数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（B卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（B卷）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-03 08:49:35 | ||
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文档简介
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数列—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（B卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知数列1,,5,,9,,则该数列的第211项为( )
A. B.421 C. D.423
2．对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第层货物的个数为,则( )
A.210 B.209 C.211 D.207
3．已知数列的前n项和，则等于( )
A.12 B.15 C.18 D.21
4．在等差数列中,,,则公差等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．若1,m,9三个数成等比数列,则圆锥曲线的离心率是( ).
A.或 B.或2 C.或 D.或2
6．等比数列中，若，，则的公比为( )
A. B. C.2 D.4
7．记等比数列的前n项和为，若，则( )
A.7 B.49 C. D.43
8．已知等差数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列的前n项和公式为,则下列说法正确的是( )
A.数列的首项为
B.数列的通项公式为
C.数列为递减数列
D.数列为递增数列
10．近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系.在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”.某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有( )
A.站在第20拐角的学生是111号 B.站在第23拐角的学生是137号
C.第133号同学站在拐角位置 D.站在拐角位置的同学共有79名
11．一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔;第二层从左至右依次编号为002，003，004;第三层从左至右依次编号为005，006，007；;依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如:002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第n层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是( )
A.一百零八塔共有12层塔 B.088号塔在第11层
C. D.的值约为53.2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若数列的前n项和为，则_______.
13．已知等比数列的公比为,前n项和为,若,则_____________.
14．在等差数列中，，，且，为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为.
(1)求第3次取出的球是蓝球的概率；
(2)求的解析式.
16．已知为等比数列的前n项和，，且，.
(1)若为等差数列，求数列的通项公式；
(2)若为等比数列，，求.
17．用数学归纳法证明：.
18．从社会效益和经济效益出发，某地准备投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
（1）设n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
（2）至少经过多少年，旅游的总收入能超过总投入？（取）
19．《莱因德纸草书》中曾记载有下面的数学问题：把100个面包分给5个人，使每个人所得的面包数成等差数列，且最大的3份之和的等于较小的2份之和，求最小的1份为多少.你能求解此题吗？
参考答案
1．答案：B
解析：该数列的通项公式为,
所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,,,,,
所以,则.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为数列的前n项和，
所以
.
故选：B.
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：三个数1,m,9成等比数列,
则,解得,,
当时,曲线为椭圆,
则;
当时,曲线为为双曲线,
则离心率.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为数列为等比数列，
则，
即，解得.
故选：D.
7．答案：C
解析：设，则，
因为，
所以，
解得，
所以.
故选：C
8．答案：D
解析：等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C,
,,仍然成等差数列,
,
化为,即
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A,因为,
所以当时,,知A正确;
对于B,当时,,
当时,也满足上式,故数列的通项公式为,故B正确;
对于CD,,
所以数列为递减数列,故C正确,D错误.
故选:ABC.
10．答案：ACD
解析：观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26，…
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
11．答案：ABD
解析：记每层塔的数目为，则当时，，设共有n层，则有，解得，则A正确.前10层的塔数为，而前11层的塔数为，故B正确.每一层比上一层多2座塔，则宽度比上一层多米，C错误.由题意可得，
则，即，故D正确.
12．答案：8
解析：因为数列的前n项和为，
所以，
故答案为：8.
13．答案：5
解析：根据等比数列前n项和公式可得：,
所以,则,
因此,所以
故答案为：5.
14．答案：
解析：设等差数列公差为d，
则，所以，
.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）分别设第k次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出蓝球的概率为：，
所以第次取出蓝球的概率为：，
由于，
可得：，
若设数列，上式即为：，
配凑为：，，其中，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
即第3次取出的球是蓝球的概率为：.
（2）同上，分别设第k次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出红球的概率为：，
所以第次取出红球的概率为：，
由于
可得：，
由已知，记第n次取出的球是红球的概率为，
上式即为，有，，
其中，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
的解析式为：.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公比为q，则，
，①
由，即，
得，
得，
即，
解得或2.
将代入①，得，不符合条件；
将代入①，得，
且，
所以为等差数列，所以.
(2)由(1)可知，，得，
若为等比数列，则，
由，
得，
则，
故.
17．答案：证明见解析
解析：证明：①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.
②假设当（，）时，等式成立，
即，
那么当时，
，
当时，等式也成立.
由数学归纳法基本原理知等式成立.
18．答案：（1），
（2）5年
解析：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，
第n年投入为万元，
所以n年内的总投入.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为万元，
第n年旅游业收入为万元，
年内的旅游业总收入万元.
（2）设至少经过n年旅游业的总收入就能超过总投入，
即，即，
化简得，
设，则不等式等价为，
解得或（舍去）.
即，又，所以.
即经过5年旅游业的总收入就能超过总投入.
19．答案：个
解析：设五个人所分得的面包数依次为，，a，，（其中），
则，.
