数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（A卷）（含解析）

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数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（A卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知等比数列满足,,记为其前n项和,则( )
A. B. C. D.7
2．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《答案.....商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第n层有个球，则数列的前20项和为( )
A. B. C. D.
3．已知数列-1，，，2，，…则该数列的第2025项为( )
A.45 B.-45 C.55 D.-55
4．已知数列是等差数列,且满足,则等于( )
A.45 B.60 C.75 D.90
5．记为等差数列的前n项和.若,则公差d为( )
A.2 B. C.1 D.
6．记等差数列的前n项和为,已知,则( )
A. B. C.1 D.2
7．已知函数及其导函数满足,则( )
A. B.0 C. D.
8．设数列的前n项和,则的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在数列中，，，则以下结论正确的为( )
A.数列为等差数列
B.
C.当取最大值时，n的值为51
D.当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
10．已知数列1,,,,…,则下列说法正确的是( )
A.此数列的通项公式是
B.是它的第23项
C.此数列的通项公式是
D.是它的第25项
11．已知数列1,,，，则下列说法正确的是 ( )
A.此数列的通项公式是
B.是它的第23项
C.此数列的通项公式是
D.是它的第25项
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格O出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）.若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为____________.
13．已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，则________.
14．已知为等差数列的前n项和,且,则____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类.现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列.从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第i行的第j个数.
(1)求第3行和第4行的通项公式和；
(2)一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立.”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数n都成立，这种方法即数学归纳法.请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
(3)若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有.
16．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
17．已知数列的首项,且满足.
(1)求证：数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和为.
18．记为等差数列的前n项和，已知，
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．已知等比数列的首项为,前n项和为,若,求公比q.
参考答案
1．答案：A
解析：设等比数列的公比为,
因为,,所以,解得或,
当时,,,所以;
当时,,,所以;
综上可得.
故选：A.
2．答案：A
解析：由题意及图得，，
，当时，，
，，
以上各式累加得：，
又，所以，
经检验符合上式，
所以，
所以，
设数列的前n项和为，
则，
所以，
故选：A.
3．答案：B
解析：依题意，该数列的奇数项为负数、
偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，
因此该数列的第n项为，
所以该数列的第2025项为.
故选：B
4．答案：A
解析：由等差数列性质计算可得,即,
所以可得.
故选：A.
5．答案：A
解析：由等差数列前项n和公式：,
可得：.
故选：A.
6．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,则,解得.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为,则
令,则,解得
故选:A
8．答案：D
解析：,,
故.
故选:D
9．答案：ACD
解析：对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确.
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：数列1,,,,…,
所以,A选项正确,C选项错误.
,B选项正确,
,D选项错误.
故选:AB
11．答案：AB
解析：数列1，，，，
所以，A选项正确，C选项错误.
，B选项正确，
，D选项错误.
故选：AB
12．答案：
解析：如图，斜方格具有对称性，
因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，
只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，
设2025次后机器人在O处的概率为，
在①处的概率为，在②处的概率为，
在③处的概率为.
则，，
，.
将，，
代入到中，得，
又由题意得，，
则，
所以，
则，，，
所以概率.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，
设
，
所以
.
故答案为：
14．答案：2
解析：由等差数列的前n项和可得：
,
,
则,所以．
故答案为：2.
15．答案：(1)，；，；
(2)证明见解析，通项公式为；
(3)，理由见解析
解析：(1)
，，
，，
，，
(2)当时，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列，满足要求，
假设当时，成立，
即第k行为公差为的等差数列，
则当时，
，
故第行的数也依次成等差数列，公差为，
综上，数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，
由于，，
所以，
，
由于，故，
即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故，
(3)
，
故，
令，则，
故
，
，
因为，所以，
故
，
令，则当时，都有，
综上，为满足要求的等比数列.
16．答案：(1)答案见解析
(2)29900
解析：(1)由，
则，，
…，又，
累加可得.
(2)由(1)，则，
故
17．答案：(1)证明见解析,
(2)
解析：(1)由,得,
又,
为等差数列,首项为1,公差为2,
,
.
(2),
,
,
得,
,
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为d，
由题意可得，
即，解得，
所以，
(2)因为，
令，解得，且，
当时，则，
可得
；
当时，则，
可得
；
综上所述：.
19．答案：
解析：当时,,与题意不符,故排除,
当时,,
因为,所以,解得,故公比为.
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