，或，
当时，不符合题意，
当时，，
因首项与公差d均为正整数，故无解；
当时，，
当时，，当时，，
综上所述：或.
故答案为：1或4.
15．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)因为，
所以，
苦，则，在上单调递增，
若，由，得，
由得，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
综上得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
(2)证明：法一：要证，
即证，
即证，
由(1)知，时在上单调递增，
在上单调递减，
所以，
取得，即，
令，则，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，
所以，即，
所以，
所以.
法二：要证，即证，
令，，
则，
易知在区间上单调递减，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即，
所以得证.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，
，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(2)函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得；
由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．答案：(1)
(2)2026
解析：(1)已知，，
，
是以为首项、为公比的等比数列，
.
(2)由(1)可知，，
，
，
；
由，可得，m为整数，
m的最小值为2026.
18．答案：当月产量为时，每吨产品的平均成本最低，最低为400元
解析：记每吨产品的平均成本为元，
则.
由题意有，令，可解得.
因此可知在上单调递减，在上单调递增，
从而在时取得极小值，而且在此时取得最小值.
即当月产量为时，每吨产品的平均成本最低，最低为400元.
19．答案：（1），
（2）
解析：（1）根据题意可知，容器底面的边长为，高为，
于是，
又因为显然x的长度必须小于原有正方形边长的一半，所以，
所以，.
（2）由题意有.
令，可解得.
因此可知V在上单调递增，在上单调递减.
故V在时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为时，容器的容积最大.
解题思路：当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大.但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)