由，得，
，，
最小的1份为个.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知数列1,,5,,9,,则该数列的第211项为( )
A. B.421 C. D.423
2．对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第层货物的个数为,则( )
A.210 B.209 C.211 D.207
3．已知数列的前n项和，则等于( )
A.12 B.15 C.18 D.21
4．在等差数列中,,,则公差等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．若1,m,9三个数成等比数列,则圆锥曲线的离心率是( ).
A.或 B.或2 C.或 D.或2
6．等比数列中，若，，则的公比为( )
A. B. C.2 D.4
7．记等比数列的前n项和为，若，则( )
A.7 B.49 C. D.43
8．已知等差数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列的前n项和公式为,则下列说法正确的是( )
A.数列的首项为
B.数列的通项公式为
C.数列为递减数列
D.数列为递增数列
10．近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系.在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”.某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有( )
A.站在第20拐角的学生是111号 B.站在第23拐角的学生是137号
C.第133号同学站在拐角位置 D.站在拐角位置的同学共有79名
11．一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔;第二层从左至右依次编号为002，003，004;第三层从左至右依次编号为005，006，007；;依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如:002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第n层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是( )
A.一百零八塔共有12层塔 B.088号塔在第11层
C. D.的值约为53.2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若数列的前n项和为，则_______.
13．已知等比数列的公比为,前n项和为,若,则_____________.
14．在等差数列中，，，且，为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为.
(1)求第3次取出的球是蓝球的概率；
(2)求的解析式.
16．已知为等比数列的前n项和，，且，.
(1)若为等差数列，求数列的通项公式；
(2)若为等比数列，，求.
17．用数学归纳法证明：.
18．从社会效益和经济效益出发，某地准备投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
（1）设n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
（2）至少经过多少年，旅游的总收入能超过总投入？（取）
19．《莱因德纸草书》中曾记载有下面的数学问题：把100个面包分给5个人，使每个人所得的面包数成等差数列，且最大的3份之和的等于较小的2份之和，求最小的1份为多少.你能求解此题吗？
参考答案
1．答案：B
解析：该数列的通项公式为,
所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,,,,,
所以,则.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为数列的前n项和，
所以
.
故选：B.
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：三个数1,m,9成等比数列,
则,解得,,
当时,曲线为椭圆,
则;
当时,曲线为为双曲线,
则离心率.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为数列为等比数列，
则，
即，解得.
故选：D.
7．答案：C
解析：设，则，
因为，
所以，
解得，
所以.
故选：C
8．答案：D
解析：等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C,
,,仍然成等差数列,
,
化为,即
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A,因为,
所以当时,,知A正确;
对于B,当时,,
当时,也满足上式,故数列的通项公式为,故B正确;
对于CD,,
所以数列为递减数列,故C正确,D错误.
故选:ABC.
10．答案：ACD
解析：观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26，…
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
11．答案：ABD
解析：记每层塔的数目为，则当时，，设共有n层，则有，解得，则A正确.前10层的塔数为，而前11层的塔数为，故B正确.每一层比上一层多2座塔，则宽度比上一层多米，C错误.由题意可得，
则，即，故D正确.
12．答案：8
解析：因为数列的前n项和为，
所以，
故答案为：8.
13．答案：5
解析：根据等比数列前n项和公式可得：,
所以,则,
因此,所以
故答案为：5.
14．答案：
解析：设等差数列公差为d，
则，所以，
.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）；
解析：（1）分别设第k次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出蓝球的概率为：，
所以第次取出蓝球的概率为：，
由于，
可得：，
若设数列，上式即为：，
配凑为：，，其中，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
即第3次取出的球是蓝球的概率为：.
（2）同上，分别设第k次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出红球的概率为：，
所以第次取出红球的概率为：，
由于
可得：，
由已知，记第n次取出的球是红球的概率为，
上式即为，有，，
其中，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
的解析式为：.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公比为q，则，
，①
由，即，
得，
得，
即，
解得或2.
将代入①，得，不符合条件；
将代入①，得，
且，
所以为等差数列，所以.
(2)由(1)可知，，得，
若为等比数列，则，
由，
得，
则，
故.
17．答案：证明见解析
解析：证明：①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.
②假设当（，）时，等式成立，
即，
那么当时，
，
当时，等式也成立.
由数学归纳法基本原理知等式成立.
18．答案：（1），
（2）5年
解析：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，
第n年投入为万元，
所以n年内的总投入.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为万元，
第n年旅游业收入为万元，
年内的旅游业总收入万元.
（2）设至少经过n年旅游业的总收入就能超过总投入，
即，即，
化简得，
设，则不等式等价为，
解得或（舍去）.
即，又，所以.
即经过5年旅游业的总收入就能超过总投入.
19．答案：个
解析：设五个人所分得的面包数依次为，，a，，（其中），
则，.
由，得，
，，
最小的1份为个.
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