一元函数的导数及其应用—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（B卷）（含解析）

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一元函数的导数及其应用—高二数学人教A版（2019）选择性必修二单元检测卷（B卷）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数,则( )
A.2 B.1 C. D.
2．当时,设函数存在导数,且满足,若,则( )
A. B. C.0 D.
3．若函数在处取得极小值,则实数( )
A. B.2 C.2或0 D.0
4．若直线与曲线相切，则( )
A. B.1 C. D.e
5．已知函数,则( )
A. B. C. D.
6．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.1
7．函数的极值为( )
A. B. C. D.3
8．已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数有两个极值点则a的值可以为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值
11．已知关于x的方程:有两个正根,,则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数满足,则_________.
13．已知函数.
①在上单调递减,在上单调递增;
②在R上仅有一个零点;
③若关于x的方程有两个实数解,则;
④在R上有最大值,无最小值.
上述说法正确的是___________.
14．函数上存在互异两点A,B,若曲线在A,B处的切线均为直线l,且l在A,B之间与无公共点,则l的斜率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数（a，）的图像过点，且.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线过点的切线方程.
16．已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值.
17．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立.
18．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
19．已知函数（），为的导数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由导数的定义可知,
,
又,所以,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：由,即,即,
所以,c是常数,
当时,,所以,
当时,,得.
故选:D
3．答案：D
解析：由,则,得或2,
时,,在R上单调递增,不满足;
时,,在,上,在上,
所以在,上单调递增,在上单调递减,满足题设,
所以.
故选：D
4．答案：B
解析：设直线与曲线的切点为，
故
由得，
故，得，
故，.
故选：B
5．答案：C
解析：由题设,则.
故选：C.
6．答案：B
解析：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.
因为，所以，所以，
所以，即实数a的最小值为.
故选：B
7．答案：A
解析：由题知的定义域为,且.
当时,;
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故的极小值为,无极大值,
故选：A.
8．答案：A
解析：，，
因为函数恰有一个极值点，
所以有一个实数根，
即有一根，
即与一个交点，
令，则，
令，函数单调递增，解得：，
令，函数单调递减，解得：，
则，
有一根，即，
当，时都有
与一个交点，有两根
当时，
与一个交点，有一根，
综上所述，a的取值范围是
故选：A
9．答案：AB
解析：，
因为函数有两个极值点
则与x轴有两个交点，
即解得
故满足条件的有AB
故选：AB
10．答案：AD
解析：由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：对于A,,函数,在上递增,
因此函数在上递减,在上递增,,
,是直线与函数的两个交点,则,A正确;
对于B,取,,则,而,
此时,B错误;
对于C,,而,因此,C正确;
对于D,,则,于是,
,令函数,,
函数在上单调递增,,因此,即,D正确.
故选:ACD
12．答案：
解析：
13．答案：②④
解析：函数的导数,令得,,
由得,由得,故在上单调递增,在上单调递减,故①错误,
由①知当时,函数取得极大值,
当时,恒成立,当时,恒成立,
即在R上仅有一个零点,故②正确,
由②知若关于x的方程有两个实数解,则,故③错误,
由①②知在R上有最大值,无最小值,故④正确,
故答案为：②④.
14．答案：2
解析：解法一:设切线方程为,则,
上两个点处的切线均为,且之间无公共点,结合正弦函数图象特征可知,只能是直线,
解法二:设切点为,,切线方程为:,
用,表示两个切点横坐标,则有,
①若,则,
,或,代入可得:斜率为2;
当时,满足与l在A,B之间无公共点.
②若,则,
即
③
结合③式可知,是与l的公共点,且在A,B之间,该情况无解.
15．答案：(1)，.
(2)
解析：(1)因为函数的图像过点，
所以①
又，，
所以②，
由①②解得，.
(2)由(1)知，
设所求切线在曲线上的切点为，
则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为.
故曲线过点的切线方程为.
16．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)由题意知：的定义域为，
；
当时，，
恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；
若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值.
(2)当时，在上恒成立，
在上单调递增，
；
当时，若，；
若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，
；
综上所述：在上的最小值
.
17．答案：（1）当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）证明见解析
解析：（1）由题知的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：解法一：设函数，则，
可知在上单调递增，
又由，知，在上有唯一零点，且，
则，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
结合，知，
所以，
解法二：令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即①，当且仅当时，等号成立.
由得，即，当且仅当，即时，等号成立
所以②，当且仅当，即时，等号成立.
由①②得，由于①②两式中的等号不能同时取到，故，
所以，即原不等式恒成立.
解法三：要证恒成立，即证恒成立.
令，则，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，
则当时，恒成立，当且仅当时取等号.
亦有，即恒成立，当且仅当，即时取等号.
所以一方面，当且仅当，即时取等号，
另一方面恒成立，当且仅当时取等号，
所以恒成立，原不等式得证.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题可知：函数的定义域为，
当时，，
所以，
令，解得
则x，，的变化情况如下表.
x
- 0 +
单调递减 单调递增
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为；
（2）因为，且关于x的方程有两个不相等的实数根，所以有两个不相等的实数根，
当时，显然不成立；
当时，即有两个不相等的实数根，
令，，则，
令，解得，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处可以取到最小值，
又由的零点仅有，且当x趋近于0时，趋近于0，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
19．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)由，得
依题意知：，
所以，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，
得，得，
在上单调递减，上单调递增.
(2)依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，
令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，
所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证
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