7.1不等式及其基本性质同步练习（含解析）

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7.1不等式及其基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．实数a，b，c满足，且，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．由到，成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则，其依据是（ ）
A．不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
B．不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
10．已知，，，是有理数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”）
12．的与4的差不小于2，用不等式表示为 ．
13．若，则 （填“>”“<”或“=”）．
14．（教材变式）用不等式表示：
（1）的4倍与3的差是正数： ；
（2）与的积小于7： ；
（3），两数的平方和大于10： ．
15．已知实数在数轴上的位置如图所示，用“”或“”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
三、解答题
16．根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式．
(1)；
(2)．
17．（教材变式）
(1)利用不等式的性质1比较与a的大小（）；
(2)利用不等式的性质2，3比较与a的大小（）．
18．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式：
(1)；
(2)．
19．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题：
(1)完成下列填空（填“”或“”）；
已知，可得________；
已知，可得________；
已知，可得________．
(2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性．
20．利用不等式的基本性质说明结论：如果满足，那么的正确性．
《7.1不等式及其基本性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D C B C A A
1．C
【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
根据不等式的定义逐一判断即可．
【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个，
故选C．
2．A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一推导筛选即可得到答案．
【详解】解：A、，
，故此选项正确；
B、，，
，故此选项错误；
C、，，
，故此选项错误；
D、，，
，
，故此项错误；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，熟记不等式的定义是解题关键．根据不等式的定义逐个判断即可得．
【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个；而③是等式，④是多项式，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负．
根据不等式的性质，得到，进而求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴．
故选D．
5．D
【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质在不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，都乘以同一个负数时，不等号的方向改变，都乘以零时，左右两边相等，从而可得答案.
【详解】解：∵，
当时，，
当时，，
当时，，
综上：由到，成立的条件是，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．牢记不等式的性质是解题的关键．利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【详解】解：∵，∴，故A选项成立；
∵，∴，故B选项成立；
∵，
∴当时，，故C选项不一定成立；
∵，
∴，而，
∴，故D选项成立．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，符合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
故选：．
8．C
【分析】本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
根据不等式的基本性质分析即可．
【详解】
两边同时乘以得：
根据的是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向．
故选：C
9．A
【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意；
B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；
C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；
D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
根据不等式的基本性质可判定正确，举例能判定、、错误．
【详解】解：、∵，，
∴，故此选项符合题意；
、∵，，
如，，，则，，
∴，故此选项不符合题意；
、∵，，
如，，，则，，
∴，故此选项不符合题意；
、∵，，
如，，则，，
∴，故此选项不符合题意；
故选：．
11．
【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置比较大小，不等式的性质；根据实数a、b在数轴上对应点的位置，可得，再结合不等式的性质可得答案．
【详解】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，
∴，
故答案是：．
12．
【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键．
【详解】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2，
故答案为．
13．<
【分析】主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：<．
14．
【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得；
（2）根据积的定义列出不等式即可得；
（3）根据平方和的定义列出不等式即可得．
【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：，
故答案为：．
（2）与的积小于7：，
故答案为：．
（3），两数的平方和大于10：，
故答案为：．
15． < > < <
【分析】本题主要考查了数轴、有理数加减、乘除运算、不等式的基本性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
根据a、b、c在数轴上的位置判断其正负，根据不等式的性质可判断（1）（2）（4）；根据有理数加减运算法则可判断（3）即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
（1）由，则；
故答案为：<；
（2）由，则；
故答案为：>；
（3）由，则；
故答案为：<；
（4）由，则；
故答案为：<．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键．
不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解．
（1）根据不等式的性质3，不等式两边除以即可求解；
（2）根据不等式的性质1，不等式两边减5，根据不等式的性质3，不等式两边除以，由此即可求解．
【详解】（1）解：
根据不等式的性质3，不等式两边除以，得．
（2）解：
根据不等式的性质1，不等式两边减5，得，
根据不等式的性质3，不等式两边除以，得．
17．(1)当，，当，
(2)当，，当，
【分析】本题主要考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此解该不等式即可．
（1）根据不等式的性质1分情况讨论即可；
（2）根据不等式的性质2分情况讨论即可；
【详解】（1）解：当时，在的两边同时加上a，
得，即；
当时，在的两边同时加上a，
得，即．
（2）解：当时，由，得，即；
当时，由，得，即．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质两边都减去即可求解；
（2）根据不等式的性质两边都除以即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
．
（2）∵，
19．(1)，，
(2)，证明见解析
【分析】（1）计算比较大小，解答即可．
（2）设，仿照前面的计算解答即可．
本题考查了有理数的加减混合运算，不等式的性质，熟练掌握计算和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：，，．
（2）证明：可设．
．
又，即，
，
．
故答案为：．
20．见解析
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】证明：因为且，均为正，
所以，，
由，可得．
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