一元函数的导数及其应用—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（A卷）（含解析）

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一元函数的导数及其应用—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（A卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若函数图象如图所示,则图象可能是( )
A. B.
C. D.
2．已知函数,则( )
A.有极小值,无极大值 B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值 D.无极小值也无极大值
3．曲线在点处的切线的斜率为( )
A.0 B.1 C.e D.
4．已知是函数的导数,且,,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5．已知函数,,则的最大值为( )
A. B.0 C. D.
6．已知函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7．已知的一个极值点为2,则实数( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8．已知函数有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的定义域为,其导函数为,且,,则( )
A. B.
C.在上是增函数 D.存在最小值
10．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11．某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离h（单位:m）与时间t（单位:s）之间满足函数关系,则( )
A.在这段时间内的平均速度为10m/s
B.在这段时间内的平均速度为12m/s
C.在s时的瞬时速度为18m/s
D.在s时的瞬时速度为16m/s
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为______________.
13．若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是_______.
14．已知曲线与直线相切,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．若，自然对数的底数为e，则的最小值为________.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,求函数在的最小值.
17．已知曲线，
(1)若，与在公共点处的切线重合，求p；
(2)若与相交于A，B(A在B的左侧)两点，记直线AB的斜率为k
(i)求证：；
(ii)若，设，证明：
18．已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值.
19．已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意，都有，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由图象可得：在上,在上,
根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数,在上为减函数,可排除A、D,
且在处,,即在处,的切线的斜率为0,可排除B,
故选：C
2．答案：C
解析：由题意函数,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为,所以,
根据导数的几何意义可知,曲线在点处的切线的斜率为1.
故选：B.
4．答案：D
解析：设,因为,所以,
对函数求导,得,因为,所以,
所以函数是实数集上的增函数,
因此由.
故选：D.
5．答案：C
解析：,令,得,
当,,为减函数,
当,,为增函数,
又,则.
故选：C.
6．答案：A
解析：由,得,
所以,得,
所以,,,,
故所求切线方程为,即.
故选：A.
7．答案：B
解析：,令0,得或,
又的一个极值点为2,则,解得,经检验满足题意.
故选：B.
8．答案：D
解析：由函数,可得,
当时,在R上恒成立,所以在R上单调递增,
所以至多一个零点,不符合题意,
当时,,可得,
当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
所以时,取得极小值,也是最小值,
又函数有两个零点,所以,
即,解得,
当时,,
当时,,
当时,,
设,则,
所以单调递增,则,
所以,所以在上有且只有一个零点,
在上有且只有一个零点,
所以满足函数有两个零点的实数a的取值范围是.
故选:D.
9．答案：ABC
解析：设,则,
当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
A选项,因为,所以,即,A正确;
B选项,因,所以,即,B正确;
C选项,,则,
令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在单调递增,
又,
故恒成立,
所以在上恒成立,故在上是增函数,C正确;
D选项,由C选项可知,函数在上单调递增,故无最小值.
故选：ABC.
10．答案：BD
解析：对于A,,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确;
故选：BD.
11．答案：BC
解析：在这段时间内的平均速度为m/s,故A错误,B正确;
因为,所以,即在s时瞬时速度为18m/s,故C正确,D错误.
故选:BC.
12．答案：/0.25
解析：易知的定义域为,而,故切点为,
设切线斜率为k,且,故,
切线方程为,化简得,
当时,,当时,,
易知围成的图形是三角形,设面积为,故.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，设切点，
则，
又，
14．答案：
解析：由,得,
设切点为,
则,,
消去a得,
函数在区间上单调递增,且,
,此时.
故答案为:
15．答案：2
解析：由
，
设，求导，，令，解得：，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，故，，，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：2
16．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)由题意可知：的定义域为,,
①若,恒成立,所以在上单调递减.
②若,则由得,
所以当时,;当时,;
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上：当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由(1)知,在单调递减,在单调递增.
①当即时,在单调递减,
所以当时,有最小值;
②当即时,在单调递减,在单调递增.
所以当时,有最小值;
③当即时,在单调递增,
所以当时,有最小值;
综上：.
17．答案：(1)
(2)(i)证明见解析
(ii)证明见解析
解析：(1)若，则，
因为与在公共点处的切线重合，
不妨设为公共点的横坐标，
则，且，
所以，于是，
解得，所以
(2)设，，其中
(i)由为增函数，知，所以
则
.
依题意，有，
且，
两式相减，得.
令，则，
且，解得，，
所以
.
记，
则，
令，求导得，
故单调递减，故，
所以在上单调递增，
故，所以式成立，
从而式成立，所以.
(ii)若，，
则
因为，故只需证明.
由(i)知，只需证，
即要证.
记，
则.
因为，
所以，所以.
所以，
故在上单调递增，
所以，
所以式成立，所以.
18．答案：(1)答案见解析；
(2)答案见解析
解析：（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减.
（2）由时，则函数，可得，
解得或，所以函数的定义域为，
由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
19．答案：(1)；
(2).
解析：(1)易知，
所以，又，
所以，所以；
(2)若对任意的，都有，
即恒成立，
即：恒成立，
令，
则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
所以时，有最大值，
所以，即m的取值范围为.
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